Aula 22-2022 1

Consideramos uma corda esticada por uma tensão T de comprimento L e densidade linear S Queremos modelar um deslocamento vertical que se propaga ao longo da corda como uma onda Escolhemos um referencial tal que o deslocamento se propague na direção x e de modo que a altura da corda seja descrita por uma função de x e t que chamamos uxt onde x 0L t t0 Focamos numa região de corda entre x0 e x0Δx A massa da porção de corda contida nesta região é m x0 x0Δx ρx dx A posição vertical do centro de massa da porção de corda consideramos é ycmt 1m x0 x0Δx ρx uxt dx Definimos a posição do centro de massa para poder usar a equação de Newton que como intróito envolve a posição do centro de massa de um objeto Portanto calculamos as derivadas de ycmt respeito o tempo ycmt dycmdt 1m x0 x0Δx ρx ut tx dx e ycmt d²ycmdt² 1m x0 x0Δx ρx ²ut² tx dx Pela segunda lei de Newton m ycmt Tyt onde Tyt é a componente vertical de tensão da corda Por convenção assumimos que uma tensão positiva puxa a corda no sentido positivo dos eixos x e y que no referencial escolhido corresponde à direita e para cima A componente vertical da tensão entre os pontos x0 e x0Δx é Tyt Tx0Δxt senθx0Δxt Tx0t senθx0t Substituindo na lei de Newton m ycmt Tx0Δxt senθx0Δxt Tx0t senθx0t e dividindo por Tt mTt ycmt Tx0Δxt senθx0Δxt Tx0t senθx0t Tx0Δxt cosθx0Δxt Tx0t cosθx0tTt 1xxe d2Xxδ 1v2Tt dt2δ como no caso de eq do calor o lado esquerdo depende somente de e e nas palavras sobre o dentro o lado direito depende somente de t Isso significa que ambos têm que ser iguais a constante assim que vamos introduzir a constante de separação δ e obtemos 1X d2Xδ 1v2T dt2δ ou seja reduzimos o EDP a duas EDOs Conseguimos resolvendo a EDO em x cujas soluções dependem do sinal de δ soluções DE d2Xdx2δX 1 δ0 δK2 Xxc1eKxc2eKx 2 δ0 Xxc1xc2 3 δ0 δK2 Xxc1cosKxc2senKx Vamos impor as condições de contorno separados os três casos Passado tudo do mesmo lado x0t2 e 0 d2ux2Bxg2uTtt2dx0 Observando que ao pode ser qualquer par de corda deduzimos que o integrando tem que ser nulo independentemente de x então podemos escrever EQUAÇÃO DE ONDA 2ux21v22ut2 onde introduzimos v2Ttgx Em geral vxt será uma função de x e t mas se assumir Tt e gx constantes também v será constante e a equação de onda será uma EDP de segunda ordem hiperbólica a coeficientes constantes e homogêneas A generalização a três dimensões é 2uxt1v22ut2 PROBLEMA DE VALOR INICIAL E DE CONTORNO PARA A EQUAÇÃO DE ONDA Consideremos a interpretação física das condições de contorno CONDIÇÕES DE DIRICHLET na forma mais geral ux1ty1t ux2ty2t mas a menos de translações e rotações do referencial podemos impor u0t0 uLt0 se assumimos y1ty1 constante e y2ty2 constante CONDIÇÕES DE NEUMANN neste caso impôr ux0t0 uxLt0 isto significa somente encontrar um referencial apropriado em impor que a inclinação da corda nos extremos seja horizontal SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS procuramos por uma solução na que seja possível explorar a dependência em x e t uxtXxTt e substituindo na eq de onda d2XxeTt12v2d2TtXx AULA 22 1 δ k² 0 3 δ k² 0 Resumindo as soluções não triviais são dadas por A solução obtida é u0xt d0bat e descreve um movimento global vertical linear no tempo movimento uniforme da corda toda sem modos vibratórios Esse movimento é consequência do fato que as extremidades da corda não são presas