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Universidade Federal do Rio Grande do Norte Escola de Ciéncias Tecnologia Primeira Prova de Equacgoes Diferenciais ECT2415 20202 Professor E Orazi Instrugoes 1 E Proibido qualquer tipo de comunicacao entre alunos ou outras pessoas durante a aplicacao da prova em particular nao pode trocar solucoes atra vés do grupo whatsapp 2 A duragao da prova é de 100 minutos 3 Essa prova vale 15 pontos 4 Para poder ser avaliada uma copia legivel das solucoes deve ser enviada em um tnico file pdf para o endereco email emanueleoraziworkgmailcom entre o horario estabelecido de aplicagéo da prova As provas entregues depois do prazo serao desconsideradas Questao 1 2 pontos Resolve o seguinte problema de valor inicial ltay2y sing y aml 2 Om Y5g n 27 w2 Considerando a EDO do problema encontre os intervalos onde pode ser definida uma condicao inicial pela qual a solucao existe e é tinica Questao 2 2 pontos Uma epidemia se espalha pela populagao a uma taxa proporcional ao produto do ntimero de pessoas ja infectadas It e ao nimero de pessoas suscetiveis mas ainda nao infectadas de acordo com a equagao logistica It at 5 It onde S 0 denota a populacao total de pessoas suscetiveis It denota o ntimero de infectados no tempo t e a 0 é uma constante de proporcionalidade Mostre que para t co toda a populacao suscetivel va ser infectada 1 ponto Suponha que hé um medicamento que cura a populagao infectada a uma taxa 1 M It proporcional ao nimero de individuos infectados Portanto a EDO que descreve a evolucao dos individuos infectados sera It alt S It MIt Encontre a solugao do problema de valor inicial se o nimero de individuos inicialmente infectados é dado pela condigao inicial 0 Ip Discuta o limite da solugao ao variar do parémetro 6 aSM Questao 3 2 pontos Encontre a solugao explicita do seguinte problema de valor inicial xy x ya x sec x T l y1 explicando porque a solucao existe e sera tinica Questao 4 2 pontos Encontre a troca de variaveis que transforma a EDO nao linear 4x 2y5 y ty em uma EDO homogénea Discuta a existéncia e unicidade da solugao ao variar da condicgao inicial Questao 5 2 pontos Encontre a solucao geral da seguinte EDO x y x 2ya 2ey a usando uma substituicgao apropriada de varidvel dependente e resolvendo a EDO linear resultante Questao 6 2 pontos Sabendo que y e é uma solucao particular da seguine EDO y x e 1 2e yx y2 determine a solucao geral Questao 7 3 pontos Verifique que a seguinte EDO nao é exata 2eydx 3x7y ay 1dy 0 e use o método do fator integrante para encontrar uma solucao implicita 2