Escoamento Compressivel Adiabatico em Dutos com Atrito - Analise e Equacoes

81a 8 Escoamento Compressível em Dutos Até agora analisamos os efeitos de variação de área num escoamento compressível enquanto desprezamos outras variáveis como atrito e transferência de calor Neste capítulo consideraremos esses dois efeitos em dutos com área constante ie dutos com área uniforme ao longo do comprimento 81 Escoamento Adiabático em Duto com Atrito Consideremos o escoamento num duto sob as seguintes hipóteses simplificadoras Escoamento permanente adiabático unidimensional Gás perfeito com calor específico constante Duto com área constante Trabalho de eixo e energia potencial desprezíveis Atrito na parede correlacionado com a equação de DarcyWeisbach De fato estaremos considerando problemas com atrito do tipo de Moody mas com grandes variações na energia cinética entalpia e pressão De uma maneira geral o escoamento adiabático com atrito é particularmente apropriado para escoamento em alta velocidade em dutos relativamente curtos Consideremos um volume de controle de área A e comprimento dx como mostrado na Fig 81 A área é constante enquanto as propriedades p T ñ V h podem variar com x A partir das equações de conservação de massa quantidade de movimento e energia assim como das equações de estado e entropia chegase a 81 81b 82 83 Figura 81 Volume de controle elementar num duto com atrito viscoso ou na forma diferencial Para eliminar ôw admitese que a tensão cisalhante na parede correlacionase com o fator de atrito local de Darcy f onde o último termo vem da expressão da velocidade sônica para gás perfeito c2 ãpñ 82 85 84 Dividindo por dx as Eqs 82 constituem um sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem que podem ser integradas uma vez conhecidas as condições na entrada p1 T1 V1 etc para determinar px Tx etc ao longo do duto É praticamente impossível eliminar as variáveis de forma a termos uma única equação para px Todavia todas podem ser escritas em termos do número de Mach local Max Vxcx assim como do fator de atrito Recombinando as variáveis em 82 obtémse as relações Exceto por dpopo e dscp todas as expressões contêm o fator 1Ma2 no denominador ou seja assim como nas fórmulas para as variações de área na Tabela 71 escoamentos subsônicos e supersônicos geram respostas diferentes Tabela 81 Como conseqüência da segunda lei da termodinâmica notese que a entropia deve crescer ao longo do duto tanto para escoamento sub quanto supersônico Pela mesma 83 86 razão a pressão de estagnação e a massa específica de estagnação devem decrescer Aqui o parâmetro chave é o número de Mach Sendo o escoamento na entrada sub ou supersônico o número de Mach tende para a unidade a jusante Ma 1 A Fig 82 mostra a variação da entropia em função do número de Mach para ã 14 A entropia máxima ocorre em Ma 1 ss em 88e de forma que a segunda lei requer que as propriedades no duto aproximamse continuamente do ponto da velocidade sônica Uma vez que po e ño decrescem continuamente ao longo do duto devido às perdas viscosas no escoamento nãoisentrópico essas propriedades deixam de ser referências úteis Por isso as propriedades críticas p T ñ po e ño passam a ser referências apropriadas no escoamento adiabático com atrito O modelo permite calcular as razões pp TT etc em função do número de Mach local e do atrito Tabela 81 Escoamento adiabático Variação de parâmetros para escoamento subsônico e supersônico Propriedade Subsônico Supersônico p decresce cresce ñ decresce cresce V cresce decresce po e ño decresce decresce T decresce cresce Ma cresce decresce Entropia cresce cresce Para chegarmos à uma solução analítica integramos 85e entre Mach Ma e Mach 1 obtendo onde L é o comprimento do duto para o qual a velocidade é sônica Ma 1 tenha este ponto sido atingido ou não O fator f é um valor médio para o atrito viscoso entre 0 e L A Eq 86 é assim interpretada L é o comprimento do duto requerido para desenvolver um escoamento do número de Mach Ma até a velocidade sônica Ma 1 Muitos problemas envolvem dutos curtos onde a velocidade nunca atinge o valor sônico Nesses casos a solução utiliza as diferenças dos valores máximos de L Por 84 87 exemplo o comprimento ÄL necessário para ir de Ma1 até Ma2 é calculado por Recomendase que o fator de atrito médio seja estimado a partir do diagrama de Moody ou da equação de ColebrookWhite por exemplo para um valor médio do número de Reynolds e rugosidade relativa Figura 82 Escoamento adiabático num duto com atrito viscoso ã14 Ref White FM1 Formulas para outras propriedades ao longo do duto podem ser obtidas a partir de 85 A Eq 85e pode ser utilizada para eliminar fdxD de todas as outras relações resultando por exemplo dpp em função de Ma e dMa2Ma2 Por conveniência cada uma das expressões é integrada de p Ma até o ponto p1 resultando no sistema de equações 1 White FM Fluid Mechanics Cap 9 McGrawHill Book Co1979 85 88 89 Todas essas razões podem ser calculadas sem dificuldade num computador ou se preferir tabuladas em função de Ma para cada valor de ã Veja Apêndice C Para encontrar variações das propriedades entre Ma1 e Ma2 não sônicos produtos das razões podem ser utilizados da seguinte forma uma vez que p é uma constante de referência para o escoamento Afogamento Devido ao Atrito Viscoso A teoria prevê que no escoamento adiabático viscoso num duto com área constante o número de Mach a jusante tende para a condição sônica onde a entropia é máxima não importando o valor do número de Mach da entrada Mae Existe um certo comprimento de duto LMae para o qual o número de Mach na saída será unitário O que ocorre se o comprimento real do duto for maior do que o comprimento máximo previsto LMae Neste caso a condição do escoamento precisa mudar podendo ocorrer duas possibilidades 86 Escoamento Subsônico na Entrada Se Lreal LMae a vazão terá que ser reduzida para um valor de forma que o número de Mach na entrada Man satisfaça a condição Lreal LMan O escoamento na saída torna se sônico Ma1 e a vazão de massa é reduzida devido ao afogamento por atrito o número de Mach na entrada é reduzido Qualquer acréscimo no comprimento do duto provocará maior redução no número de Mach de entrada assim como para a vazão de massa Escoamento Supersônico na Entrada Atrito tem um enorme efeito sobre escoamento supersônico Mesmo um número de Mach de entrada infinito será reduzido para velocidade sônica em alguma coisa como 41 diâmetros para f 002 Alguns valores típicos são mostrados no gráfico da Fig 83 admitindo Mach de entrada Ma 3 e f 002 Para esta condição L 26 diâmetros Se Lreal for maior do que 26D o escoamento não afogará mas um choquenormal existirá em local certo de tal forma que a condição subsônica a jusante do choque tenderá para sônica na saída A Fig 83 mostra ainda dois exemplos para LD 40 e LD 53 A medida que o comprimento cresce o choquenormal movese para montante até que este ocorra na entrada no caso para LD 63 Subseqüente aumento de L causará o deslocamento do choque para dentro do bocal supersônico alimentando o duto De qualquer forma a vazão de massa manterseá constante como no duto curto uma vez que presumivelmente o bocal de alimentação mantém uma garganta sônica Eventualmente um duto muito longo causará afogamento do bocal de alimentação reduzindo assim a vazão de massa Portanto o escoamento supersônico muda o padrão do escoamento para L L mas não provoca afogamento até que L seja muito maior do que L 82 Escoamento Isotérmico em Duto com Atrito A hipótese de escoamento adiabático com atrito é apropriada para dutos relativamente curtos e altas velocidades Por outro lado a condição isotérmica com atrito é de interesse para dutos transportando gás a longas distâncias Embora o número de Mach para tal condição seja normalmente bastante baixo ocorrem consideráveis quedas de pressão devido às grandes distâncias sobre as quais o atrito atua e assim o escoamento não pode ser tratado como incompressível A análise matemática é paralela àquela do escoamento 87 810 811 adiabático exceto que a equação de energia inclui variações na temperatura de estagnação Figura 83 Comportamento de escoamento em duto com condição de entrada supersônica Ma 30 a LD 26 o escoamento é totalmente supersônico b LD 40 LD choque normal em Ma 20 com escoamento subsônico acelerando para sônico na saída c LD 53 choque deve se formar em Ma 25 d LD 63 escoamento deve ser totalmente subsônico e crítico na saída Ref De White FM op cit Fig 915 Para gás perfeito a equação de energia 2411 pode ser escrita como onde To Tox é a temperatura de estagnação local Já vimos que variações em To é uma medida direta da quantidade de calor transferida para o sistema Eq 723 Aplicado o diferencial de To na Eq 722 e dividindo em seguida por To notando ainda que dT 0 condição isotérmica chegase a Para escoamento isotérmico da equação de estado e da definição do número de Mach 88 813 812 814 Ma2 V2ãRT As equações de conservação de massa e quantidade de movimento são as mesmas utilizadas para o escoamento adiabático Eqs 82 Desta forma obtémse o sistema análogo a 85 Observase dessas equações que o sentido da variação das variáveis depende se o escoamento é sub ou supersônico mas principalmente se ãMa2 é menor ou maior do que a unidade 1 A Tabela 82 resume esses resultados Notese que o número de Mach sempre tende para 1ã12 Este valor representa o limite para o escoamento isotérmico similar à condição que Ma 1 representa o limite para o escoamento adiabático Quando Ma 1ã12 calor é acrescentado ao fluido Quando Ma 1ã12 calor é retirado do fluido para garantir temperatura constante Integrando 813a entre os limites 0 L para fdxD e Ma21ã para fMa2dMa2 L o comprimento para chegar a Ma2 1ã a partir de x0 89 814b 814c Tabela 82 Escoamento isotérmico Variação de parâmetros para escoamento subsônico e supersônico Propriedade Subsônico Sub ou Supersônico Ma 1ã12 Ma 1ã12 p decresce cresce ñ decresce cresce V cresce decresce To cresce decresce Ma cresce decresce po decresce cresce Ma 2ã1½ decresce Ma 2ã1½ Efeito das Perdas Localizadas Havendo perdas localizadas entre os pontos inicial e final x0 e xL o comprimento L deve considerar todas essas perdas Ou seja neste caso a equação 814 deve ser escrita como onde Ktot representa a soma de todas as perdas localizadas conforme definido no Cap 4 A equação pode ser também reescrita como onde Ou seja ocorrendo perdas localizadas o comprimento real do duto que levará à condição de afogamento será inferior àquele calculado sem a presença das perdas localizadas A redução no comprimento para esses caso é exatamente o valor do comprimento equivalente à soma das perdas localizadas entre x 0 e x L Afogamento Devido ao Atrito Viscoso A teoria prevê que no escoamento isotérmico viscoso num duto com área constante o número de Mach a jusante tende não para a condição sônica mas para um valor crítico 810 815 Macrit 1ã12 inferior ao valor sônico não importando o valor do número de Mach da entrada Mae Existe um certo comprimento do duto LMae para o qual o número de Mach da saída será igual a 1ã12 Se o comprimento real do duto for maior do que o comprimento máximo previsto para LMae a condição do escoamento precisa mudar Escoamento Subsônico na Entrada Se Lreal LMae a vazão será reduzida para o ponto em que o número de Mach de entrada Man tal que Lreal LMan O escoamento na saída será crítico Ma1ã12 e a vazão de massa será reduzida pelo afogamento por atrito Qualquer acréscimo no comprimento do duto provocará maior decréscimo no número de Mach de entrada assim como na vazão de massa Entretanto devese ter em mente que quando