quando impomos condição de Neumann Os coeficientes dn são determinados expandindo Fx em série de Fourier e analogamente para os bn CORDA DEBILHADA frac2hdcdot left cosleftfracnpi dLright frachLdLint0d extsenleftfracnpi xLright dx right AULA 22 AULA 23 Usando as novas coordenadas dequação de onda é equivalente a Corda infinita Integrando a segunda condição inicial Fx Gx 1ν ₀ˣ gsds Fx Gx 1ν ₀ˣ gxdx K e somando e subtraindo a primeira condição inicial obtemos respectivamente Fx K₂ 12 fx 12ν ₀ˣ gsds Gx K₂ 12 fx 12ν ₀ˣ gsds então a solução da equação de onda é Uxt Fxvt Gxvt K₂ 12 fxvt 12ν ₀ˣ gsds K₂ 12 fxvt 12ν ₀ˣ gsds Uxt 12 gxvt gxvt 12ν ₀ˣ gsds FORMA DE DAlembert EXEMPLO CORDA DEDILHADA Uma corda infinita vem esticada em uma deformação descrita por uma função a suporte compacto ab dada por Ux0 fx inicialmente com velocidade nula Utx0 0 A solução de DAlembert com estas condições iniciais assume a forma Uxt 12 gxvt gxvt então para t0 descreve a propagação à direita e à esquerda de metade de deformação 12 fxvt No caso particular que a condição inicial for dada por fx senxx π2 x π2 0 xπ2 xπ2 a solução será Uxt 12 sen 2xαt 12 sen αxβt t0 Resumindo uma corda percorrida tem condições iniciais Ux0 0 ²Ut²x0 gx Pela solução de DAlembert temos Uxt 12ν ₀ˣ gsds que podemos escrever como Uxt 12ν ₀ˣ gsds 12ν ₀²xvt gsds e se Hx é uma primitiva de gs temos Uxt 12ν Hxvt 12ν Hxvt Se supomos que Hx 0 então temos uma perturbação positiva que se propaga pela esquerda e uma negativa que se propaga pela direita ambas com velocidade v Hxvt Hxvt Ao contrário do caso da corda dedilhada no qual em t0 tem uma interferência construtiva no caso da corda percorrida a interferência em t0 é destrutiva e dá origem à condição inicial E frac12 intinftyinfty left frac1v2 left fracpartial upartial tx0 right2 left fracpartial upartial xx0 right2 right dx frac12 intinftyinfty left frac1v2 e2xt left gx right2 right dx O papel fundamental para modelagem de sistemas físicos é representado por quantidades conservadas O caso mais conhecido é a energia de um sistema isolado que é conservado ao longo do evolução temporal AULA 23 E frac12intinftyinfty left frac1v2 left fracpartial upartial tx0 t0 right2 left fracpartial upartial xx0 0 right2 right dx 0 e descobrimos que a energia associada a esta solução é nula lembrando que esta integral é independente do tempo temos intinftyinfty left frac1v2 left fracpartial upartial txt t right2 left fracpartial upartial xxt t right2 right dx 0 mas o integrando é soma de dois quadrados então a única possibilidade para esta integral ser nula é que ambos os termos do integrando sejam nulos para qualquer x e t concluímos que fracpartial upartial tx t 0 quad x in mathbbR t 0 que implica forall x in mathbbR forall t 0 ux t k quad constrante Imposto a condição inicial ux 0 0 encontramos a única forma possível da solução ux t 0 Lembrando a definição de barux t temos barux t u1x t u2x t 0 Rightarrow u1x t u2x t para qualquer x in mathbbR e t 0 Rightarrow concluímos que a solução é única Portanto reunindo os termos fracpartialpartial t left frac1v2 fracpartial u2partial t2 fracpartial u2partial x2 right fracpartialpartial t left frac1v2 left fracpartial upartial t right2 frac12 fracpartial upartial x fracpartial upartial x right frac12 fracpartialpartial x left fracpartial upartial t fracpartial upartial x right 0