Lista 4 - Oscilações 2020 1

ENGENHARIAS (CICLO BASICO) 7 FISICA 2 prof. Raphael Pipio (2020/1) Campus UFRJ-Macaé 2 Professor Aloisio Teixeira LISTA DE EXERCICIOS 4 — ONDAS Todo o material contido neste documento nado possui propdsito comercial; contém material original, assim como material adaptado e compilado de varias fontes. Questao 1 Considere a equacaéo de ondas unidimensional de uma onda que se propaga através de um dado meio na direcao +a. (a) Mostre, por substituigéo direta, que as ondas harménicas, yi(z,t) = Ai sen(kx — wt), yo(z,t) = Ag cos(kx — wt), onde v = w/k, séo possiveis solugdes da equacgao de onda: O*y 1 Oy 9 0x2 v2 OIF (b) Mostre que a superposicaéo y = y1 + y2 € também uma solucao da equagéo de onda. Questao 2 (H16.66) Um pulso isolado, cuja forma de onda é dada por h(a —5t), com x em centimetros hyp attr <0 e t em segundos, é mostrado na figura ao lado para t = 0. A escala do eixo @& vertical é definida por h, = 2. Quais sdo: (a) a velocidade e (b) o sentido de = propagacaéo do pulso? (c) Faga um grafico de h(x — 5t) em fungao de x para 06 1 > 3 4 t = 2s. (d) Faca um grafico de h(x — 5t) em fungao de t para x = 10cm. x Questao 3 (M5.1) Uma corda uniforme, de 20m de comprimento e massa de 2 kg, esta esticada sob uma tensdo de 10 N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 3cm e frequéncia de 5 oscilagdes por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de 1,5cm para cima. (a) Ache a velocidade de propagacaéo v e o comprimento de onda . da onda progressiva gerada na corda. (b) Escreva, como funcao do tempo, o deslocamento transversal y de um ponto da corda situado a distancia de x da extremidade que se faz oscilar, apds ser atingido pela onda e antes que ela chegue a outra extremidade. (c) Calcule a intensidade J da onda progressiva gerada. Questao 4 (M5.5) Uma corda uniforme de massa m e comprimento L esta pendurada em u teto. (a) Mostre que a velocidade de uma onda transversal na corda é fungéo de z, a distancia da extremidade inferior, e 6 dada por v = ,/gz. (b) Mostre que o tempo que uma onda transversal leva para atravessar a corda é dado por t = 2\/L/g. Questao 5 (M5.6) Duas ondas transversais de mesma frequéncia v = 100 Hz sao produzidas num fio de ago de 1mm de diadmetro e densidade 8 g/cm?, submetida a uma tensao T = 500N. As ondas séo dadas por yi(a,t) = Acos(kx — wt + 1/6), yo(x,t) = 2A sen(wt — kx) onde A = 2mm. (a) Escreva a expressao da onda harménica progressiva resultante da superposicao dessas duas ondas. (b) Calcule a intensidade da onda resultante. (c) Se fizermos variar a diferenga de fase entre as duas ondas, qual é a razdo entre os valores maximo e minimo possiveis da intensidade da resultante? Questao 6 (H16.53) Duas ondas séo geradas em uma corda com 3,0m de comprimento para produzir uma onda estacionaria de trés meios comprimentos de onda com uma amplitude de 1,0cm. A velocidade da onda é de 100m/s. admita que a equacao de uma das ondas é da forma y(x,t) = Asen(ka + wt). Na equacéo da outra onda, determine (a) a amplitude A’ (b) o nimero de onda k’, (c) a frequéncia angular w’ e (d) o sinal que precede w’ Questão 7 (M5.7; fis2-2015-1-p2-gabarito) A corda mi de um violino tem uma densidade linear de 0,5 g/m e está sujeita a uma tensão de 80 N, afinada para uma frequência ν = 660 Hz . (a) Qual é o comprimento da corda? (b) Para tocar a nota lá da escala seguinte, de frequência 880 Hz, prende-se a corda com um dedo, de forma a utilizar apenas uma fração f de seu comprimento. Qual é o valor de f? Questão 8 (H16.58; fis2-2015-2-p2-gabarito) Na figura ao lado, uma corda, presa a um oscilador senoidal no ponto P e apoiada em um suporte no ponto Q, é tensionada por u bloco de massa m. A distância entre P e Q é L = 1,20 m, a densidade linear da corda é µ = 1,6 g/m e a frequência do oscilador é f = 120 Hz. A amplitude do deslocamento do ponto P é suficientemente pequena para que esse