o escoamento subsônico aproxima se do valor crítico todas as propriedades do fluido mudam rapidamente com a distância a menos que calor seja transferido o processo nesta região tenderá a ser mais adiabático do que isotérmico Em Ma 1ã12 as Eqs 813c e 810 indicam a necessidade de adição de calor infinito por unidade de comprimento portanto este limite é artificial e fisicamente irreal Escoamento Supersônico na Entrada O processo é similar àquele que ocorre no escoamento adiabático Ver detalhes no parágrafo anterior 81 Vazão em Função da Pressão no Escoamento Isotérmico Um resultado interessante da análise isotérmica é a relação exata entre queda de pressão e vazão no duto Em contraste o mesmo é impossível no escoamento adiabático onde o problema de estimar a vazão de massa só pode ser resolvido por um processo iterativo Definimos o fluxo de massa por unidade de área do duto Substituindo V2 G2pRT2 na Eq 82b obtémse para a equação de quantidade de movimento 811 816 817 818 819 De 82a e 82d com dT 0 esta equação tornase Uma vez que G2RT é constante para escoamento isotérmico permanente a equação pode ser integrada no intervalo xp 0 p1 até L p2 resultando Assim temos uma expressão explícita para a vazão de massa em função da queda de pressão no duto Note o termo Leq para as perdas localizadas Condição de Afogamento A Eq 818 mostra uma dificuldade com o número de Mach eliminado não é possível reconhecer a condição de afogamento Portanto deve ser verificado o realismo físico da solução ao utilizar 818 Isto é feito calculando o número de Mach Mas na saída de forma a garantir que este não seja superior ao valor crítico ie Mas 1ã12 para a condição de entrada subsônica O número de Mach na saída Mas pode ser calculado uma vez que a vazão de massa é conhecida após ter sido calculada por 818 onde ps é a pressão de saída Portanto para condição de entrada subsônica em dutos longos a seguinte condição deve ser satisfeita na saída 812 821 822 823 824 ou Vazão Volumétrica É usual em escoamento de gás expressar a vazão no duto em termos da vazão volumétrica para condição padrão pstd patm e Tstd 20 ºC no Brasil Portanto ou Combinando 818 e 822 Energia Transportada pelo Gás Poder Calorífico O poder calorífico de um gás é a energia química liberada quando uma unidade do combustível é queimada com oxigênio sob certa condição Metano por exemplo tem um poder calorífico em torno de 1010 Btuft3 37620 kJm3 na condição padrão Se denominarmos por Ãg o poder calorífico do gás naturalmente nas unidades apropriadas como Jm3 no sistema SI a energia transportada será 820 813 Observe que para o sistema SI temos para esta equação a identidade watts Js Jm³m³s Portanto Wg expressa a quantidade de energia transportada por unidade de tempo potência pelo duto Devese ter em conta que o poder calorífico reflete tão somente a quantidade de energia liberada numa queima completa do gás Até aqui não foi feita nenhuma referência ao rendimento termodinâmico da planta ou do sistema que recebe o gás e o transforma em energia útil como eletricidade por exemplo A energia disponível We ou efetiva da planta é então obtida pela expressão We ηp Wg ηp Γg Q std 825 onde ηp representa o rendimento termodinâmico global da instalação Um gasoduto com vazão de 110⁶ Nm³d de gás natural e poder calorífico de 3710⁶ Jm³ transporta 428 Mw 110⁶3710⁶86400 Por outro lado uma moderna usina termelétrica consumindo gás natural num ciclo simples apresenta um rendimento na faixa de 40 a 42 Logo para esta situação 1 milhão de Nm³d de gás natural produz cerca de 175 Mw de potência elétrica 17510⁶ 04110⁶3710⁶86400 A usina de Itaipú por exemplo tem hoje 2024 uma potência instalada aproximada de 14000 Mw 20 turbinas de 700 Mw Equivale portanto ao consumo de gás natural em torno de 80 MMm³d1400010⁶17510⁶ Em resumo para um rendimento de 41 o equivalente energético para o gás natural para usinas modernas no Brasil é aproximadamente de 1 MMm³dia 175 MWatts 57 MMm³diaGWatts Turbinas a gás modernas estão na faixa de 110 a 330 Mw Centrais termelétricas têm como vantagens prazos não muito elevados para amortização e flexibilidade para atender demandas de ponta de carga em horários de pico de consumo por exemplo Estados com maior parque termelétrico no país em 2022 foram São Paulo 901 GW Rio de Janeiro 667 GW Maranhão 286 GW Minas Gerais 281 GW Mato Grosso do Sul 24 GW Rio Grande do Sul 22 GW e Amazonas 209 GW ² Já em 2021 os maiores produtores de energia termelétrica foram Rio de Janeiro São Paulo Maranhão Amazonas e Santa Catarina Termelétricas foram responsáveis então por cerca de 29 da energia elétrica gerada em 2021 crescimento principalmente provocado pela Crise hídrica de 20202021 Neste período as fontes de energia assim se distribuíram a hidráulica 553 b termelétrica 29 c eólicas 11 d solar 26 e Ref httpswwwepegovbrptpublicacoesdadosabertospublicacoesbalancoenergeticonacional 052023 814 826 nuclear 21 Em 2023 a potência instalada de geração de energia elétrica no Brasil ficou assim subdividida Hidráulica 543 termelétrica 242 eólica 131 solar 37 nuclear 21 outras 23 Em 2023 havia 3135 empreendimentos gerando energia por termelétricas com potência instalada de 197 MW Outros 46 se encontravam em construção para acrescentar mais 409 MW 83 Escoamento Isotérmico de um Fluido Real Neste parágrafo analisamos o comportamento de gás real em dutos longos Como já mencionado a hipótese de temperatura aproximadamente constante ao longo do duto é a mais realista para este caso A modelagem segue a mesma linha daquela desenvolvida para a hipótese de gás ideal Generalizando o modelo um passo adiante incluímos na equação de quantidade de movimento ou energia mecânica o termo relativo à energia gravitacional ñgz permitindo desta forma a utilização dos resultados para dutos passando por regiões montanhosas onde o efeito da gravidade pode ser significativo Comportamento de Gás Real Gás à pressões moderadas para alta não se comporta como ideal sendo denominado gás real Nesse caso a equação de estado é escrita incluindose o fator de compressibilidade Z que representa o desvio da idealidade do gás Z varia com a pressão e temperatura podendo ser medido e tabulado para vários gases ou deduzido teoricamente Van der Waals foi pioneiro apresentando uma nova equação no final do século XIX numa tentativa de aperfeiçoar a equação dos gases perfeitos Hoje existem mais de cem equações de estado para gases em geral ver detalhes no Apêndice B Comportamento de Gases Reais Vazão em Função da Pressão no Escoamento Isotérmico Analisemos o escoamento de um gás real num duto longo sob a hipótese de temperatura uniforme Dividindo a equação de energia mecânica 2421 por V2 obtémse a forma 815 827 828 829 830 diferencial onde z é a elevação relativa a um referencial nível do mar por exemplo e a variável x continua sendo medida ao longo da linha de centro do duto Lembrando que V2 G2pZRgT2 eliminando dVV na equação da continuidade 82a assim como da equação de estado 826 com dT 0 Embora RgT seja constante Z ZpT não o é uma vez que a pressão e a temperatura variam Para integrar a equação é utilizado um valor médio de ZmpmTm e retirado o fator da integral Desta forma integrando px entre p10 e p2L admitindo ainda que a integral do termo gravitacional pode ser aproximada igualmente por um valor médio da pressão o que não é verdadeiro para poços verticais muito profundos por exemplo Apesar da hipótese isotérmica o escoamento raramente ocorre sob condição de temperatura constante Por isso Tm deve ser considerado como o valor médio para a temperatura entre os pontos 1 e 2 De forma análoga pm é uma pressão média calculada entre os dois pontos e o fator de compressibilidade Zm é calculado para os valores médios pmTm O fator de atrito fm deve ser estimado a partir de um valor médio em função dos números de Reynolds Em resumo os valores médios recomendados estão apresentados nas expressões a seguir 816 831 832 833 Para dutos longos o termo logaritmo é em geral pequeno quando comparado com o termo de atrito sendo usualmente desprezado na literatura internacional representa a variação de energia cinética entre os dois pontos Entretanto tendo em vista a utilização de computadores hoje em dia recomendase a manutenção deste termo nos cálculos de G2 na Eq 829 ou Qstd conforme mostrado a seguir Por outro lado ignorando por ora o termo logaritmo a vazão de massa para um duto de seção reta circular é dada pela expressão Finalmente a vazão volumétrica para condição padrão é obtida dividindose esta equação pela massa específica padrão Eq 822 Condição de Afogamento De forma análoga à restrição para condição de afogamento para escoamento de gás ideal 82 e Eq 820 o escoamento de gás real deve atender à condição a seguir subscritos referese à saída Eqs 819821 Velocidade e Pressão do Gás no Duto A equação para determinar a velocidade local do gás é obtida diretamente da equação de continuidade 822 com G ñxVx 817 Vx Vp T ZT p p ZTstd Qstd A 834 Logo a velocidade é mínima no ponto de maior pressão normalmente na entrada do duto e viceversa máxima no ponto de menor pressão final do duto A pressão px é determinada a partir da Eq832 resolvendo para p₂ px para condição de entrada e vazão especificadas Note que em geral Zstd 1 Número de Reynolds O número de Reynolds necessário para calcular o fator de atrito ao longo do duto pode ser facilmente estimado a partir da condição padrão Re ρVD μ ρstdQstdD μA 4 π ρstdQstd μD 835 onde a viscosidade para gás natural na condição padrão é admitida aproximadamente igual a μ 107610⁵ Pas cf também 1431 145 Velocidade de Erosão³ Quando um fluido escoa em alta velocidade num duto pode causar tanto vibração quanto erosão A erosão é provocada por cavitação colapso de bolhas ou projeção de líquido ou partículas sólidas sobre a parede do duto Se a velocidade exceder um valor limite denominado velocidade de erosão Vₑᵣₛ a integridade estrutural do duto pode correr risco após algum tempo Isto é especialmente verdadeiro para escoamento de gás a altas velocidades excedendo 20 ms Erosão não é um problema particular de poços produzindo óleo e areia por exemplo ela ocorre também em gasodutos Por isso recomendase controlar a velocidade do gás em dutos limitandoa de tal forma que Vmax βVₑᵣₛ onde β040 050 Mohitpour op cit Por outro lado não é possível determinar com precisão a velocidade com que tem início o processo de erosão se partículas sólidas estão presentes como areia a erosão pode ocorrer a velocidades relativamente baixas Uma recomendação aceita pela indústria ³ Beggs HD Production Optimization Using Nodal Analysis Cap 3 OGCI Publications Tulsa OK USA 1991 818 836 837 de petróleo é a proposta de 1981 do American Petroleum Institute4 onde a velocidade de erosão é correlacionada com a massa específica do gás pela seguinte expressão empírica com todas as variáveis definidas no sistema SI então Vers em ms Valores em diversos países podem variar para a constante C no intervalo 70 C 150 aproximadamente 5 C 120 é adotado por diversas empresas no Brasil em 2010 Queda de Pressão Ótima para Projeto 5 O gradiente de pressão queda de pressão por unidade de comprimento ótimo é um fator importante para projeto do sistema sob o ponto de vista de custo Manter a queda de pressão ótima ao longo de cada segmento é imperativo para minimizar as despesas operacionais e de instalação incluído o duto compressores e custos de combustível Alguns estudos têm mostrado que uma queda de 10 a 25 kPakm está próximo do ponto ótimo Isto significa que para um gasoduto concluído os gradientes de pressão em todas as seções devem