Lista 24-2022 1

Lista 24 1 Seja o problema de Dirichlet no retˆangulo D 0 a 0 b com condicoes de contorno ux 0 f1x x 0 a u0 y f2y y 0 b ux b f3x x 0 a ua y f4y y 0 b com solucao ux y Nos cantos dos retˆangulos a condicao de contorno possui valores u0 0 α u0 b β ua b γ e ua 0 δ Definindo u0x y tal que ux y c1 c2x c3y c4xy u0x y mostre que u0x y e solucao de um problema de Dirichlet e encontre os valores das constantes c1 c2 c3 e c4 para que as condicoes de contorno de u0x y sejam nulas nos quatro cantos do retˆangulo D 2 Sejam os quatro problemas de Dirichlet no retˆangulo D 0 a 0 b 2u1 0 u1x 0 f1x u10 y 0 u1x b 0 u1a y 0 2u2 0 u2x 0 0 u20 y f2y u2x b 0 u2a y 0 2u3 0 u3x 0 0 u30 y 0 u3x b f3x u3a y 0 2u4 0 u4x 0 0 u40 y 0 u4x b 0 u4a y f4y Mostre que a funcao ux y u1x y u2x y u3x y u4x y e solucao do problema de Dirichlet 2u 0 ux 0 f1x u0 y f2y ux b f3x ua y f4y 1 3 Encontre pelo metodo de Fourier a solucao do seguinte problema de Dirichlet no retˆangulo D 0 a 0 b 2u2 0 u2x 0 0 u20 y f2y u2x b 0 u2a y 0 com f2y Aekyyb y se y 0 b 4 Encontre pelo metodo de Fourier a solucao do seguinte problema de Dirichlet no retˆangulo D 0 a 0 b 2u3 0 u3x 0 0 u30 y 0 u3x b f3x u3a y 0 com f3x Ax2a x2 se x 0 a Nao se preocupem em resolver integrais complicadas Podem usar tabelas de integrais ou resolver as integrais por softwares 2