P2-2016 2

Universidade Federal do Rio Grande do Norte Escola de Ciˆencias e Tecnologia ECT2415 Equacoes Diferenciais T02 20162 Prova 2 Nome Matrıcula Instrucoes 1 E permitido portar apenas lapis borracha caneta e um documento de identificacao 2 E proibido qualquer tipo de comunicacao entre os alunos durante a prova 3 Mochilas bolsas estojos cadernos calculadoras livros e qualquer material nao mencionado no item 1 devem ser deixados na frente da sala 4 Aparelhos eletrˆonicos de qualquer especie devem estar desligados e guardados na mochila dei xada na frente da sala 5 As folhas desta prova nao podem ser destacadas 6 So e permitida a saıda apos meia hora depois do comeco da prova 7 Apos o primeiro aluno sair nao sera permitida a entrada de alunos atrasados 8 O aluno que desrespeitar qualquer uma destas regras ficara com nota zero 9 As questoes de 1 a 6 valem 20 pontos cada mas cada aluno podera escolher apenas 5 questoes para responder Caso as 6 questoes estejam respondidas a maior nota sera desconsiderada 10 A questao desafio vale 25 pontos extras Caso algum aluno consiga nota maior que 10 com o desafio a nota sera truncada em 10 sem acumular 1 Formulario oe Coeficientes indeterminados EDO linear de segunda ordem Se Rx ecosbrppx ou Rx y x Pxyx Qx ya Rx e senbr pn a onde px é um polindmio de grau n fp cosbx 1 2 coSbXp2H Onde pi po PVI linear de primeira ordem sao polindmios de grau n com coeficientes indeterminados yx Pay2 Qe yeo yo Se Ax I Pt dt Variacao das constantes yx yoe 4 4 eAM J eA Qt dt Se yi a e y2 so solugdes homogéneas de ya ay Qx y Rx entdo yp th 0 yn 0 Coeficientes constantes toxyox com tyz f vet Rcr dz e tox ay x byx cya 0 f HS Rx dx Polin6mio caracteristico Solucgao em séries de poténcias ad bAc0 Se Px e Qx sao analiticas em a xp r a equa diferencial y x Pxyx Qxyx 0 Raizes reais distintas admite solugdes analiticas y7 SSanx xo em yix e yoa e x xo r Raiz real dupla Ponto singular regular yix e yox xe Se Px ou Qx diverge em wp mas 729 Px po er 279 Qx 4 Go quando x x Com po Qo FAIS Raizes complexas dizemos que zg é um ponto singular regular yix e7 coswa yox e senwx a a Equagao indicial Equacao de Euler aa1poatq 0 axyx bayx cyx 0 oe a Caso 1 do método de Frobenius Solugoes da equacao de Euler Se a ag nao é inteiro yx x x9 So ay a yx com aaa1bac0 Xo y2x x x0 SS by a 29 sao solugdes inde a oépendentes da equacio 2 279 x a 20 px y x Wronskiano ga 0 Wy y2 yrayoa yowyi 2 oe Caso 2 do método de Frobenius Teorema de Abel Se ay ag 0 inteiro yi x a r9 SS an a Se yix y2x sao solugdes homogéneas de uma EDO 279 yox aa SO by a29 Cy1 2 log xx9 linear de segunda ordem Wy1y2 Ce J P 4 sao solucdes independentes da equacdo x xoyx 25 yw ale 0 2 Questoes 1 Encontre uma equagao diferencial ordinaria linear homogénea de segunda ordem com coefici entes constantes inteiros que admite as solucoes ux sen2x 1 e u2x sen2x 2 2 Determine todas as solucdes da equacao diferencial wy x 3ayx yx 0 1 no intervalo x 0 3 Encontre alguma solugao particular da equacao diferencial y x 5yx 6yx 2e com xz R 4 Seja a equacao diferencial y a kya 0 Escrevendo as solucgdes como séries de poténcia em torno de x9 0 v2 rae n0 a Encontre a relagao de recorréncia dos termos ay b Pelos primeiros elementos de a deduza uma férmula geral para os termos pares e impares e prove por indugao que esta formula geral é valida para todo n 0 c Pelas escolhas ao a1 10 e adoa1 01 encontre a série de Taylor de duas solugdes linearmente independentes da equacao diferencial d Encontre fungoes elementares as quais as séries encontradas no item anterior correspondem 5 Seja a equacao de Laguerre vyx 1xyx Ayx 0 3 com x 0 a Mostre que zo 0 é um ponto singular regular b Encontre a equagao indicial desta equacao diferencial em xo 0 c De acordo com o teorema de Frobenius existe uma solucao dada por yix x S Anx n0 Mostre que a deve ser raiz da equacao indicial para existir solugdes com ap F 0 d Encontre a relacao de recorréncia dos termos ay ec Mostre que se X for um numero inteiro positivo m a funcgdéo encontrada no item c é um polinomio de grau m Estes polinomios definidos com ag 1 sao chamados de Polindmios de Laguerre f Encontre os cinco primeiros polindmios de Laguerre Desafio Prove o teorema de Abel Sejam yix e y2 solugdes linearmente independentes da equacao diferencial ordinaria yx Pxya Qayx 0 onde Px e Qx séo continuas em algum intervalo J O wronskiano de y e y2 é dado por Wx Ce P de onde C 0 para todo x I 4