Lista de Exercícios Resolvida - Aplicações de Integrais Duplas e Coordenadas Polares

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI DIAMANTINA MINAS GERAIS LICENCIATURA EM MATEMÁTICA wwweadufvjmedubr eadufvjmedubr Lista 01 Bloco 02 EADMAT063 Cálculo Diferencial e Integral IV Prof Eduardo Fernandes Aplicações Integrais Duplas e Coordenadas Polares 1 Esboce a região limitada pelas retas e curvas dadas Depois expresse a área da região como uma integral dupla iterada e calcule a integral a Os eixos coordenados e a reta x y 2 b A parábola y2 x e a reta y x 2 2 A integral 6 0 2 3 2 y y dx dy fornece a área da região R descrita pelos limites de integração no plano xy Esboce a região e calcule sua área 3 Encontre o valor médio de xy x f x y cos sobre o retângulo 1 0 0 y x R 4 Encontre o centro de massa de uma placa fina de densidade 3 limitada pelas retas x y x 0 e pela parábola 2 2 x y no primeiro quadrante 5 Encontre o centro de massa de uma placa triangular fina limitada pelo eixo y e pelas retas x x y y 2 se sua densidade é descrita por 3 3 6 y x x y 6 Quais pares de coordenadas polares representam o mesmo ponto Determine as coordenadas cartesianas de cada ponto a 3 0 b 3 2 2 c 3 d 3 2 7 Represente graficamente cada um dos seguintes pontos dados em coordenadas polares Depois determine todas as coordenadas polares de cada ponto a 2 2 b 2 0 c 2 2 d 2 0 8 Determine as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos dados em coordenadas polares a 4 2 b 4 2 c 6 3 5 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI DIAMANTINA MINAS GERAIS LICENCIATURA EM MATEMÁTICA wwweadufvjmedubr eadufvjmedubr 9 Desenhe os conjuntos dos pontos cujas coordenadas polares satisfazem as equações e inequações abaixo a r 2 b 2 0 r c r 1 d 2 1 r e 0 6 0 r f 3 1 3 r g 1 1 4 4 r h 2 1 2 2 r 10 Substitua as equações polares abaixo relacionadas pela equação cartesiana equivalente Depois identifique o gráfico a 2 cos r b r sen 1 c r 3sec d r sen r 2 4 e cos 4 2 r r f r 3 cos 11 Substitua as equações cartesianas abaixo relacionadas pela equação polar equivalente Depois identifique o gráfico a x 7 b x y 3 c 1 2 2 y x d 4 2 2 2 y x e 25 5 2 2 y x 12 Determine uma equação polar para o gráfico polar dado a b MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI DIAMANTINA MINAS GERAIS LICENCIATURA EM MATEMÁTICA wwweadufvjmedubr eadufvjmedubr c d e f g Bons Estudos MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI DIAMANTINA MINAS GERAIS LICENCIATURA EM MATEMÁTICA wwweadufvjmedubr eadufvjmedubr Respostas 1 a 2 b 2 9 2 12 3 2 4 35 38 14 5 5 19 4 5 2 7 y x M M M x y 5 16 17 8 3 2 17 3 8 y x M M M x y 6 a e c representam o mesmo ponto Em coordenada cartesiana 3 0 b e d representam o mesmo ponto Em coordenada cartesiana 3 1 7 8 a 1 1 b 1 1 c 2 3 2 3 3 9 a c MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI DIAMANTINA MINAS GERAIS LICENCIATURA EM MATEMÁTICA wwweadufvjmedubr eadufvjmedubr d f 10 a Reta vertical passando pelo ponto 20 c Reta vertical passando pelo ponto 30 e Circunferência de centro C20 e raio 2 11 a b d 12 a r 3 c r 1 cos f r cos2