Terceira Prova de Equações Diferenciais-2020 6

Universidade Federal do Rio Grande do Norte Escola de Ciéncias Tecnologia Terceira Prova de Equacoes Diferenciais ECT2415 20206 Professor E Orazi Questao 1 30 pontos Considere a seguinte EDP Ouzt 0 uz t a Ca onde a é um parametro real x 0L and t 0 Encontre os autovalores e as autofungdes do problema de valor de contorno com condigées Ou0t on uLt 0 para t 0 Encontre as solucoes gerais do problema de contorno para condigao inicial arbitraria 15 pontos No caso especifico da condigao inicial ux 0 a 3La 2L7 Ve 0 L encontre a solucao verificando as condicédes de aplicabilidade do teorema de Fourier 15 pontos Questao 2 30 pontos Classifique a seguinte EDP definida para x 0 L 1uazt 0 uat ao Nes ee t0 4 Ot dae Suzt 0 e use o método de separacaéo de varidveis para encontrar as autofuncdes nao triviais do problema de contorno con condigdes de Neumann Ou0t Ou2t Ox 0 Or 0 mostrando que as frequéncias dos modos normais séo dadas por wn V36 n7 15 pontos Determine a solugao geral da EDP com condic6es iniciais 15 pontos rx 71x Ouz0 u20 6 sin 3 cos 3 ae Sugestao e cos ax dr 1 asin ax cos ax 8 14a 1 Questao 3 30 pontos Considere 0 seguinte problema de Cauchy definido para x oo 00 1 uxt uxt Ouz 0 OB Oar 8 ux 0 fz a 9 onde fa cosx x aa 2 vsing 2 aa 0 aa IN 0 x aa onde a 0 Descreva a solugéo para x O usando o teorema e a formula de DAlembert nos seguintes intervalos temporais 15 pontos lt o v 2 are t art v v 3 t2te v Encontre a energia associada a onda 15 pontos Questao 4 30 pontos Considere o seguinte problema de Dirichlet no retangulo D 0 5 x 0 7 Vuzy0 ua0sine2 u0y2 uabsine2 ulay1 Encontre a transformacao da solugéo que leva a um problema de Dirichlet onde as condicdes de contorno assumem valores nulos nos vértices do dominio de definigéo 05 Pontos Explique porque é necessdrio rescrever a EDP usando a transformacao encontrada para resolver o problema de Dirichlet 05 pontos e descreva as solucdes do problema de contorno resultante 20 pontos Questao 5 30 pontos O problema de Dirichlet na faixa semiinfinita de largura a descrito por Cu Pu dx aye OSC y OeOaa uz0 fz se Oaa u0y uay0 se yO onde ux y é limitada para y 0 Utilizando 0 método de Fourier encontre a solugao geral deste problema de Dirichlet com condigao de contorno fx arbitraria 2