estar dentro deste intervalo Portanto a seguinte condição deve ser satisfeita para o gradiente de pressão Gradientes de pressão superiores a 25 kPakm exigirão maior fator de carga para os compressores requerendo maior consumo de combustível Além disso gradientes de pressão excessivos tenderão a introduzir maior potencial para problemas operacionais Gradientes de pressão inferiores a 10 kPakm indicam que foram instaladas estações de compressão em excesso 6 ou o diâmetro do duto é grande demais 4 RP14E Recommended Practice for Design and Installation of Offshore Production Platform Piping System 3rd Ed American Petroleum Institute API Washington DC 1981 5 Mohitpour M et al Pipeline Design Construction A Practical Approach Cap 3 ASME Press NY USA 2000 6 Hugues T Optimum Pressure Drop Projects Facilities Planning Department Internal Reports NOVA Gas Transmission Lmtd Calgary Canada 1993 819 838a 838b 838c 839 Estocagem Inventário de Gás no Duto Uma importante informação para operadores de gasodutos tem a ver com a quantidade de gás disponível num trecho em determinado instante Para estimála é necessário obter a integral da distribuição de massa entre dois pontos arbitrários onde a pressão e a temperatura são função de x e o fator de compressibilidade sendo função dessas duas variáveis é uma função de x também A variável A representa a área da seção transversal interna que igualmente pode variar ao longo de x Portanto para se obter o valor da massa total de gás é necessário realizar uma integral numérica da função indicada nesta equação Isto pode ser feito por diversas técnicas de integração numérica como a fórmula extendida de Simpson7 por exemplo por ser simples e bastante precisa com erro O1n4 A fórmula para a integral entre os pontos a e b a2nh onde o intervalo ba é subdividido em 2nh subintervalos um número par de subintervalos é onde os parâmetros fa fah fa2h representam a avaliação da função fx nos pontos xa xah xa2h etc Uma expressão simples para pequenas distâncias quando fx não varia muito pode ser obtido para dois intervalos em 838b h ba2 O volume total de gás entre as duas seções na condição padrão será então 7 Hoffman JD Numerical Methods for Engineers and Scientists Chap6 CRC Press 2nd Edition 2001 820 Observe que a condição termodinâmica em cada ponto de discretização tem que ser conhecida O resultado será tão mais preciso quanto menor for o subintervalo h De novo o cálculo não oferece qualquer dificuldade utilizandose um computador ver Ex86 84 Equações Práticas para Escoamento em Gasoduto Ao longo dos anos projetistas de gasodutos procuraram expressões que melhor ajustassem às condições observadas para a vazão em função dos diversos parâmetros do escoamento Nessas aplicações há uma clara distinção entre os modelos aplicados para escoamento totalmente turbulento ou hidraulicamente rugoso e escoamento parcialmente turbulento O primeiro referese à situação em que a rugosidade do duto não pode deixar de ser considerada no cálculo do coeficiente de atrito f regime caracterizado pela condição Re Reå onde Reå é o número de Reynolds de transição definido pela equação 326 Para esta condição o fator de atrito é função exclusivo da rugosidade relativa Por outro lado no escoamento parcialmente turbulento Re Reå situação em que o fator de atrito depende também do número de Reynolds Nove modelos são apresentados a seguir incluindo uma breve descrição das restrições e recomendações da indústria Weimouth Normalmente utilizado para grandes vazões grandes diâmetros maiores do que NPS24 e sistemas sob altas pressões A equação tende a superestimar as previsões de queda de pressão e apresenta grau inferior de precisão relativo às outras equações Por uma questão de segurança é também utilizado no cálculo da distribuição de gás em redes urbanas para previsão de queda de pressão Mohitpour op cit PanhandleA Utilizado para vazões moderadas em diâmetros médios a relativamente grandes dutos menores do que NPS 24 operando sob pressões médias a altas e número de Reynolds na faixa de 5 a 11 milhões Menon8 O fator de transmissão não inclui o termo devido à rugosidade refletindo sua aplicação primordial para escoamento parcialmente turbulento PanhandleB Utilizado para vazões elevadas grandes diâmetros dutos maiores do que NPS 24 e sistemas com altas pressões Como no caso da fórmula de PanhandleA o fator de transmissão inclui o termo função do número de Reynolds O modelo é particularmente preciso para número de Reynolds na faixa de 4 a 40 milhões Menon op 8 Menon ES Gas Pipeline Hydraulics 1ª Ed Taylor Francis Group USA 2005 821 840 cit AGAA Modelo cujos resultados dependem muito do número de Reynolds É utilizado para vazões médias diâmetros médios dutos menores do que NPS 24 e sistemas sob alta pressão em escoamento parcialmente turbulento O fator de transmissão é em geral mais baixo do que o da equação de PanhandleA para valores de Reynolds baixos Re 5105 AGAB Modelo mais recomendado e mais utilizado para sistemas sob alta pressão e altas vazões em dutos com diâmetros médio para grande maiores do que NPS 24 e escoamento totalmente turbulento A equação prevê a vazão e a queda de pressão com alto grau de precisão especialmente se a rugosidade efetiva utilizada tiver sido medida com precisão Menon op cit Mueller e IGT O modelo de Mueller utiliza um fator de transmissão aproximadamente igual ao de AGAA para Reynolds baixos até 4104 Por outro lado para o modelo IGT o fator de transmissão é muito próximo da equação de AGAA para valores de Reynolds acima deste limite ie para Re4104 Coelho e Pinho9 sugerem que as equações de Mueller e IGT são boas alternativas para a equação AGAA Fritzsche O modelo foi desenvolvido na Alemanha no início do século XX sendo largamente utilizado em linhas de ar comprimido e de gás O comportamento geral da equação é similar ao de AGAA Coelho et al op cit Teórico Equação fundamental para o cálculo da vazão a partir da qual os outros modelos se baseiam Utilizandose o fator de transmissão adequado tende a satisfazer a maioria das situações práticas Iniciamos reescrevendo a Eq 832 doravante denominada por Modelo Teórico e introduzindo a densidade relativa do gás ëg MgasMar RarRgas O cálculo da vazão para os oito modelos anteriores tem origem nesta equação 9 Coelho PM Pinho C Considerations About Equations for Steady State Flow in Natural Gas Pipelines J Braz Soc of Mech Sci Eng Vol XXIX 3 262273 2007 822 Reescrevemos 840 e introduzindo seis coeficientes çC1 C2 a b c Todas as variáveis são avaliadas no sistema SI de unidades enquanto as pressões e temperaturas referemse aos valores absolutos p pmanpatm e T 27316ºC Logo as unidades utilizadas são vazão QNm3s pressão pPa temperatura TK comprimento Lm elevação zm constante do ar Rar m2s2K densidade relativa do gás ëg A vazão Qstd referese à condição padrão no Brasil p patm e T20 ºC enquanto p1 e p2 são as pressões a montante e a jusante respectivamente Destaquese que a vazão para uma instalação real tende ser inferior àquela sugerida por 841 devido às perdas adicionais provocadas por componentes como válvulas curvas e flanges assim como outros efeitos como corrosão e a presença de sólidos poeiras e partículas de corrosão Para considerar essas perdas adicionais é introduzido o fator de eficiência ç que em geral assume um valor no intervalo 08ç10 podendo chegar a 07ç10 nas instalações mais antigas Coelho op cit A Tabela 83 resume os coeficientes adotados pelos diversos modelos A última coluna registra as expressões utilizadas para cálculo do fator C2 para o modelo específico resultante da aplicação do fator de transmissão Nos modelos teórico AGAA e AGAB C2 é uma função explícita de f Nos outros seis casos os valores dessas funções estão embutidas em C1 com C21 O coeficiente Cf na expressão para o coeficiente de atrito para AGAA é um fator utilizado para compensar perdas devidas a curvas soldas etc tendo um valor recomendado na faixa 090 Cf 10 O parâmetro å é a rugosidade absoluta do duto 841 823 842 843 844 Tabela 83 Coeficientes para diversos modelos de escoamento Eqs 841 e 848 Modelo Coeficientes C1 a b c C 2 Teórico 13305 10 05 25 Weimouth 13732 10 05 26667 10 PanhandleA 9951 08539 05394 26182 10 PanhandleB 13724 09608 05100 25300 10 IGT 8806 08000 05555 26667 10 Mueller 8751 07400 05747 27240 10 Fritzsche 9426 08580 05382 26911 10 AGAA 13303 10 05 25 AGAB 13303 10 05 25 Equação Característica e Distribuição de Pressão Em função do resultado sugerido pela Eq 841 é interessante escrever a equação característica pressão vs vazão para o escoamento compressível num duto Para tornar a expressão mais simples ignoraremos os efeitos gravitacionais freqüentemente são pequenos Da Eq 841 onde os coeficientes de gravidade e resistência são definidos pm de 830 Desprezando o efeito gravitacional a curva característica tornase onde a vazão Q é expressa na condição padrão e a pressão calculada num ponto genérico distante L unidades de comprimento da seção1 ver KT em 843 824 845 846 Outro resultado interessante é a distribuição de pressão ao longo do duto Admitindo que as condições permaneçam constantes e que o diâmetro também seja constante da combinação das duas últimas equações Em função das pressões de entrada e saída p1 e p2 845 pode ser escrito como Este resultado está mostrado na Fig 84 para diversos valores da razão p2p1 O gráfico indica que para p2p1 superior a 060 a distribuição de pressão ao longo do gasoduto é quase linear um comportamento próximo de fluido incompressível como líquidos embora nitidamente parabólico Todavia para quedas de pressão mais acentuadas as curvas se afastam consideravelmente desta situação realçando os efeitos da compressibilidade do fluido Figura 84 Distribuição de pressão num gasoduto para diversos valores da razão entre a pressão de saída e de entrada p2 p1 Ação da gravidade desprezada 825 847 Cálculo do Diâmetro Um problema comum na fase de projeto de um gasoduto consiste na determinação do diâmetro conhecidos os outros parâmetros Neste caso a solução é obtida diretamente da Eq 841 Tendo em vista sua importância nos custos do investimento a determinação do diâmetro ótimo é de suma importância na fase de projeto Observe que a especificação da pressão a jusante p2 afeta diretamente o resultado Em geral o processo requer uma forte dose de análise e trabalho iterativo até se chegar à melhor solução Segmentação de Duto Loop Aumento de Vazão Um problema interessante no projeto de gasoduto consiste em aumentar a vazão pela instalação de um loop mantendo as pressões de entrada e saída Normalmente o que se faz nesses casos consiste em instalar uma linha paralela em algum trecho conforme esquematizado na Fig 85 Figura 85 Segmentação de um duto Consideremos um duto com diâmetro constante Do conectando os pontos A e B e transportando gás natural com vazão Qo Desejase aumentar a vazão para Qf pela instalação de um loop Qual o comprimento e o diâmetro deste segmento A solução consiste em aplicar o conceito de escoamento de dutos em série e em paralelo 62 Das Eqs 621 a 6210 826 pₒ² pₑ² K₁ Kₑq Q₁ᵐ 848 onde K₁ e Kₑq representam os coeficiente de resistência nos trecho AC e CB respectivamente A partir da condição de que as pressões são mantidas a utilização das Eqs 842 e 843 combinadas com as Eqs 625 e 629 leva à relação Qf Qo1b 1 L₂L₁ 1 L2 L1 1 1 D₃ Dₒᶜ1b 849 onde os expoentes b e c são especificados na Tabela 83 Esta equação mostra alguns resultados interessantes a quando L₂L₁ 0 então Qf Qo b quando D₃ Dₒ 0 então Qf Qo ambos consistentes com o esperado Uma vez especificada a razão QfQo podese calcular D₃ e L₂ Um resultado igualmente interessante ocorre quando D₃ Do diâmetro do loop igual ao diâmetro original da linha Qf Qo1b 1 L₂L₁ 1 051b L₂L₁ 850 Com b 050 L L₁ L₂ β 1α² e Qf 1αQo α fração do aumento esperado na vazão esta expressão reduzse à Eq 8 do Exercício 62 Capítulo 6 para líquidos L₂ L 43 β 1 β 851 Portanto para dobrar a vazão α 1 β 4 encontramos L₃ L ou seja uma segunda linha idêntica à primeira Efeito da Localização do Loop sobre a Vazão e a Pressão 10 As últimas equações indicam que mantidas as pressões de entrada e saída a segmentação sempre aumenta a vazão no sistema E viceversa se a vazão for mantida constante a ¹⁰ Mohitpour M et al Pipeline Design Construction A Practical Approach Cap 3 ASME Press NY USA 2000 827 presença do loop provoca uma redução na perda de carga entre os extremos As equações mostram também que à primeira vista a localização do loop não tem qualquer efeito sobre a vazão Contudo observase que no caso particular de escoamento compressível isso pode não ser exatamente verdade podendo a localização ter um impacto significativo na resposta do sistema A justificativa está associada ao comportamento especial do escoamento compressível não para o incompressível com as variações de pressão temperatura e do coeficiente de compressibilidade Z ao longo do duto Pressão e temperatura têm efeitos particulares quando se escolhe a posição do loop Por exemplo na região final da linha a perda de carga é maior do que na inicial uma vez que no final o gás está expandido as densidade são menores e as velocidades maiores portanto maiores são as perdas na região Por outro lado a temperatura tem também um efeito especial sobre o escoamento compressível Na região montante particularmente logo na saída da estação de compressão a temperatura do gás tende a ser relativamente alta Acrescentando um loop numa região de temperatura mais elevada aumentase a transferência de calor com o exterior uma vez que a superfície de troca de calor é maior Quanto maior a taxa de resfriamento menor será a queda de pressão basicamente devido à redução de velocidade conseqüente do aumento da massa específica do gás Portanto esta análise sugere que o loop seja instalado na região montante preferencialmente logo a jusante da estação de compressão especialmente se o gás estiver muito quente Apesar disso Mohitpour destaca que para certas configurações uma análise transiente do sistema pode concluir que a perda de carga pode ser menor para o loop instalado no final da linha longe do compressor Desta forma é recomendável que a distribuição de temperatura seja também objeto de simulações numéricas cuidadosas na determinação da melhor localização de loops incluindo uma análise transiente Ressalte se que para situações em que a temperatura do gás encontrase próxima da temperatura externa diferenças inferiores a 5 a 10 ºC esta deixa de ser um parâmetro relevante Perdas Localizadas Escoamento Adiabático e Isotérmico Vimos no Capítulo 4 que perdas locais são devido à resistência associada à forma e dimensão do duto Nesses casos o escoamento por uma variação de geometria causa uma variação de velocidade e a formação de vórtices que provocam perdas irreversíveis de energia Na maioria dos casos essas perdas ocorrem na entrada e saída de duto nas expansões e contrações em curvas joelhos tês flanges e válvulas 828 852 853 Como primeira aproximação o cálculo da perda de energia localizada no escoamento compressível pode ser obtido de forma similar àquele do escoamento incompressível Ou seja um comprimento equivalente é determinado para cada elemento resistivo de acordo com a expressão 481 onde Leq deve ser somado aos comprimentos dos escoamentos adiabáticos e isotérmicos aqui analisados Portanto a condição crítica afogamento é antecipada uma vez que uma linha com elementos resistivos terá comportamento termodinâmico equivalente à uma linha mais longa adicionada pelo comprimento equivalente de todas as perdas localizadas no segmento em estudo O procedimento de inclusão das perdas localizadas consiste então em adicionar o coeficiente de perda ao termo de atrito viscoso Isto é para um comprimento crítico L devese ter onde Kdi representa cada um dos coeficientesi dos elementos de perda Observe que esta expressão foi utilizada explicitamente nas expressões para o cálculo das vazões de massa e de volume do escoamento sob condição isotérmica equações 814 em diante 85 Medição de Vazão em Escoamento Compressível 851 Medidores de Vazão Placas de orifício bocais e Venturis são utilizados para medir a vazão de massa de escoamento compressível em dutos Nesses medidores a condição de fluxo assemelhase àquela existente em bocais convergentesdivergentes onde a pressão do fluido é parcialmente convertida em energia cinética à medida que o fluido passa pela seção convergente Como no escoamento de líquido a vazão de massa pode ser determinada a partir da leitura da diferença de pressões nas seções de entrada e de área mínima pela aplicação das equações de conservação de massa e de energia Todavia para escoamento 829 854 855 856 compressível acima da razão de pressão crítica escoamento longe de afogamento a energia cinética relativa à velocidade de entrada não pode ser desprezada Por esse motivo a vazão de massa não pode ser estimada diretamente pela equação 742 obtida sob a hipótese de velocidade nula a montante V1 0 ou seja para condição de estagnação a montante Bocais e Venturis praticamente não apresentam vena contracta o que permite aplicar a equação de energia entre a entrada e a seção convergente com resultados razoavelmente precisos quando comparados com dados experimentais 11 Placas de orifício por outro lado não apresentam comportamento tão bons requerendo relações empíricas conforme mostrado a seguir Venturis e Bocais Integrando a equação de energia 731b entre os pontos 1 e 2 Fig 67 Eliminando a velocidade V1 a partir da equação de continuidade ñ1A1V1 ñ2A2V2 e resolvendo para a velocidade V2 utilizando a relação isentrópica 710 obtémse para a vazão de massa Esta equação pode ser reescrita numa forma mais conveniente semelhante à expressão para o fluxo em orifício e Venturi para líquido Eqs 6310 e 6313 como onde é introduzido o fator de expansão Y 11 Benedict R P Fundamentals of Pipe Flow Cap 14 John Wiley Sons USA 1980 830 857 Nessas expressões são utilizados os seguintes parâmetros A1 área do duto Ao área da garganta D1 diâmetro do duto Do diâmetro da garganta â DoD1 r p2p1 em valores absolutos ã cpcv ñ1 massa específica do gás na seção1 Cd é o coeficiente de descarga do Venturi ou bocal conforme definido em 63 cujo valor numérico é aproximadamente o mesmo utilizado para líquidos 63 A Tabela 84 mostra valores para o fator de expansão para bocais e Venturis para ã14 Placas de Orifício Ao contrário dos casos para Bocais e Venturis não é possível encontrar uma expressão analítica para o fator de expansão para placas de orifícios Os primeiros trabalhos experimentais neste sentido foram apresentados por Buckingham12 A forma da expressão Tabela 84 Fator de expansão Y para bocais e Venturis ã14 p2p1 DoD1 02 03 04 05 06 07 08 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 0975 0986 0986 0986 0985 0984 0981 0975 0950 0973 0973 0972 0971 0968 0962 0950 0925 0959 0959 0958 0956 0952 0943 0926 0900 0945 0944 0943 0941 0935 0925 0902 0875 0931 093 0929 0925 0919 0906 0879 0850 0916 0915 0914 0910 0902 0888 0857 0825 0901 0901 0899 0894 0886 0869 0835 0800 0886 0885 0883 0879 0869 0851 0813 0775 0871 087 0868 0863 0852 0832 0792 0750 0856 0855 0852 0846 0835 0814 0770 0725 0840 0839 0836 0830 0818 0795 0750 0700 0824 0823 0820 0813 0801 0777 0729 12 Buckingham E Notes on the orifice meter the Expansion Factor for gases Bureau of Standards Journal Research Research Paper Vol 9 No 459 1932 831 858a 858b então proposta acabou sendo incorporada em documentos de entidades internacionais como a ISO 51679113 Com base na expressão da ISO Reader and Harris14 propuseram uma nova formula para o fator de expansão para qualquer tipo de arranjo de placa de orifício com pressure tappings posteriormente incorporada na ISO51672200315 na forma A Tabela 85 mostra valores para o fator YISO para placas de orifício calculados por esta expressão para ã14 Flange Pressure Tappings Flange com Tomadas de Pressão16 Recentemente Pistun e Lesovoy17 propuseram uma nova equação para o fator de expansão para placas de orifício do tipo Flange Pressure Tappings Fig 86 Segundo os autores proporciona maior precisão de acordo com dados experimentais atuais O desvio máximo dos dados experimentais para a nova fórmula é de 061 contra 121 para a Eq 858a A nova equação para o fator de expansão PistunLesovoy tem a forma Valores para o fator YPL para placas de orifício do tipo Flange Pressure Tappings calculados por esta expressão para ã14 estão indicados na Tabela 86 Interessante comparar com os valores da Tabela 85 13 ISO 516711991 Measurements of fluid flow by means os pressure differential devices Parta 1 Orifice plates nozzles and Venturi tubes inserted in circular crosssection conduits running full 1991 14 ReaderHarris MJ The Equation for the Expansibility Factor for the Orifice Plates Proc of Flameko 98 Lund Sweden pp 209214 Jun 1998 15 ISO 516722003 Part 2 Orifice plates Measurement of fluid flow by means of pressure differential devices inserted in circular crosssection conduits running full 2003 16 Placa de Orifício do tipo Flange Tap tem configuração mostrada na Fig 86a com placa de orifício instalada entre as duas tomadas de pressão p1 e p2 e perfurações no próprio corpo dos flanges evitando perfurações no duto Outras configuração requerem perfurações no duto após a instalação do sistema de medição 17 Pistun Y Lesovoy L Calculation of Expansibility Factor of gas as it flow through an orifice platte with flange pressure tappings Energy Engn and Control Systems Vol 2 No2 2016 832 859 Figura 86 Placa de orifício do tipo Flange Pressure Tappings 852 Tubo de Estagnação Pitot Conforme visto no Capítulo 2 o tubo de Pitot pode ser utilizado para determinar a velocidade no escoamento pela medida da pressão de estagnação local No caso de escoamento compressível subsônico a condição na região do Pitot pode ser considerada isentrópica A razão da pressão de estagnação para a pressão estática na corrente logo a montante do tubo pode ser obtida a partir da Eq 724 ou seja Figura 87 Tubo de estagnação numa corrente de gás Resolvendo para Ma1 obtémse a expressão para a velocidade V1 Fig 87 833 860 Tabela 85 Fator de expansão Y para placas de orifício ã14 p2p1 DoD1 02 03 04 05 06 07 08 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 0975 0994 0994 0994 0993 0993 0992 0989 0950 0987 0987 0987 0987 0986 0983 0978 0925 0981 0981 0981 0980 0978 0975 0967 0900 0975 0974 0974 0973 0971 0966 0956 0875 0968 0968 0967 0966 0964 0958 0944 0850 0961 0961 0961 0959 0956 0949 0933 0825 0955 0955 0954 0952 0949 0940 0921 0800 0948 0948 0947 0945 0941 0931 0910 0775 0942 0941 0940 0938 0933 0922 0898 0750 0935 0934 0933 0931 0926 0913 0886 0725 0928 0928 0926 0924 0918 0904 0874 0700 0921 0921 0919 0917 0910 0895 0862 Tabela 86 Fator de expansão YPL para Flange Pressure Tappings ã14 p2p1 DoD1 02 03 04 05 06 07 08 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 0975 0987 0987 0987 0987 0986 0984 0981 0950 0980 0980 0980 0980 0979 0976 0968 0925 0974 0974 0974 0973 0973 0967 0956 0900 0968 0968 0967 0967 0965 0959 0943 0875 0961 0961 0961 0960 0957 0950 0930 0850 0955 0954 0954 0953 0950 0941 0917 0825 0948 0948 0948 0946 0943 0933 0904 0800 0941 0941 0941 0940 