ponto seja considerado um nó. Também existe um nó no ponto Q. (a) Qual deve ser o valor da massa para que o oscilador produza na corda o quarto harmônico? (b) Qual é o modo produzido na corda pelo oscilador para m = 1,00 kg? Questão 9 (M5.8) Uma corda de comprimento l está distendida, com uma extremidade presa a um suporte e a outra extremidade livre. (a) Ache as frequências νn dos modos normais de vibração da corda (b) Desenhe a forma da corda associada aos três modos de vibração mais baixos (em ordem de frequência crescente). A velocidade de ondas na corda é v. Questão 10 (M5.10) Uma corda vibrante de comprimento l, presa em ambas as extremidades, está vibrando em seu n-ésimo modo normal, com deslocamento transversal dado por yn(x, t) = bn sen(nπx/l) cos(nπvt/l) . Calcule a energia total de oscilação da corda. Sugestão: Considere um instante em que a corda esteja passando pela posição de equilíbrio, de modo que sua energia total de oscilação esteja em forma puramente cinética. Calcule a densidade linear de energia cinética e integre sobre toda a corda. Questão 11 (H17.10) A pressão de uma onda sonora progressiva é dada pela equação p(x, t) = (1,5 Pa) sen π[(0,9/m)x − (315/s)t] Determine: (a) a amplitude, (b) a frequência, (c) o comprimento de onda, (d) a velocidade da onda e (e) a intensidade. Questão 12 (H17.7; ver Halliday, Exemplo 16-1) Os terremotos geram ondas sonoras no interior da Terra. Ao contrário de um gás, a Terra pode transmitir tanto ondas sonoras transversais (S) como ondas longitudinais (P). A velocidade da onda S é da ordem de 4,5 km/s e a das ondas P é da ordem de 8,0 km/s. Um sismógrafo registra as ondas P e S de um terremoto. As primeiras ondas P chegam 3,0 min antes das primeiras ondas S. Se as ondas se propagaram em linha reta, a que distância ocorreu o terremoto? Questão 13 (H17.95) Um segmento de reta AB liga duas fontes pontuais, separadas por uma distância 5,00 m, que emitem ondas sonoras de 300 Hz de mesma amplitude e fases opostas. (a) Qual é a menor distância entre o ponto médio de AB e um ponto sobre AB no qual a interferência das ondas provocada a maior oscilação possível das moléculas de ar? Quais são (a) a segunda e (c) a terceira menor distância? Questão 14 (M6.2) Um alto-falante de um aparelho de som emite 1 W de potência sonora na frequência ν = 100 Hz. Admitindo que o som se distribui uniformemente em todas as direções, determine, num ponto situado a 2 m de distância do auto-falante: (a) o nível sonoro em db; (b) a amplitude de pressão; (c) a amplitude de deslocamento. Tome a densidade do ar como 1,3 kg/m3 e a velocidade do som como 340 m/s. (d) A que distância do auto-falante o nível sonoro estaria 10 dB abaixo do calculado no item (a)? Questão 15 (M6.4) Um diapasão vibrante D de frequência ν conhecida excita ondas sonoras numa coluna de ar, contida num tubo cilíndrico de vidro com água na parte inferior. Faz-se variar o comprimento l da coluna variando o nível N da água no tubo. A coluna de ar é aberta numa extremidade e fechada na outra, de modo que se produzem ressonâncias quando l = λ/4, 3λ/4, 5λ/4, . . . (figura ao lado), onde λ = v/ν e v é a velocidade do som no ar. A ressonância é detectada pelo reforço considerável produxido na intensidade sonora. Na verdade, a variação de pressão só se anula um pouco adiante da extremidade aberta: a coluna de ar vibrante se estende um pouco além da extremidade aberta. Para um tubo de secção circular e pareddes não muito espessas, esta correção terminal equivale a corrigir o comprimento efetivo do tubo, acrescentando-lhe ≈ 0, 6, onde R é o raio do tubo. Considere que o diapasão emite a nota lá de 440 Hz. À medida que a água no tubo vai baixando, a primeira ressonância aparece quando a altura da coluna de ar é de 17,5 cm e a segunda quando é de 55,5 cm. (a) Qual é o comprimento de onda? (b) Qual é o valor da correção terminal? (c) Estime o diâmetro do tubo. (d) Qual