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Universidade Federal do Rio Grande do Norte Escola de Ciéncias Tecnologia Terceira Prova de Equacoes Diferenciais ECT2415 20202 Professor E Orazi Questao 1 25 pontos Considere a seguinte EDP Ouat oJ ua t Ot Ox onde 07 and t 0 Encontre os autovalores e as autofungdes do problema de valor de contorno com condigoes Oumt u0t 0 Da 0 para t 0 Encontre as solugoes gerais do problema de contorno para condigao inicial arbitraéria 10 pontos No caso especifico da condicgao inicial ux 0 xa 2x Va 07 encontre a solucao verificando as condig6es de aplicabilidade do teorema de Fourier 15 pontos Questao 2 30 pontos Classifique a seguinte EDP definida para x 0 5 OPuat OC uat Oua t a a e use 0 método de separacao de varidveis para encontrar as autofungoes nao triviais do problema de contorno con condig6es mistas Ou0t 1 ar u5t 9 mostrando a forma explicita das frequéncias dos modos normais 15 pontos Deter mine a solucao geral da EDP com condic6es iniciais 15 pontos Tnx Tnx Oua 0 o 2 1h 27 he SEAT ux0 5 cos 5 sin 9 aL cos 972 1 Questao 3 20 pontos Considere 0 seguinte problema de Cauchy definido para x o0 oo 1 uat d uxt Oua 0 i602 022 ua0 fz a 2 onde 4 ya e x Ee aa e x Eaa fz ey ga ae 0 aa 0 x a a onde a 0 Descreva a solugao para x 0 usando o teorema e a férmula de DAlembert no intervalo temporal e espacial tal que 10 pontos OTe ate v v Encontre a energia associada a onda 10 pontos Questao 4 30 pontos Considere o problema de Dirichlet no disco D xy Rx y 25 V uay 0 com condigées de contorno ux y arccos F arccos Vxy OD xy R27 y 25 Estude este problema encontrando a expressao do Laplaciano e das condig6es iniciais em coordenadas polares aplicando 0 método de separacao das variaveis discutindo os valores possiveis da constante de separacao e encontrando a solucaéo geral 20 pontos Aplique o teorema de Fourier para os coeficientes da expansao em série da solugao 10 ponto Questao 5 30 pontos O problema de Dirichlet na faixa semiinfinita de largura a descrito por Cu Pu dn Dye OSey0e0aa uz0 fz se 0aa u0y uay0 se yO onde uz y é limitada para y 0 Utilizando o método de Fourier encontre a solugao geral deste problema de Dirichlet com condigéo de contorno fx arbitraria 2