0935 0923 0891 0775 0935 0935 0934 0933 0928 0914 0878 0750 0928 0928 0937 0926 0920 0905 0865 0725 0921 0921 0920 0919 0913 0895 0851 0700 0914 0914 0913 0911 0905 0886 0838 834 861 862 86 Análise de Sensibilidade No processo de dimensionamento termohidráulico de um duto para transporte de um gás particular portanto com propriedades físicas conhecidas quatro parâmetros são considerados vazão pressão temperatura e diâmetro Nesta fase diversos tipos de incerteza estão presentes todos associados à avaliação do impacto dos parâmetros na configuração final do duto Em última análise o projeto visa escolher um sistema ótimo que atenda às condições esperadas para a vazão Uma técnica muito útil para esta fase de dimensionamento é denominada de análise de sensibilidade A análise permite ao projetista avaliar o impacto que mudanças de certos parâmetros terão no modelo Ela pode auxiliar na identificação dos parâmetros que efetivamente impactarão os resultados finais Ao estudar uma quantidade de dados de saída de uma análise de sensibilidade o projetista será capaz de considerar uma ampla faixa de cenários e assim aumentar o grau de confiança do modelo sendo considerado Consideremos então algumas análises de sensibilidade para o projeto de um gasoduto A equação básica de estudo é a equação do modelo teórico para cálculo da vazão 840 Para outros modelos 841 por exemplo seguese exatamente o mesmo procedimento Admitindo que a temperatura tenha um efeito menor no dimensionamento três parâmetros podem ser considerados mais relevantes para projeto ou seja a vazão a pressão e o diâmetro A análise segue conforme descrito a seguir 861 Vazão vs Pressão Admitindo outras variáveis constantes e ignorando o efeito gravitacional a equação para a vazão em função da pressão pode ser escrita na forma compacta onde â1 representa todos os outros termos indicados em 840 Se desejarmos conhecer a sensibilidade da vazão para a pressão em 2 por exemplo isto pode ser obtido da expressão para o incremento de Q devido a uma pequena variação de p2 835 863 864 865 ou Portanto a variação da vazão com a pressão no ponto2 pode ser obtida relacionando äQQ com äp2p2 para uma família de parâmetros adimensionais p1p2 Por exemplo para p1 100 bar p2 60 bar e äp2 6 bar obtémse äQQ 0113 Ou seja para uma variação de 10 na pressão no ponto2 a vazão sofrerá uma variação de 113 Note que a variação será para mais ou para menos dependendo se ocorrer uma queda ou um aumento na pressão em 2 Destaquese ainda que as pressões devem ser especificadas em valores absolutos e não relativos e que sendo as relações entre as variáveis não lineares ver equação 840 os incrementos acontecem ao longo de uma curva que não é reta como seria numa relação linear Por isso devese estar atento para que não se aplique as equações para incrementos não muito grandes Quanto menores forem mais precisos serão os resultados O comentário é igualmente válido para as duas análises que seguem 862 Vazão vs Diâmetro Admitindo outras variáveis constantes a equação para a vazão em função do diâmetro é escrita na forma ou O resultado mostra que para uma variação de 10 no diâmetro obtémse uma variação de 25 na vazão indicando uma sensibilidade importante da vazão com o diâmetro 863 Pressão vs Diâmetro Eventualmente podese considerar as relações entre pressões e diâmetro De 840 para vazão constante 836 866 Para o exemplo anterior observamos que mantida a vazão constante para p1 100 bar e p2 60 bar absolutas um aumento de 10 no diâmetro äDD 010 requererá um aumento na pressão p2 de 444 reduzir o diferencial de pressão entre 1 e 2 Ou seja aumentandose o diâmetro em 10 a pressão p2 terá que passar de 60 para 864 bar 866 60044460 para manter a vazão Por outro lado uma redução de 10 no diâmetro äDD010 requererá uma redução em p2 para 334 bar 334 60044460 Logo uma redução no diâmetro exigirá um aumento na queda da pressão para manter a vazão original 87 Blowdown Assim é denominado na literatura americana e brasileira o procedimento de descarga para a atmosfera de gás num certo trecho de duto normalmente realizado para reparo Projetos de dutos incluem a instalação de válvulas de bloqueio espaçadas regularmente e associadas aos conjuntos de blowdowns Por medida de segurança esses sistemas devem estar localizados em áreas distantes de prédios de qualquer fonte de ignição e tanto quanto possível de fácil acesso A área deve ser protegida por cercas e de vandalismo O dimensionamento da instalação de blowdown é definido pelo tempo de descarga da seção de duto entre as válvulas de bloqueio geralmente projetado para 30 a 60 minutos Uma análise temporal e dimensionamento da instalação é mostrado a seguir 871 Escoamento no Sistema de Descarga Uma vez que a pressão no gasoduto é relativamente elevada muito acima da pressão atmosférica durante a operação de descarga prevalece a condição de afogamento choking exceto nos instantes finais quando a pressão fica abaixo de 2 atmosferas73 valores críticos no ponto de velocidade sônica Consideremos então a análise do escoamento de uma descarga A Fig 88 mostra um esquemático do tubo que conecta o gasoduto ao exterior A instalação física do sistema real envolve diversos outros dutos e válvulas secundárias 837 para desvio de fluxo e segurança não relevantes ao problema de descarga propriamente dita que aqui estamos interessados Admitamos que o sistema encontrase instalado entre duas válvulas de bloqueio distantes entre si L metros freqüentemente algo em torno de 30 km num duto com diâmetro interno uniforme Dt A condição de estagnação válvula fechada para a pressão e temperatura representam po e To ambas em valor absoluto A Fig 88a mostra a configuração do duto válvula e tubo de descarga com diâmetro Dd e comprimento hd Sendo a pressão interna po muito elevada então patmpo ppo 055 para gás natural conforme definido em 725 Desta forma a condição crítica ocorre no interior da descarga e a seguinte seqüência de estados termodinâmicos acontece Gás segue do duto em direção à válvula Admitindo que a geometria interna desta apresente uma redução de área relativa à dimensão nominal Av Ad área do tubo de descarga o fluxo é forçado para uma seção reduzida logo a jusante da válvula denominada vena contracta com área Ac Av Neste ponto ocorre afogamento com velocidade sônica Vc c Observe que nesta situação a condição na seção da válvula é subsônica Mac1 por se encontrar a montante do ponto crítico O fluxo se expande em velocidade supersônica em direção ao tubo de descarga até o pondod onde uma profusão de ondas de choque ocorre até o pontod definindo aí uma condição subsônica jusante dos choques Do pontodaté a saída o escoamento é subsônico acelerado até atingir a velocidade sônica na saída pontoe O local e condição termodinâmica em dé definido pela relação fLDd para escoamento isentrópico em duto com atrito viscoso Eq 86 e equações auxiliares relacionando condição em choque normal equação de Rankine Hugoniot Para um observador externo uma questão importante é conhecer a área crítica AcA que como acabamos de observar é inferior à seção mínima na válvula presumivelmente conhecida Esta informação é difícil de ser obtida sendo na prática definida pelo coeficiente de contração Cc tal que Ac CcAv 63 Valores aproximados para Cc encontramse na faixa 06Cc10 Na ausência de maiores informações uma boa escolha está entre 070085 18 18 Benedict RP Fundamentals of Pipe Flow Cap 3 John Wiley Sons 1980 838 867 Figura 88 Configuração de blowdown a gasoduto com válvula e tubo de descarga b esquemático do interior do sistema escala ligeiramente ampliada 872 Solução Analítica 19 Consideremos o cálculo do tempo para descarga total do gasoduto Como observado sendo a pressão estática po muito superior à pressão externa a vazão de massa ocorre sob condição crítica ou de 739 onde introduziuse o fator de compressibilidade Zo para considerar o efeito de fluxo de gás real Os subscritoso indicam estado de estagnação existente no interior do gasoduto num instante qualquer do processo Note que essa condição varia com o tempo enquanto a pressão cai A é a área critica na vena contracta ou seja A Ac CcAv É admitido 19 Veja também Simple Method Predicts Gas Line Blowdown Times Weis MH Botros KK Jungowski WM Oil Gas J Dec 12 1988 839 868 869 870 871 872 que a seção de abertura da válvula Av seja conhecida e constante no tempo Do balanço de massa no gasoduto sendo M a massa de gás estocado no segmento de comprimento L calculado pela expressão M ñoVo onde ño é a massa específica do gás e Vo o volume total do segmento Portanto Neste ponto é conveniente introduzir algumas simplificações Em primeiro lugar tratandose de um processo relativamente lento a temperatura pode ser considerada aproximadamente constante ao longo de todo o procedimento com pequenas variações de resfriamento aqui desprezadas Hipótese similar não é apropriada para o fator de compressibilidade uma vez que mesmo para temperatura fixa este varia com a pressão de um valor inicial Zini até 1 atmosférica Portanto para integrar a equação 868 admitiremos um valor médio fixo no tempo para Zo Zom 1Zini2 Assim ficamos com Combinando as três últimas equações e o tempo total de descarga blowdawn é então com å definido em 871 Notese que esta solução admite fluxo crítico sônico na válvula para todo instante Portanto no sentido estrito a pressão final pfin utilizada nas equações acima 840 deve corresponder ao final da condição crítica p po patm pfin 2 γ 1γγ 1 873 Abaixo deste valor o escoamento é subsônico em todo interior do sistema de descarga Para gás natural γ13 isto ocorre para pfin patam pfin 1 182 bar Ou seja aplicada esta condição em 872 a pressão final no duto será de 182 bar muito próximo da condição de equilíbrio com o exterior de 1 bar Para sermos precisos o cálculo do tempo final de descarga entre a pressão de 182 bar e a atmosférica deve ser realizado para escoamento subsônico Contudo admitindo um pequeno erro nesta estimativa podemos aplicar 872 para pfin patm 1 bar Na maior parte dos casos a diferença entre a solução exata e a aproximada é da ordem de minutos Definido o tempo de descarga o dimensionamento adequado do tubo de descarga e válvula associada é facilmente determinado resolvendo as equações 87172 História de Pressão e Vazão de Massa De 871 a pressão interna em função do tempo é obtida da equação após 872b pot pini eεt pfin pinit tfin 0 t tfin 874 De 867 e 874 a vazão de massa em função do tempo é ṁb ΓCcAv pini Zo Rg To eεt 875 que pode ser reescrita na forma adimensional ṁbt ṁbini Zoini Zo eεt Zoini Zo pfin pinit tfin 0 t tfin 876 Os subscritosini referemse à condição de fluxo inicial t0 e Zo é o fator de compressibilidade calculado para a pressão pt e temperatura To Evidentemente ṁbini é obtido de 875 com t0 877 878 88 Presença de Água e Formação de Hidratos em Gás Natural 881 Vapor de Água em Gás Natural A produção de gás natural de fontes do subsolo é saturada de água líquida e componentes pesados de hidrocarbonetos As exigências de um gás limpo e seco para transporte em dutos e distribuição para usuários requer que o gás seja processado para retirada de líquidos seguido de secagem para redução de vapor de água A presença do vapor em concentrações de algumas poucas dezenas de partes por milhão pode ter conseqüências sérias na vida de um duto devido à corrosão provocada pela umidade Além disso a formação de hidratos considerado em seguida pode reduzir a capacidade de escoamento incluindo o bloqueio total do duto e provocar danos em equipamentos como filtros válvulas ou compressores Hidratos constituem uma