Avaliação Antiga-2022 1

Questão 1 20 pontos Considera a seguinte EDP uxt t 16 ²uxt x² onde x 0 π e t 0 Encontre os autovalores e as autofunções do problema de valor de contorno com condições u0t x 0 uπt x 0 para t 0 Encontre as soluções gerais do problema de contorno para condição inicial arbitrária 1 ponto No caso específico da condição inicial ux0 x cos x x 0 π encontre a solução verificando as condições de aplicabilidade do teorema de Fourier 1 ponto Questão 2 30 pontos Classifique a seguinte EDP definida para x 0 2 125 ²uxt t² ²uxt x² 4 uxt t 0 e use o método de separação de variáveis para encontrar as autofunções não triviais do problema de contorno com condições mistas u0t x 0 u2t 0 mostrando a forma explícita das frequências dos modos normais 2 pontos Mostre como determinar a solução geral da EDP com condições iniciais 1 ponto ux 0 fx ux0 t gx Questão 3 20 pontos Considere o seguinte problema de Cauchy definido para x 19 ²uxt t² ²uxt x² 0 ux0 fx ux0 t gx onde fx x sin x x αα 0 x αα gx sin x x αα 0 x αα onde α 0 Descreva a solução para x 0 usando o teorema e fórmula de DAlembert no intervalo temporal e espacial tal que 10 pontos α x3 t α x3 Encontre a energia associada a onda 10 pontos Questão 4 30 pontos Considere o seguinte problema de Dirichlet no retângulo D 0 π 0 2 ²uxy 0 ux0 cosx3 u0y 4 uxb cosx3 uay 2 Encontre a transformação da solução que leva a um problema de Dirichlet onde as condições de contorno assumem valores nulos nos vértices do domínio de definição 05 Pontos Mostre como separar a solução em quatro soluções com condições de contorno não nulas apenas em um lado do retângulo 05 pontos e encontre as soluções do problema a contorno resultante 20 pontos Questão 5 30 pontos Considere o problema de Dirichlet no disco D xy R² x²y² 9 ²uxy 0 com condições de contorno uxy arcsin35 uxy n xy R² x²y² 25 Estude este problema encontrando a expressão do Laplaciano e das condições iniciais em coordenadas polares aplicando o método de separação das variáveis discutindo os valores possíveis da constante de separação e encontrando a solução geral 20 pontos Aplique o teorema de Fourier para encontrar os coeficientes da expansão em série da solução 10 ponto Questão 6 30 pontos Seja o problema de Dirichlet no setor circular D rθ R² 0 r ρ 0 θ γ ²uxy uₜₜ 1r uₓₓ 1r² u₀₀ 0 com condições de contorno uρθ fθ θ 0 γ ur0 θ 0 urγ 0 r 0 ρ Estude este problema aplicando o método de separação das variáveis discutindo os valores possíveis da constante de separação e aplicando o teorema de Fourier para encontrar a expansão em série da solução