é a velocidade do som no tubo? Questão 16 (M6.5) O tubo de Kundt, que costumava ser empregado para medir a velocidade do som em gases, é um tubo de vidro que contém gás, fechado numa extremidade por uma tampa M que faz vibrar com uma frequência ν conhecida (acoplando-a a um auto-falante) e na outra por um pistão P que se faz deslizar, variando o comprimento do tubo. O tubo contém pó fino (cortiça, por exemplo). Ajusta-se o comprimento do tubo com o auxílio do pistão até que ele entre em ressonância com a frequência ν, o que se nota pelo reforço da instensidade sonora emitida. Observa-se então que o pó fica acumulado em montículos igualmente espaçados, de espaçamenteo ∆l (ver figura), que se pode medir. (a) A que correspondem as posições dos topos dos montículos. (b) Qual é a relação entre ∆l, ν e a velocidade do som no gás? (c) Com o tubo cheio de CO2 a 20 ◦C e ν = 880 Hz, o espaçamento médio medido é de 15,2 cm. Qual é a velocidade do som no CO2? Questão 17 (H17.71; fis2-2015-1-p2-gabarito) Uma onda sonora harmônica de comprimento de onda λ é emitida isotropicamente de uma fonte pontual S. A onda 1 se propaga diretamente para o detector D, situado a uma distância L. A onda 2 chega a D após ser refletida em uma superfície plana, que ocorre sobre a mediatriz do segmento de reta SD, a uma distância d da onda 1. Admita que a reflexão desloca a fase da onda sonora de λ/2. (a) Calcule a diferença de fase entre a onda direta e a onda refletida em D. (b) Para quais valores de d as ondas 1 e 2 chegam a D em oposição de fase? (c) Para quais valores de d as ondas 1 e 2 chegam a D em fase? Questão 18 (M6.10; ver Halliday, Exemplo 17-3) Uma onda sonora plana harmônica de comprimento de onda λ incide perpendivularmente sobre um anteparo opaco com três fendas igualmente espaçadas, de espaçamento d ≫ λ. (a) Para pontos de observação P situados a distâncias R ≫ d, determine as direções de observação θ (na figura ao lado) em que aparecem mínimos de interferência. (b) Qual é a intensiddade dos mínimos? Sugestão: Use a notação complexa! Questão 19 (M6.12; fis2-2015-1-psc-gabarito) Dois trens viajam em sentidos opostos, sobre trilhos, com velocidades de mesma magnitude. Um deles vem apitando. A frequência do apito percebida por um passageiro do outro trem varia ente os valores de 348 Hz, quando estão se aproximando, e 259 Hz, quando estão se afastando. A velocidade do som no ar é de 340 m/s. (a) Qual é a velocidade dos trens (em km/h)? (b) Qual é a frequência do apito? Questão 20 (H17.104) Uma pessoa em um vagão de trem toca uma nota de 440 Hz em um trompete. O vagão está se movendo a 20,0 m/s em direção a uma parede. Calcule a frequência (a) do som que incide na parede e (b) do som refletido que é ouvido pelo trompetista. Questão 21 (fis2-2015-2-p2-gabarito) Uma onda sonora de 2,0 MHz viaja através do abdômen de uma gestante e é refletida da parede do coração fetal de seu bebê. No momento em que a medição é realizada, enquanto o coração bate, a parede do coração está se movendo em direção ao receptor de ultrassom. O som refletido é então misturado com o som transmitido, e 72 batidas por segundo são detectadas. Considerando que a velocidade do som no tecido do corpo é 1,5 km/s: (a) Mostre como determinar a frequência de batimento em termos da velocidade do coração u, da velocidade do ultrassom v e da frequência do pulso de ultrassom f0 emitido pelo equipamento. (b) Calcule a velocidade da parede do coração fetal no instante que esta medição é feita. Questão 22 (H17.106, ver Moysés, eq. 6.5.10) Uma onda sonora se propaga uniformemente em todas as direções a partir de uma fonte pontual. (a) Justifique a seguinte expressão para o deslocamento s do meio transmissor a uma distância r da fonte s = b r sen(r − vt) onde b é uma constante. Considere a velocidade, o sentido de propagação, a periodicidade e a intensidade da onda. (b) Qual é a dimensão da constante b?