combinação de excesso de água com hidrocarbonetos que podem condensar durante o transporte em dutos formando emulsões que sob certa condição de pressão e temperatura formam massas de sólidos Uma estimativa para a quantidade de vapor dágua em gás natural também denominado de solubilidade de água no gás natural pode ser obtida pela expressão sugerida por Bukacek 20 onde mg conteúdo de vapor dágua lbMMscf p pressão absoluta psia e A e B são funções da temperatura assim definidas com T expresso em ºR Rankine Enquanto a expressão acima é utilizada para instalações de origem norteamericana na Europa utilizase para mg a razão mgsm3 miligrama por m3 padrão O trabalho original de Bukacek apresenta a concentração de vapor dágua em gráficos em função da pressão e temperatura Fatores de correção são igualmente apresentados para a salinidade da água e a massa específica do hidrocarboneto ie para 20 Bukacek RF Equilibrium Moisture Content of Natural Gases Bull Inst Of Gas Technology Bulletin 8 1955 842 a composição molar do gás A equação 877 foi obtida de uma análise de regressão de dados de Bukacek Num mesmo campo podemos ter solubilidades distintas de água no gás para condição diversa de pressão e temperatura Em geral o gás é saturado com vapor de água do reservatório pela saturação irreducível de água no poro da rocha ou da água que migra para a formação proveniente de aquíferos vizinhos Por outro lado a quantidade de umidade necessária para atingir a saturação de vapor da água em gases ácidos ie gases cuja composição contém quantidades significativas de dióxido de carbono e ácido sulfídrico é substancialmente maior do que a umidade exigida para metano ou um gás doce sem a presença de CO2 e H2S à mesma temperatura Observase então que o ponto de orvalho condensação medido em um gás ácido é significativamente inferior ao de um gás doce contendo a mesma quantidade de umidade Além disso sólidos dissolvidos como sal reduzem a pressão de vapor e assim a quantidade de umidade no gás 843 882 Processo de Desidratação O processo mais comum de secagem de gás natural é por um separador mecânico que separa o gás do escoamento bifásico oriundo do campo de produção seguido de desidratação por glicol O glicol saturado de água é recuperado por um processo de evaporação por calor antes de ser reinjetado na torre de separação constituindo um circuito recirculante contínuo Em geral este procedimento reduz o conteúdo de umidade a níveis inferiores a 50 mgsm3 3 lbMMscf Exemplo 81 Estimar a quantidade de água presente em um gás à temperatura de 300 ºF 1489 ºC às pressões de 2000 4000 6000 e 8000 psia utilizando o método de Bukacek Solução Para T 300ºF 7597 ºR de 862 A 433 e B 319106 Levando em 877 obtémse o resultado indicado na tabela a seguir Pressão psia mg lbMMscf gsm3 2000 2020 323 4000 1225 196 6000 960 154 8000 827 132 883 Hidratos em Gás Natural Hidratos são combinações físicas não químicas de água com gás natural que se formam a pressões e temperaturas consideravelmente acima do ponto de congelamento da água São sólidos cristalinos formados quando gás natural está na presença de água livre A formação de hidratos não é o mesmo processo de condensação de vapor de água sob pressão ou abaixo da temperatura do ponto de orvalho O fenômeno é de interesse especial para a industria de petróleo porque esses sólidos podem se formar nas pressões e temperaturas freqüentemente encontradas na produção poços e no transporte de gás natural Hidratos são freqüentemente formados em locais como joelhos orifícios válvulas e chokes Dentre as principais condições que podem promover ou favorecer a formação de hidratos destacamse21 i gás abaixo do ponto de orvalho na presença de água líquida 21 McCain WD The Properties of Petroleum Fluids Cap 17 PennWell Books 1990 844 879 880 881 ii baixa temperatura iii alta pressão iv alta velocidade v pressão pulsante vi presença de pequenos cristais de hidrato ou de partículas sólidas como areia e ferrugem vii agitação vii presença de CO2 e H2S Duas condições operacionais particulares podem favorecer esta situação i pressão constante com súbita redução na temperatura e ii súbita expansão por uma restrição ao escoamento como por uma válvula ou choke Neste caso a expansão é acompanhada de uma queda brusca na temperatura que promove a formação do hidrato Maiores detalhes sobre este processo podem ser obtidos no livro de McCain op cit e referências sugeridas alí 89 Mistura de Gases 891 Mistura de Gases Ideais Considere a mistura de N componentes de um gás cada um sendo uma substância pura O total da massa e do número de mols na mistura é Definese fração de massa ou concentração ci e fração molar yi de cada componente da mistura relacionados à massa molecular de cada componente Mi como mi niMi Assim é possível converter de um sistema para outro fração molar para concentração ou da concentração para fração molar 845 882 883 Nesta apresentação é admitido que no processo de mistura dos gases não ocorrem reações químicas tampouco interações entre as moléculas nenhuma reação embora em inúmeras situações reais os dois fenômenos possam ser observados sobretudo sob condição de pressão e temperatura elevadas O processo de interação intermolecular pode ser melhor compreendido se imaginarmos por exemplo que 1 mol de água seja adicionado a um grande volume de água a 25 ºC O volume da mistura crescerá 18 cm3 e diremos que 18 cm3mol é o volume molar da água Entretanto se adicionarmos 1 mol de água a um grande volume de etanol o volume crescerá somente 14 cm3 A razão para esta diferença tem a ver com o fato de que o volume ocupado por certo número de moléculas de água depende da identidade das moléculas que a circundam Existem tantas moléculas de etanol em torno de cada molécula de água que o empacotamento das moléculas resulta nas moléculas de água ocupando somente um volume total de 14 cm3 22 Como mencionado não consideraremos esta possibilidade na mistura dos gases sejam ideais ou reais Dois modelos são utilizados para analisar o comportamento termodinâmico da mistura de gases ideais a lei de Dalton e a lei de Amagat Nesta breve introdução consideraremos o modelo de Dalton Maiores detalhes sobre o tema podem ser obtidos num bom livro de termodinâmica como mostrado nas Referências Bibliográficas Lei de Dalton A pressão total pm de uma mistura de gases é igual à soma das pressões que cada gás exerceria se ocupasse isoladamente o volume total do vaso Vm à temperatura da mistura Tm A lei é estritamente válida para gás ideal Se pA pB e pC representam respectivamente pressões individuais parciais de gases misturados A B C para N constituintes da mistura a lei de Dalton é onde para cada constituinte i 22 Physical Chemistry PW Atkins Cap 7 5th Ed Oxford U Press 1994 846 884 onde R Ri e ni representam respectivamente a constante universal a constante do gás e o número de mols do gási Dividindo esta equação pela equação equivalente para a mistura total Portanto a fração molar yi ninm ou fração volumétrica é igual à razão entre a pressão parcial e pressão total da mistura Exemplo 82 A composição de massa de ar seco no nível do mar é aproximadamente N2 755 O2 232 e Ar Argônio 13 Calcular as frações molares e as pressões parciais de cada componente à pressão atmosférica 1 atm Solução Consideremos a massa de 1 kg de ar como referência Portanto o volume total em 1 kg de ar será de 345 mol As frações de massa molares volumétricas e as pressões parciais correspondentes estão representadas no quadro N2 O2 Ar Fração de massa 0755 0232 0013 Fração molar 078 021 00096 Pressão parcial atm 078 021 00096 Comparar o resultado com os valores indicados na Tabela 211 no Capítulo 2 892 Mistura de Gases Reais Uma aproximação pode ser feita para gases reais comportamento termodinâmico diferente de gases ideais se introduzirmos o coeficiente de compressibilidade Z Maiores detalhes sobre o comportamento de gases reais podem ser encontrados no ApêndiceB 847 A Tabela 87 resume as equações para este caso Tabela 87 Equações para mistura de gases reais Equação de estado geral Equação para a mistura Equação para Gási Lei de Dalton Equações para parâmetros da mistura Observe que o coeficiente de compressibilidade para a mistura é obtido pelo produto das frações molares e dos coeficientes de compressibilidade de cada um dos componentes ou seja Zi ZpcriTcri Uma alternativa comum encontrado na literatura é calcular Zm por valores críticos da mistura Zm ZpcrmTcrm Os dois métodos não são equivalentes Maior precisão é obtido pelos valores individuais conforme mostrado na tabela Note contudo que o cálculo de Z pelo método dos valores críticos individuais é muito mais caro computacionalmente do que o último uma vez que terão que ser calculados para cada componente do gás 893 Mistura de Gases no Escoamento em Gasodutos Convergentes Consideremos a situação mostrada na Figura 89 onde dois gasodutos se encontram no ponto C O duto AC transporta gás aqui identificado como G1 com uma composição contendo N1 componentes à uma vazão Q1 sob condição padrão O duto BC transporta 848 gás G2 com outra composição contendo N2 componentes e vazão Q2 igualmente sob condição padrão Os componentes de cada gás podem ser distintos podendo alguns estar presentes ou não em cada duto Ou seja a situação proposta é de total generalidade com relação à composição química assim como para a condição de fluxo como para a vazão e a pressão Figura 89 Dutos convergentes transportando gases distintos que se misturam Para o gás escoando pelo duto CD desejase calcular i a composição molar ii as principais propriedades termodinâmicas iii a vazão volumétrica Note que a vazão Qm in situ só poderá ser estabelecida conhecendose a massa específica da mistura e esta da composição molar Numa situação real é possível que dependendo da composição dos gases possa ocorrer uma reação química ou um processo de interação intermolecular conforme descrito anteriormente Neste caso somente uma análise detalhada como uma cromatografia gasosa poderá definir o gás da mistura Admitindo que tal situação não aconteça a composição da mistura pode ser obtida de um balanço de massa com base nas relações de número de mols por quilograma de cada gás Conhecida a composição de cada gás definimos a fração molar do componentei do gásá á 12 como yái De 880 849 885 886 887 888 889 890 Dividindo cái pela massa molecular do componentei obtémse o número de kmols do componente para cada quilograma da mistura que compõe o gás Desta forma a fração molar de um componentei para o gásá é obtida dividindo esta expressão pela soma de todos os componentes Este valor é evidentemente o mesmo da fração molar definido em 881 Note que ao levar 886 em 887 deve ser lembrado que Portanto no processo de mistura dinâmica em escoamento dos gases G1 e G2 o fluxo de massa de cada componente deve obedecer a equação de conservação onde os asteriscos indicam condição padrão ppatm e T20 ºC Como usualmente a vazão volumétrica padrão MMm3d é especificada as massas específicas são calculadas por onde R é a constante universal dos gases e Mwá a massa molecular do gásá Logo da conservação de massa do componentei 850 891 892 então onde xmi representa a fração de massa do componentei da mistura de G1 com G2 Desta forma de 887 a fração molar do componentei da mistura tem por expressão Assim a composição do gás de mistura de G1 com G2 é obtida desde que reações químicas ou interações moleculares não aconteçam Um exemplo para mistura de dois dutos convergentes é apresentado no Exercício89 851 Exercícios Exercício 81 Ar escoa sob condição subsônica