Aula 24 Problema de Dirichlet-2022 1

Aula 26 Problema de Dirichlet Uma membrana elástica tem borda descente por uma curva fechada Representamos a altura de cada ponto da membrana por uma função de duas variáveis espaciais e do tempo deslocamento vertical z uxyt onde x e y descrevem pontos de um domínio fechado compacto D para t0 O deslocamento vertical é a solução da equação de onda bidimensional 1v² ²ut² ²ux² ²uy² 0 ²u 1v² ²ut² Procuramos por uma solução estacionária ou seja uma solução independente do tempo explicitamente pode depender através de x e y ou seja ut xyt0 Esta condição reduz a eq de onda a EQUAÇÃO DE LAPLACE ²u0 ² Laplaciano Definimos FUNÇÕES HARMÔNICAS soluções da equação de Laplace com condições de contorno de Dirichlet uxygxy uxy D CONDIÇÕES DE DIRICHLET Aula 26 Isso significa que a posição vertical da margem da membrana é fixa Definindo N como a normal externa à fronteira da membrana definimos CONDIÇÕES DE CONTORNO DE NEUMANN un x₀y₀ N uxy φxy xy D Neste caso a borda da membrana pode variar mas não varia na direção da normal externa à borda Definimos PROBLEMA DE DIRICHLET o problema de encontrar soluções contínuas da equação de Laplace com condições do contorno de Dirichlet ²uxy0 uxy0 xyD Resumindo dado um domínio fechado compacto D e uma função contínua fxy definida na fronteira de D f Dℝ queremos encontrar uma função u Dℝ contínua em D tal que ²uxy0 no interior de D e para qualquer xy D valha uxy fxy Em geral o problema de Dirichlet é difícil de resolver e existem casos nos quais não existe a solução Todavia iremos provar um teorema que garante a unicidade se a solução existe Aula 26 TEOREMA se uxy é solução do problema de Dirichlet então o máximo global de uxy ocorre na fronteira do domínio Demonstração Aplicando um teorema bem conhecido podemos afirmar que uxy admite máximo global em D sendo uma função contínua em um domínio fechado e limitado Chamamos este máximo de M Definimos o máximo global de uxy em D de m ou seja m max xyD uxy e M max xyD uxy Supomos que o máximo global em D esteja no interior de D o que implica m M Definimos x₀y₀ o ponto onde uxy assume o valor M no interior de D x₀y₀ D Definimos a função vxy uxy M m 2d² xx₀² yy₀² onde d é a maior distância possível entre elementos de D Observamos que vx₀y₀ ux₀y₀ M e que se xy D temos vxy m M m 2d² M m 2 M Isso prove que o máximo global de ux1y1 ocorre no interior de D em um ponto x1y1 Usando o teste de segunda derivada podemos afirmar que ²ux1y1x² 0 ²ux1y1y² 0 que implica ²ux1y1 ²ux1y1 0 Calculando explicitamente o Laplaciano de uxy temos ²uxy ²u1xy Mm2d ²xx₀²yy₀² ²uxy 4 Mm2d 2Mmd 0 Portanto chegamos a uma contradição ao seje a hipótese inicial e errada e o máximo global só pode estar na fronteira TEOREMA se uxy é solução do problema de Dirichlet então o mínimo global de uxy ocorre na fronteira do domínio TEOREMA se a condição de contorno de um problema de Dirichlet é nula em toda a fronteira uxy 0 xy D então a solução uxy é nula em todo o domínio D DEMONSTRAÇÃO Segundo os dois teoremas anteriores máximo e mínimo absolutos devem ocorrer na fronteira Valendo o desigueldade 0 min xy D uxy uxy max xy D 0 temos uxy 0 xy D TEOREMA UNICIDADE DA SOLUÇÃO Se u1xy e u2xy soluções do mesmo problema de Dirichlet Então u1xy u2xy em todo o domínio D DEMONSTRAÇÃO Definimos ũxy u1xy u2xy ²ũxy 0 com condições de contorno ũxy g1xy g2xy 0 xy D Portanto ũxy é solução do problema de Dirichlet com condições de contorno nulas Pelo teorema anterior ũxy 0 xy D então concluímos que u1xy u2xy xy D PROBLEMA DE DIRICHLET NO RETÂNGULO Consideramos como domínio o retângulo D 0a x 0b cuja fronteira consiste de quatro segmentos de reta nos quais vamos