Avaliação Antiga

1 Instruções 1 A duração da prova é de 24 horas 2 Essa prova vale 12 pontos 3 Para poder ser avaliada uma cópia legível da prova deve ser enviada aoendereço email emanueleoraziworkgmailcom entre o horário estabelecido de aplicação da prova As provas entregues depois do prazo serão desconsideradas Questão 1 3 pontos Considere uma EDO não exata na forma Pxydx Qxydy 0 1 Explique detalhatamente como encontrar uma EDP cuja solução seja o fator integrante para a EDO não exata 1 Supondo que a solução da EDP do ponto anterior seja da forma µxy XxY y 2 mostre que Xx e Y y são soluções da EDP Pyxy Qxxy mxQxy nyPxy 3 onde mx X0X e ny Y 0Y Verifique que a seguinte EDO y1 5lnxdx 4xlnxdy 0 4 não é exata e procure para um fator integrante da forma 2 Para isso encontre apenas uma solução para mx e ny usando a EDP 3 A solução pode ser encontrada substituindo Pxy e Qxy direitamente em 3 e confrontando lado direito e esquerdo da equação não é preciso resolver alguma equação diferencial porque o problema é apenas algébrico Usando as definições de mx e ny encontre Xx e Y y que levam a expressão do fator integrante Verifique que o fator integrante encontrado deixa a EDO 4 exata e encontre as soluções usando o método explicado em sala de aula Discuta a existência e unicidade da solução da EDO 4 2 Questão 2 3 pontos Considere uma EDO linear de primeira ordem na forma mais geral y0x pxyx qx 5 Prove que usando a substituição y uy1x 6 onde y1x é solução da EDO 7 a EDO linear 5 é reduzida a uma EDO separável para o nova variável independente u Resolvendo a EDO separável obtida encontre a forma geral da solução da EDO linear 5 Aplique o método do fator integrante a EDO linear 5 detalhando todas as passagens e encontre a forma geral da solução interpretando o significado de y1 do ponto anterior Aplique a mesma substituição 6 do caso anterior a equação de Bernoulli com y1x solução da EDO 7 Mostre que esta substituição reduz a EDO de Bernoulli a uma EDO separável para u Resolvendo a EDO separável encontrada no ponto anterior escreva a forma geral para a solução da equação de Bernoulli Aplique o método encontrado para encontrar a solução do seguinte PVI xy0x yx x4 y4x y1 12 8 discutindo a existência e unicidade da solução Questão 3 3 pontos Prove que uma EDO não linear y0x fxy 9 pode ser transformada em uma EDO separável operando a substituição y uy1x se existe uma função y1x tal que 3 10 e escreva explicitamente a EDO separável para u Considere a EDO não linear y0 y2ex 4y 2ex 11 Usando a substituição y uy1x encontre a função qu que satisfaz a condição de separabilidade 10 mostrando que tal condição vale para y1 ex Encontre a solução geral da EDO 11 resolvendo a EDO separável para u obtida com a substituição descrita no ponto precedente Determine a solução para o PVI associado a equação 11 com condição inicial y0 2 Sabendo que yp ex é uma solução particular qual é a substituição que transforma a EDO não linear 11 em uma EDO linear Resolva a EDO 11 usando a substituição proposta e confronte a solução obtida com a solução encontrada precedentemente Podemos concluir que as soluções são iguais usando o teorema de existência é unicidade Questão 4 3 pontos Prove que a equação diferencial de Riccati pode ser transformada na equação de Bernoulli com a substituição zx yxy1x onde y1x é uma solução particular a equação de Riccati Mostre que o resultado do ponto anterior pode ser utilizado para provar que a equação de Riccati é reduzida a uma equação linear com uma substituição apropriada Use a substituição encontrada para resolver o PVI xy0 x3 1 2x2y xy2 y1 2 sabendo que existe uma solução particular do tipo y1 xn onde n pode ser encontrado substituindo tal solução na EDO Discuta o domínio de existência e unicidade da solução