Trabalho de Análise Real 2021-2

2 Parte I Escreva um resumo sobre a teoria de séries de numeros reais, que contemple os seguintes itens (nao necessariamente nesta ordem): e O conceito de convergéncia de séries; e O conceito de convergéncia absoluta de séries; e Os resultados que vocé julga serem mais importantes ou interessantes; e Os exemplos e contra-exemplos que vocé julga serem mais importantes ou interessantes; e Pelo menos duas demonstracgoes completas. Parte II Seja co dt n=1 uma série de nimeros reais. Uma reordenacdo desta série 6 uma série da forma CO S Ur(n)s n=1 onde 7 é qualquer permutacao de N, ou seja, uma funcao bijetiva de N sobre N. Dizemos que a série )°~ | @n é incondicionalmente convergente quando todas as suas reordenacoes convergem. Escreva um texto sobre 0 conceito de convergéncia incondicional que, necessariamente, va além do que esta contido no livro texto do nosso curso sobre este assunto. Parte III Para cada item abaixo, diga se a afirmacao é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta. (1) Se X C R é nao-enumeravel, entao R\X é enumeravel. (2) Se o nimero real x nao é o limite de uma sequéncia limitada (x,,), entao alguma sub- sequéncia de (xz,,) converge para um limite y Z x. (3) Se (a,) 6 uma sequéncia de nimeros reais tal que Ve > 0, dno EN tal que |x,41 — @,| < € sempre que n > no, entao (x,) 6 uma sequéncia convergente. (4) Se existem a > Oe k EN tais quea < xr, < n* para todo n suficientemente grande, entao lim ¢~/z, = 1. nN—->0o