impor a condição de contorno ux0 g1x x 0a u0y g2y y 0b uxb g3x x 0a uay g4y y 0b Para a condição de contorno ser contínua na fronteira 2D tem que ser g10 g20 u00 α g2b g30 u0b β g3a g4b uab γ g40 g1a ua0 δ Definimos uma nova função u₀xy tal que uxy α δαd x βαb y αδβδdb xy u₀xy Nos cantos do domínio a função u₀xy assume os seguintes valores 90 u000 u00 α α α 0 u0y u0y α β α α β δ g1x α δ α g2x uxy u0y α β α α β g4y A condição de contorno U1xb0 implica U1xbXxYb0 Yb0 portanto YnbCn efracnpi bd dn efracnpi bd 0 Cn dn efrac2npi bd então Ynydn efrac2npi bd efracnpi yd dn efracnpi yd dn efracnpi bd efracnpiybd efracnpiybd 2dn efracnpi bd senhfracnpiybd Definindo dn2dn efracnpi bd temos Ynydn senhfracnpiybd Resumindo a solução do P1 será a sobreposição das autofunções unxydn senfracnpi xd senfracnpiybd ou seja U1xy ildeZn dn senfracnpi xd senfracnpiybd Para determinar os coeficientes dn vamos impor a última condição inicial U1x0 U1x Para fazer isso montamos a extensão ímpar de Gxe e vamos impor U1x0sumlimitsn1infty dn senfracnpi xdsenhleftfracnpi bdright Gx Usando as expressões dos coeficientes da temos dn senhleftfracnpi bdright frac2dint0d Gxe senfracnpi xddx ou seja dn frac2d senhleftfracnpi bdright int0d Gx senfracnpi xddx Isso termina a busca de solução do P1 Analogamente é possível determinar as soluções U2xy U3xy e U4xy PROBLEMA DE DIRICHLET NO DISCO Uma membrana elástica tem borda descrita por uma curva fechada cuja projeção no plano z0 é uma circunferência de raio a A altura de cada ponto da membrana pode ser representado por uma função de duas variáveis espaciais e uma temporal z uxyt xy D onde D xyR² x²y²d² e tem que ser solução da equação de onda bidimensional abla2 u frac1v2fracpartial2upartial t20 Procuramos por soluções estacionárias impondo fracpartial uxytpartial t0 para qualquer xyD o que reduz o problema a um problema de Dirichlet no disco abla2 uxy0 uxyfxy xyD ou rθ r²y²d² A ideia é impuser o domínio D em um retângulo reduzindo de fato o problema de Dirichlet no disco a problema no retângulo Para fazer isso introduzimos coordenadas polares Aula 25 Definimos x r cosθ y r sinθ assim que o domínio D é equivalente a um retângulo O lado AB é mapeado no orígem do círculo que descreve o domínio e neste ponto queremos que a função seja contínua portanto não divergente A condição no retângulo será para urθ a seguinte u0θ uθℝ θ02π Os lados AB e OC são mapeados em um segmento do eixo é entre o e d Neste segmento a função pode ser qualquer mas a condição de contorno precisa ser a mesma em AB e OC ou seja ur0 ur2π r0a Enfim o lado BC é mapeado no DD e teremos a condição uaθ gθ θ02π Aula 25 Resumindo as condições de contorno são u0θgθ θ02π ur0 ur2π r0a uaθ gθ θ02π Falta trocar de coordenadas na equação de Laplace O método mais eficiente é o seguinte Notamos que u r ux r uy u cosθ u x seno u y u θ u x u y u r seno u x r cosθ u y Excluindo a função u escrevemos a relação entre os operadores diferenciais Aula 25 descobrimos que 2u x2 cos2θ 2u r2 1 r senoθ 2u r 2u y2 senoθ 2u r 1 r cosθ 2u θ então 2u x2 cos2θ 2u r2 cosθ 2u r senoθ 2u y2 1 r senoθ 2u y 1 r2 senoθ 2u y2 1 r2 senoθ 2u z2 cosθ 2u r2 1 r2 senoθ 2u θ2 2 r2 senoθ cosθ 2u r2 AULA 25 Resumindo o problema de Dirichlet no disco é equivalente ao problema no retângulo Vamos resolver a segunda equação do valor do sinal de z tomando conta da condição inicial ur0 ur2π Impedindo a condução periódica H0 H2π c1 c1 cos2Kπ c2 sen2Kπ com solução cos2Kπ 1 sen2Kπ 0 ao seja 2Kπ 2nπ n Z Kn n Z Neste caso obtemos autofunções Hnθ dn cosnθ bn sennθ n 0 com autovalores dn n2 Excluindo as autofunções com n 0 podemos expressálas em termos de combinações lineares de autofunções