num duto isolado termicamente com diâmetro de 1 polegada Admitindo que o fator de atrito de Darcy seja igual a 0024 pedese estimar a o comprimento do duto necessário para acelerar o escoamento de Ma1 010 até Ma2 050 b o comprimento adicional que seria necessário para que Ma2 seja sônico Ma2 10 Solução a Acelerar escoamento de Ma1 010 até Ma2 050 Este problema é uma simples aplicação do 81 em particular das Eqs 86 e 87 Consultamos a Tabela C2 Apêndice C que relaciona os valores do produto f LD em função do número de Mach Na realidade a tabela foi gerada a partir da Eq 86 para vários valores de Mach e ã 14 ar Assim Resolvendo para ÄL b Acelerar escoamento de Ma1 050 até Ma2 10 Para calcular o comprimento adicional para atingir a condição de afogamento basta resolver logo Resultado típico para esses escoamentos são necessários cerca de 70 m para acelerar o fluido até Ma 05 e então somente mais 1 m para atingir a condição sônica 852 Exercício 82 Ar escoa sob condição subsônica num duto isolado termicamente com diâmetro de 1 polegada Numa seção1 temse a seguinte condição Ma1 010 p1 70 bar abs T1 75 ºC Numa seção a jusante o número de Mach é 050 pedese estimar a pressão temperatura velocidade e a pressão de estagnação Admitir fator de atrito de Darcy igual a 0022 Solução Cálculo preliminar avaliar alguns parâmetros na seção1 onde Ma 010 Da Tabela C2 Apêndice C encontramos as seguintes relações Seção Ma pp TT VV popo 1 01 109435 11976 01094 5822 2 05 2138 11429 05345 134 Com esses valores calculamse as variáveis na seção2 Observe a redução de 77 na pressão de estagnação devido ao atrito viscoso As formulas facilitam muito os cálculos Podese obter esses resultados também a partir das equações de conservação como a Eq 88 853 Exercício 83 Um tanque contém ar comprimido na seguinte condição po 200 kPa abs To 35 ºC que alimenta um duto de 30 mm de diâmetro interno Admitindo que o fator de atrito médio seja 0020 e que a velocidade numa seção1 é de 100 ms calcular a o maior comprimento para o duto para esta condição b o fluxo de massa se o comprimento do duto é de 7 m c o fluxo de massa se o comprimento do duto é de 30m Solução a Comprimento do duto Calculemos o valor de alguns parâmetros na seção1 Com esse valor de Mach a Eq 86 ou Apêndice C fornece fLD 5654 Portanto o comprimento máximo do duto mantida esta condição será b Fluxo de massa para L 7 m O comprimento é inferior ao valor crítico de 848 m logo o duto não se encontra afogado e a vazão de massa pode ser calculado a partir da condição na entrada seção1 c Fluxo de massa para L 30 m O comprimento é agora muito superior ao valor crítico de 848 m logo o duto encontrase afogado correspondendo a um número de Mach de entrada Ma1 tal que Da Tabela C2 Apêndice C encontramos que este valor corresponde ao número de Mach 854 Portanto com este valor obtémse a condição real na entrada Portanto para a condição especificada o duto com 30 metros de extensão terá sua vazão limitada a 00952 ks Ou seja o aumento do duto de 7m para 30 m causará uma redução na vazão de massa de 37 0152 00952 0152 855 Exercício 84 Ar é admitido num duto com 30 mm de diâmetro interno e 8 m de comprimento sob condição subsônica tal que na entrada p1 200 kPa abs T1 50 ºC e na saída p2 130 kPa abs Admitindo fator de atrito de Darcy médio de 0025 calcular a vazão de massa no duto para as seguintes hipóteses a escoamento isotérmico b escoamento adiabático Solução a Escoamento isotérmico Neste caso a Eq 818 se aplica obtendo o fator logo de 818 A vazão global de massa será estão Verifiquemos os números de Mach na entrada e saída do duto temperatura é constante Eq 819 Portanto a hipótese de que o escoamento não é crítico está correta b Escoamento adiabático Uma maneira de resolver este problema para a condição adiabática é arbitre um valor para Ma1 calcule fLD1 para o Ma1 estimado e subtraia o comprimento L para obter fLD2 calcule p1p2 p1pp2p verifique se p2p1 é igual ao valor especificado p2p1esp se igual a solução foi encontrada se diferente tente novo Ma1 e reinicie o processo utilizando algum critério para buscar convergência Uma dificuldade para este procedimento consiste em obter um bom valor inicial para o número de Mach na entrada Uma saída para isso é utilizar a solução do problema isotérmico como estimativa inicial 856 Exercício 85 Ar entra num duto com 40 mm de diâmetro sob a condição de estagnação po 150 kPa abs To 400 K 1262 ºC Na seção de entrada a velocidade é de 120 ms admitido fator de atrito médio igual a f 0025 Para condição de fluxo adiabático determinar a o comprimento máximo para esta condição b a vazão de massa para um duto com 5 m de comprimento c a vazão de massa para um duto com 20 m de comprimento Solução a cálculo de alguns parâmetros na seção1 Com este valor de Mach de 86 ou Apêndice C fLD 5299 Portanto o comprimento máximo do duto para esta condição será b Fluxo de massa para L 5 m O comprimento é inferior ao valor crítico de 847 m logo o duto não se encontra afogado e a vazão de massa pode ser calculada a partir da condição na entrada seção1 c Fluxo de massa para L 20 m O comprimento é agora muito superior ao valor crítico de 847 m logo o duto encontrase afogado correspondendo a um número de Mach de entrada Ma1 tal que Da Tabela C2 Apêndice C encontramos que este valor corresponde ao Mach Para este valor obtémse a nova condição na entrada 857 Logo o aumento do duto de 5 m para 20 m causa uma redução na vazão de massa de 25 0187 0141 0187 858 Exercício 86 Um gasoduto transporta gás natural entre duas cidades de acordo com dados indicados nas duas Tabelas a seguir A partir das informações disponíveis neste texto pedese obter alguns parâmetros do escoamento como as distribuições de pressão temperatura velocidade massa específica e massa e volume total de gás estocagem em toda extensão do duto Tabela 661 Parâmetros do escoamento Parâmetro Variável Valor Unidade Extensão L 120 km Diâmetro nominal Schedule80 D 16 pol Diâmetro interno Di 04064 m Pressão entrada P1 96 bar Pressão saída P2 63 bar Temperatura ambiente Text 22 ºC Fator de atrito médio f 00091 Fator compressibilidade Z 087 Massa molecular Tab 62 Mg 18171 kgkmol Pressão crítica Tab 62 Pcr 461 bar Temperatura crítica Tab 62 Tcr 20306 K Constante do gás Rg 45743 JkgK Densidade relativa ãg 06274 Massa específica do gás ñg 07554 kgm3 Vazão normal Qstd 6 MMm3d Vazão de massa mg 52459 kgs Calor específico pressão constante cp 1942 JkgK Coef global transferência calor Ug 21 WmK Coef médio de JouleThomson ìg 95 KPa Massa específica do ar ña 1204 kgm3 Número de Reynolds calculado Re 95106 Velocidade gás saída calculado V2 737 ms Velocidade erosão saída calculado Vers 16 ms Tabela 662 Composição do gás Gasbol2009 Componente Fração pc yi pci Tc yi Tci mci yi mci Metano 08913 460 41000 1904 169704 16040 14296 Etano 00651 488 03177 3054 19882 30070 1958 Propano 00162 425 00689 3698 5991 44097 0714 IButano 00021 365 00077 4080 0857 58124 0122 NButano 00036 380 00137 4250 1530 58124 0209 IPentano 00011 339 00037 4600 0506 72151 0079 NPentano 00009 337 00030 4697 0423 72151 0065 Hexano 00010 301 00030 5075 0508 86178 0086 Nitrogênio 00114 339 00386 1262 1439 28016 0319 CO2 00073 738 00539 3041 2220 44010 0321 Total 10000 46102 203057 18171 859 Solução As distribuições de pressão temperatura velocidade massa específica e volume normal condição padrão estão indicadas nos gráficos As expressões para a pressão e temperatura são obtidas a partir das Eqs 846 e 952 respectivamente enquanto a distribuição de massa especifica é obtida de 826 A partir de então a massa total de gás no duto é calculada pela equação 838a realizando uma integração numérica pela regra de Simpson extendida conforme mostrado em 838b Utilizando uma integração com 12 subintervalos de 10 km 12012 chegase aos seguintes valores massa total 1054311 kg equivalente a 1395679 m3 padrão Note que Mtot ñVol onde os asteriscos referemse à condição padrão p atm T 20 ºC no presente caso ñ 07554 kgm3 Tabela 661 Observe que o volume total de gás pode ser obtido também a partir da soma dos volumes indicados na Fig 661d embora com pequeno erro quando comparado com o procedimento mais preciso de Simpson Figura 661 Distribuição de parâmetros ao longo de gasoduto de 16 com 120km a Distribuição de pressão b Distribuição de temperatura inclui efeito JouleThomson temperatura externa de 22 ºC c Distribuição de massa específica d Distribuição de volume padrão condição normal para cada 10 km Observe massa específica e volume padrão máximo em torno de 20 km da entrada devido à queda acentuada da temperatura na região 860 Figura 662 Distribuição de velocidade ao longo do duto Eq 834 Valor máximo de 737 ms na saída Velocidade de erosão neste local Eq 836 de 16 ms Ressaltese que a distribuição da temperatura incluiu o efeito JouleThomson estudado no Capítulo 9 Para o presente caso o duto é admitido encontrarse aproximadamente na horizontal desprezando o efeito gravitacional acima do solo com um isolamento térmico com coeficiente global de transferência de calor UG 21 WmK Tabela 661 assunto igualmente tratado no Capítulo 9 sob temperatura externa de 22 ºC O resultado Fig 661b indica uma queda significativa da temperatura sobretudo no trecho inicial provavelmente próximo de uma estação de compressão provocando um aumento gradativo da massa específica do gás na região conforme sugerido pela Eq 832a Notese que a partir do quilometro 70 a temperatura no interior do duto segue inferior à temperatura externa resultado do efeito JouleThomson resfriamento do gás chegando ao final com 138 ºC Portanto entre 70 e 120 km o gás está recebendo calor do exterior não cedendo como nos 70 km iniciais A sequência de Figuras 661 mostra uma variação expressiva ao longo do duto da massa específica e do volume de gás disponível estoque iniciando com algo da ordem de 125200 m3 e terminando com 98600 m3 a cada intervalo de 10 km Está claro que o estoque de gásvaria sensivelmente ao longo do duto resultado sobretudo da queda de pressão e da consequente redução da massa específica Admitindo regime de escoamento permanente a continuidade da vazão de massa requer um aumento gradativo da velocidade de gás conforme observado na Fig E662e Neste caso a velocidade terminal é de 737 ms correspondente a 46 da velocidade de erosão local de 16 ms O resultado sugere que a vazão nominal de 6 MMm3d está dentro do limite aceitável para esta instalação Importante ressaltar ainda que os resultados aqui mostrados referemse à condição de fluxo sob regime permamente Um duto de gás com esta extensão dificilmente opera nesta condição pressões e vazões devem variar com o tempo mesmo para condição operacional estável Na prática é comum observar variações temporais continuadas desses parâmetros tendo como consequência o aparecimento de um termo de acumulação de massa ao longo da linha variável com o tempo Uma análise precisa do processo requererá uma simulação computacional para regime nãopermanente ou a observação de medições de pressão ao longo do duto por exemplo 861 Exercício 87 Gases são transportados em dois gasodutos numa configuração similar àquela mostrada na Figura 89 A composição dos gases encontrase descrita nas Tabelas G1 e G2 abaixo As vazões volumétricas são de 8 e 3 MMm3d para G1 e G2 O resultado da mistura Gm consta da Tabela Gm A Tabela H mostra ainda o resultado das principais constantes PVT dos três gases A metodologia para construção das Tabela Gm primeira coluna para a fração molar da mistura e H foi aquela desenvolvida no parágrafo 893 Todos os cálculos foram realizados por um programa numérico em Fortran Solução A composição de G1 é a mesma do exercício B2 no Apêndice B B7 O gás possui 9 componentes e a Tabela G1 mostra os resultados parra algumas das propriedades PVT Por outro lado a composição de G2 foi arbitrariamente escolhida talvez não sendo próxima de nenhuma situação real Dois componentes Oxigênio e Gás Sulfídrico não constam da composição do gás G1 de forma similar cinco componentes de G1 nButano Hexanas Heptano Nitrogênio e CO2 não estão presentes em G2 Tanto a composição componentes quanto as frações volumétricas constituem situações bastante distintas para os dois gases O objetivo foi realçar o resultado da mistura que escoará pelo trecho CD na figura 88 Finalmente a Tabela H resume as frações molares dos três gases enquanto a Tabela I as propriedades PVT ou seja peso molecular constante do gás e valores críticos para a pressão e temperatura Note que as propriedades da mistura ocorrem para valores intermediários daquelas dos gases G1 e G2 Tabela G1 Composição do gás G1 Componente Fração molar y pc MPa yi pci Tc K yi Tci mci gmol yi mci gmol Metano 09512 46 4376 1904 18111 1604 1526 Etano 00242 488 0118 3054 739 3007 0728 Propano 00031 425 0013 3698 115 441 0137 iButano 00005 365 0002 408 02 5812 0029 nButano 00002 38 0001 425 008 5812 0011 Hexanas 00002 301 0001 5075 01 8618 0017 Heptano 00006 287 0002 5403 032 1002 006 Nitrogênio 0013 339 0044 1262 164 2802 0364 CO2 0007 738 0052 3041 231 4401 0308 1 46074 19413 16915 Tabela G2 Composição do gás G2 Componente Fração molar y pc MPa yi pci Tc K yi Tci mci gmol yi mci gmol Metano 07112 46 3272 1904 13541 1604 1141 Etano 02255 488 11 3054 6887 3007 6781 Propano 00341 425 0145 3698 1261 441 1504 iButano 00074 365 0027 408 302 5812 043 Oxigênio 00045 504 0023 1546 07 31 0144 Gás sulfídrico 00173 896 0155 373 645 3408 059 1 4722 22706 20858 862 Tabela Gm Composição do gás de mistura Gm G1 G2 Componente Fração molar y pc MPa yi pci Tc K yi Tci mci gmol yi mci gmol Metano 08857 46 4074 1904 16865 1604 1421 Etano 00791 448 0386 3054 2416 3007 2379 Propano 00116 425 0049 3698 427 441 051 iButano 00024 365 0009 408 097 5812 0138 nButano 00001 38 0001 425 006 5812 0008 Hexanas 00001 301 0001 5075 007 8618 0013 nHeptano 00004 287 0001 5403 024 10021 0044 Nitrogênio 00095 339 0032 1262 119 2802 0265 Oxigênio 00012 504 0006 1546 019 32 0039 Dióxido de C 00051 738 0038 3041 155 4401 0224 Gás sulfídrico 00047 896 0042 373 176 3408 0161 1 4639 20311 1799 Tabela H Composição molar dos gases Componente G1 G2 Gm mistura Metano 09512 07112 08857 Etano 00242 02255 00791 Propano 00031 00341 00116 iButano 0001 00074 00024 nButano 00002 00001 Hexanas 00002 00001 nHeptano 00006 00004 Nitrogênio 00013 00095 Oxigênio 00045 00012 Dióxido de C 00070 00051 Gás sulfídrico 00173 00047 1 1 1 Tabela I Constantes PVT e vazões dos gases Propriedade G1 G2 Gm Peso molecular kmolkg 16915 20858 1799 Massa específica kgm3 0703 0867 0748 Constante do gás Rg kJkgK 49155 39863 46217 Pressão crítica MPa 4607 4722 4639 Temperatura crítica K 19213 22706 20311 Vazão cond padrão MMm3d 8 3 11 863 Exercício 88 Gás natural γcpcv 129 e densidade λ065 é transferido entre dois gasodutos DA e DB por um duto de aço forjado conforme esquematizado O duto conector tem comprimento total de 57 m incluindo as duas curvas diâmetro interno de 52 mm e rugosidade relativa de 00016 O duto DA encontrase à pressão de 475 bar man e 28 ºC Na entrada do duto conector está um manômetro indicando pressão de 47091 bar man indicado na figura O duto conector possui duas curvas flangeadas com coeficientes de perda localizada cada igual a 17 Uma válvula de controle de fluxo está instalada próximo de DA com coeficiente Kv 167 O sistema está isolado termicamente Calcular a a vazão de massa kgs entre os dois dutos b a pressão e a temperatura no ponto D próximo da entrada de DB c o valor de Kv válvula para o qual o escoamento estará afogado Sugestão Calcular o fator de atrito admitindo escoamento totalmente rugoso pela equação de Nikuradse 3229 Solução Hipótese Admitir condição de estagnação nos dois dutos baixas velocidades 1 Cálculos preliminares Coeficiente de atrito admitindo número de Reynolds elevado Re106 o escoamento pode ser considerado totalmente turbulento Da equação de Nikuradse para tubulação rugosa 1f 114 087 ln00016 6741 f 00220 2 PontoA Da condição isentrópica calculase o número de Mach em C pressões absolutas po p 1 γ 12 Ma2γγ1 48513 48104 1 0145 MaC24448 MaC 01146 De 86 obtémse para a perda de carga sem perdas locais para MaC 01146 f LC D 5450 LC 54500520022 1288 m Assim ao incluir as perdas localizadas f LCReal D 2Kc Kv 5450 f LCReal D 5450 34 167 3440 LCReal 8131 m Portanto o afogamento se dará para Lc 8131m com as perdas incluídas Como o duto tem 57 m 8131 este não está afogado seu comprimento é inferior ao comprimento crítico incluindo as perdas localizadas Da condição em DA ToA 273228 3012 K To constante ao longo do duto 57 m To TC 1 γ 12 MaC2 1 0145011462 TC 3006K 274 ºC De 728 a função F1γMa aplicada no pontoC RgRarλ e A π005224 00021237 ṁ γ12 MaC A pC Rarλ TC 1291201146 0002123748104105 2873006065 3650 kgs 3 PontoD ΔLD 8131 570 2431 m comprimento em D para se chegar a Ma 1 na saída Logo f ΔLD D 0022024310052 10285 Para o qual se conclui de 86 que o número de Mach em D é MaD 0240 Ou seja com esse Ma é necessário 2431m para se atingir Ma crítico MaD1 na saída a Temperatura em D ToD 28 ºC 3002 K temperatura de estagnação ToD TD 1 γ 12 MaD2 1 01450242 10125 TD 2987 K 255 ºC b Pressão em D de 88a para γ129 MaA 01146 e MaD 0240 pD pA pD p pA p 48104 43134 91835 2259 bar abs 2158 bar rel 4 Condição na válvula de controle para afogamento MaC 01146 f LC D 5450 f L DCnew f L DCold 2Kc Kv 5450 0022570 0052C 34 Kv Kv 2698 Resp OBS Uma solução admitindo condição isotérmica conduz aos resultados indicados na Tabela Indicada também a solução adiabática obtida acima Parâmetro Adiabático Isotérmico Observação Pressão de entrada 4709 4709 Especificado Pressão de saída 2158 2158 Temperatura de entrada 274 274 Calculado Temperatura de saída 255 255 Temperatura média 264 264 Mach de entrada 01146 01158 Mach de saída 024 02458 Fluxo de massa 3651 3720 Exercício 89 Um gasoduto transporta gás natural entre duas localidades distantes 133 km O gás tem densidade 072 expoente isentrópico 129 e viscosidade 103105 Pas Determinar a vazão e a velocidade no final da linha se a pressão man no ponto inicial é de 82 bar e no ponto de entrega é de 5 bar As elevações temperaturas e o fator Z nesses dois pontos são respectivamente 10m 23 ºC 097 e 920m 18 ºC 10 O diâmetro do duto é de 200 mm enquanto a rugosidade é de 20 ìm e o fator de atrito para AGAA igual a 097 Utilizando uma eficiência de duto de 100 compare os resultados obtidos pelos nove modelos de transporte Solução A vazão é obtida da aplicação direta de 841 enquanto a velocidade é calculada de 834 Os resultados estão resumidos na tabela a seguir Observe que os modelos Weimouth e Fritsche são conservadores enquanto os valores dos modelos Teórico IGT e AGAB encontramse relativamente próximos O número de Reynolds para os respectivos modelos está compreendido no intervalo 65 a 94106 enquanto no ponto de entrega o número de Mach têm um valor médio de 0025 e a velocidade de erosão é de 527 ms Eq 836 Os resultados mostram que as velocidades estão dentro dos valores recomendados ou seja entre 16 e 24 da velocidade de erosão Modelo f Re Ma Vel ms Qstd Nm3d Teórico 0041 73106 0024 984 89730 Weimouth 1 65106 0021 879 80200 PanhandleA 1 80106 0026 1085 98960 PanhandleB 1 94106 0031 1274 116210 IGT 1 78106 0025 1048 95590 Mueller 1 86106 0028 1157 105570 Ftitzsche 1 65106 0021 883 80540 AGAA 00164 67106 0022 913 83260 AGAB 00127 77106 0025 1039 94790 Obs Mach e velocidades indicados referemse ao ponto de entrega 866 Exercício 810 Um duto transporta gás natural entre duas cidades distantes 185 km O gás tem densidade 056 e viscosidade 131105 Pas Determinar o diâmetro da linha para transportar 25 MMm3d se a pressão no ponto inicial é de 98 bar e no ponto de entrega de 45 bar As elevações temperaturas e o fator Z nesses dois pontos são respectivamente 10m 25 ºC 090 e 415m 19 ºC 092 A rugosidade do duto é de 18 ìm e o fator de atrito para AGAA é 094 Utilizando uma eficiência média do duto de 95 compare os resultados obtidos pelos nove modelos de transporte Solução O diâmetro é obtido da Eq 847 Os resultados estão resumidos na tabela a seguir Neste exemplo há uma concordância geral para o diâmetro em torno de 12 in O número de Reynolds para os respectivos modelos encontrase no intervalo de 6 a 75106 enquanto na extremidade final do duto o número de Mach têm um valor médio de 0020 a velocidade de erosão é 207 ms Podemos concluir que as velocidades do gás para os diversos modelos estão dentro dos valores recomendados entre 34 e 54 da velocidade de erosão Outro ponto a ser destacado é que o gradiente de pressão médio no duto é de 286 kPakm próximo do valor recomendável Eq 837 na realidade um pouco acima dos 25 kPakm Uma condição melhor poderia ser obtida para pressão no ponto de entrega mais elevada aqui sugerido de 45 bar um valor muito baixo para a condição de 98 bar na entrada Alguma coisa em torno de 60 bar na entrega seria mais adequado Outra possibilidade seria aumentar o diâmetro para 14 polegadas mantendose a vazão desejada Modelo f Re Ma Vel ms Dia mm Dia in Dianom in Teórico 00113 63106 0018 829 300 118 12 Weimouth 1 61106 0017 764 312 1229 12 PanhandleA 1 68106 0021 94 281 1108 12 PanhandleB 1 68106 0022 964 278 1093 12 IGT 1 68106 0022 965 278 1093 12 Mueller 1 73106 0025 1103 260 1022 12 Ftitzsche 1 64106 0029 833 299 1177 12 AGAA 00117 63106 0018 816 302 1189 12 AGAB 00109 64106 0019 84 298 1171 12 Obs Mach e velocidades indicados referemse ao ponto de entrega 867 Exercício 811 Desejase projetar uma instalação de blowdawn para as seguintes condições a diâmetro nominal do gasoduto NPS24 Di5906mm b distância entre válvulas de bloqueio 105 km c pressão e temperatura de estagnação po 82 bar manométrica e To 26 ºC d gás natural com composição química definida no exemplo B2 do ApêndiceB B7 Pedese a para um tempo de descarga entre 45 e 60 min o diâmetro nominal do duto e da válvula de descarga admitir Cc 082 b a vazão mássica do sistema após 30 min Admitir que o diâmetro da garganta da válvula totalmente aberta corresponde a 94 do diâmetro nominal Solução Segundo o exemplo B2 as pseudo condições críticas do gás sãoppc 4664 bar 4563 bar relativo e Tpc 2004 K 728 ºC Com esses valores as propriedades pseudo reduzidas Da Fig B1 Zini 084 Note que a densidade relativa deste gás é ëg 16562896 05718 então Rg 28705718 502 m2s2K O expoente isentrópico é calculado como ã 1294 enquanto o valor médio de Zo é Zm 10842 092 e de 867 Ã 06662 O volume do gasoduto é Vo ðD24L ð0592410500 2877 m3 A De 872 e t 60 min e de 871 Correspondendo um diâmetro na válvula de 149 mm Segundo os dados do problema o diâmetro nominal é Dnom 149094 1585 mm Portanto Anom Av0942 00173908836 00197 m2 Um duto padrão próximo deste é o NPS6 Di 1541mm para o qual a seção na válvula será Av 0942ð0154124 00165 m2 Para esta escolha o tempo de descarga é de 63 minutos sugerindo a escolha do NPS6 B De 875 De 874 a pressão em t 30 min 1800s é p1800 830101 84 bar após duas iterações para determinar o valor de å 1273103 função de Zo 099 e po 84 bar De 876 concluíse finalmente Portanto após cerca de metade do tempo 30min de descarga a vazão cai para 11 da inicial 2107 kgs permanecendo o fluxo crítico afogado Veja também o problema 112 no Capítulo 11 868 Examples flow restriction 869