com n 0 Note que incluímos o caso anterior com n 0 Em correspondência com estas autofunções a equação para Rr é uma EDO de Euler r2Rr rRr n2Rr 0 que admite soluções do tipo R0r c0 d0 logr Rnr cnrn dnrn lembrando que temos a condição de contorno U0 θ U0 U0 θ 0 2π temos que excluir as soluções divergentes em r 0 ou seja excluímos logr e rn como dizer dn 0 n N Chegamos a conclusão que as autofunções da equação de Laplace para o problema no disco são Unr θ HnθRnr rnan cosnθ bn sennθ n N e a solução completa é obtida usando o princípio de sobreposição Ur θ n0 rnan cosnθ bn sennθ Para determinar os coeficientes an e bn precisamos impor a última condição de contorno θ 0 2π U0 θ gθ n0 an cosnθ bn sennθ gθ Se gθ satisfaz as hipóteses do teorema de Fourier os an e bn serão dados por d0 12π π π Fθdθ 12π 0 2π gθdθ an 1πn π π Fθ cosnθdθ 1πn 0 2π gθ cosnθdθ bn 1πn π π Fθ sennθdθ 1πn 0 2π gθ sennθdθ onde Fθ é a extensão periódica de fθ EXEMPLO encontre a solução do problema de Dirichlet no disco D x y R2 x2 y2 d2 com condição de contorno Ux y A sen θ Solução Em coordenadas polares o problema e 1r r r r 1r2 2θ2 Ur θ 0 Ur θ A sen θ Conforme quanto obtido a solução geral do problema de Dirichlet no disco é ur θ n0 rnan cosnθ bn sennθ e a condição de contorno é n0 rnan cosnθ bn sennθ A sen θ Os coeficientes conforme as expressões dos coeficientes de Fourier são d0 12π 0 2π A sen2θdθ 12 A dn 1πn 0 2π A sen2θcosnθdθ Aπn 0 2π 1 cos2θ cosnθdθ A2d2π 0 2π cosnθdθ A2d2π 0 2π cosnθ cos2θdθ n 2 0 n 2 π A2d2π tg n2 A2d2 dn 0 n 2 bn 1d2π 02π A sennθsenθdθ Ad2π 02π sennθ 1 cos2θ2 dθ A2d2π sennθ 02π sennθcos2θdθ 0 onde usamos as propriedades de ortogonalidade da base de Fourier Substituindo na solução geral temos urθ A2 r2 A2d2cos2θ A2 1 r2d2cos2θ PROBLEMA DE DIRICHLET NO ANEL Neste caso mudam as condições de contorno pela presença de um contorno que exclui o origem ubθ uθ r ab condições periódicas uθ gθ θ 02π Não vamos poder continuar na origem do contorno do caso anterior Conforme caso anterior separando as variáveis resolvemos as EDP a duas EDO r2 Rr r Rr n2 Rr 0 Hθ n2 Hθ 0 H0 H2π n 0 Foi provado no caso anterior que as únicas soluções não triviais são dadas pelas funções Θθ dn cosnθ bn sennθ n 0 com um valor dn n2 então a equação radial vira uma equação de Euler r2 Rr r Rr n2 Rr 0 com soluções do tipo Rr rp onde p é solução da eq p2 n2 se n 0 R0r do b0 lnr n 0 Rnr dn rn bn rn n 1 As soluções completas são n 0 u0rθ do b0 lnr n 1 unrθ dn rn bn rncn cosnθ bn sennθ dn rn cosnθ dn rn sennθ bn rn cosnθ bn rn sennθ unrθ An rn cosnθ Bn rn sennθ Cn rn cosnθ Dn rn sennθ onde definimos An dn Cn bn Dn bn A solução geral é urθ do b0 logr n1 An rn cosnθ Bn rn sennθ Cn rn cosnθ Dn rn sennθ Vamos impor a condição de contorno urθ fθ ao seja dob0logr n1 An rn Cn rncosnθ Bn rn Dn rnsennθ fθ Lembrando da expansão em série de Fourier temos dob0logr 12π 02π fθdθ I0f An rn Cn rn 1π 0π fθcosnθdθ In1f Bn rn Dn rn 1π 0π fθsennθdθ In2f Pels condição de contorno ubθ gθ temos dob0logb n1 An bn Cn bncosnθ Bn bn Dn bnsennθ gθ então dob0logb 12π 02π gθdθ J0g An bn Cn bn 1π 02π gθcosnθdθ Jn1g Bn bn Dn bn 1π 02π gθsennθdθ Jn2g Resolvendo o sistema dob0loga I0 dob0logb J0 dotamos os coeficientes do I0logb J0loga logb loga b0 I1 I2 logb loga AULA 25 Fazemos sobre o sistema linear nas variáveis An Cn An dn Cn dn In1 An bn Cn bn Jn1 com solução An fracdn In1 bn Jn1d2n b2n Cn dn bn leftfracan Jn1 bn In1d2n b2nright Analogamente o sistema Bn dn Dn dn In2 Bn bn Dn bn Jn2 tem solução Bn fracdn In2 bn Jn2d2n b2n Dn dn bn leftfracdn Jn2 bn In2d2n b2nright Determinando os coeficientes em termos das integrais e dos raios do anel resolvemos o problema de Dirichlet no disco