Aula Teorema de Green - Módulo 9 2022-1

Universidade Federal Fluminense Instituto de Matematica e Estatistica Departamento de Matematica Aplicada Calculo III-A — Modulo 11 — Tutor Exercicio 1: Calcule / (z — x? + xy? — 1) dS, onde S é a superficie S > => > g(u,v) =ui +uj + (wt+i1)k comO0<u<leO<v< 2. Solucao: Temos: vy a > ij k Op. OP _ _(_ Du Ov 1 0 2u = ( 2u, 0, 1) 0 1 O portanto |= x =| = /1+4u?. Ou Ov Também: 9 9 dS = |= x =| dudv = V1 +42 dud. Entao, / (2-2? + ay? —1) as= |f (u? + 1—u? + uw? —1)V1 + 4u? dudv = S D 1 2 1/2 = [foi + 4u? dudv = | | u(1 + 4u’) v" dudu = i 0 Jo 1 342 1 _ 2yi/2] 0" 8 1 ay 1/2 2) -| u(1 + 4u*) a] du 5 : | (1+ 4u*)'"" d(1 + 4u’) 1 2 3/2]! 2 = 3730 +4e)""] = 5 Gv5-1). Exercicio 2: Calcule [ [fev dS, onde f(x,y, z) =a? +y2eS:a?+y?+22? =4, com z>1. S Solucao: O esboco de S esta representado na figura que se segue. Calculo III-A Médulo 11 — Tutor 2 z 2 Se KM oa s op -2 AD y 2 x Observe que tg¢ = 3/1 implica @ = 7/3. Uma parametrizacio de S é dada por y(¢,0) = (2sen ¢cos6,2sen¢sen9,2cosd) com (¢,0) € D:0< @< 7/3 e€0 < 6 < Qrz. Ja vimos que, no caso da esfera, x? + y?+ 27 = a? edS =a’ sen ¢dd¢dé. Logo, dS = 4sen dd¢dé. Assim: [[rleu.948= [fF (e(6.8))asen6.deas = Ss D = f/f (4sen? ¢cos? 6 + 4sen? ¢ sen? @) sen 6 dddé = D w/3 2a = io | sen? ¢ sen ¢ dbdé = io [ (1 — cos? d) sen of dodo = 5 0 0 n/3 cos® 7/3 = 32 | (1 — cos? ¢) d(cos @) = —327 [cos @ — | = 0 0 — tot) (,_1)] = 20 ~ 32m (3 =i) (1 5) ~ 3 Exercicio 3: Calcule [ [ee dS, onde S é 0 cilindro x? + y? = a?, coom0<z <1. s Solucao: Podemos parametrizar o cilindro usando as coordenadas cilindricas com r = a. Entao <d< S: y(0, z) = (acos0,asen0,z), com (@,z) € D: { 5 zc ° zc " . Calculemos yo x vy. (0, z) € seu modulo. Temos a oe = (—asen 0, acos 0, 0) Pz = (0, 0, 1) UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 11 — Tutor 3 portanto > > 2 i j k Yo X ~2 =| —asen# acosé@ 0 |= (acos@,asené,0). 0 0 1 Observe que o vetor normal em cada ponto do cilindro é paralelo ao plano xy e é a projecao normal de (0, z). Tem-se: leo x vz|| =a. Logo, dS = |\~o x vz|| dOdz = adodz. Entao, [[zas = [ [ acosey%e -a dédz = S D 1 20 = a [[xcos? 6 dodz = as [ a cos? 6 dédz = f 0 Jo 1 1 = a3 >| sen 26" _ *(E] _ ma? =a 5 9+ > Iq Weta Tloo 2 Obs.: Uma outra maneira de parametrizar S é: Se (x,y,z) € S entao x e y satisfazem a equacdo 17 + y? = a? e z é tal que 0 < z < 1. Parametrizando a circunferéncia x? + y? = a”, tem-se { - or ,com 0 <t < 2a. Adotando <t<2 t e z como paradmetros, tem-se S : y(t, z) = (acost,asent, z), com (t,z) € D: Ost sen , O<z<l Exercicio 4: Calcule / xdS, onde S é 0 triangulo com vértices (1,0,0), (0,1,0) e (0,0, 1). S Solucao: A superficie S' e a sua projecdo sobre o plano xy estado ilustradas nas figuras que se seguem. .. O<a<l Definimos S por S:z=1l—a—y= f(z,y), onde (x,y) € D { 0<y<1—2- Temos que: 2 2 IN dS = 4/1+ (=) + (5) drdy = \/1+ (1)? + ( Y dady = V3dady. 1 x UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 11 — Tutor 4 z 1 je I sy D 1 x Entao, Do [[eas= [[ovdray = v5 [| x dydz = Ss D ove 1 1 2 371 -vi | o(1 ~ 2) de = v3 | (x — 2?) de = v3, 5-5 v3 0 0 2 3 10 6 Exercicio 5: Seja S a porcdo do cone z = ,/x? + x? limitado pelos planos z = le z= 4. a) Parametrize S usando as coordenadas cartesianas. b) Parametrize S' usando as coordenadas polares. c) Calcule / / 2 dS. Ss Solucao: O esboco de S esta representado na figura que se segue. z ———— SS ie Se ' Se eee” ' 4 x a) Como S €0 grafico da funcdo z = \/x? + y?, com (x,y) € D: 1 < 2?+y? < 16, entdo, adotando xe y como pardmetros, temos S : v(x, y) = (x.y, \/u? + P), com (1,y) € D:1<2?+y? < 16. UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 11 — Tutor 5 b) Adotando r e 6 como parametros, temos S: y(r,@) = (rcos6,rsen 6,1) onde (7,0) € Dip: 1 <r<4,0<0< dr. c) Consideremos a parametrizacao do item (a) para calcular a integral. Temos, entao, dS = \/1+ (2x)? + (%)* dady _ r _ y rs onde zy = Vere e zy = Jere Entao, _ 2 y? _ a2 +y? 7 7 dS = Vitazpteep dxdy = \itaye dxdy = V1 +1 drdy = V2 drdy. Assim: [[? as= |f (2 +7) V2 drdy = vi || (2? +") dady. S D D Passando para coordenadas polares, temos: x = rcosé y = rsend dxdy = rdrdO — ety = 9 Transformando o conjunto D em coordenadas polares, temos D,g :1<r<4,0<0@< 27. Logo, 4 20 | [+ as = V3 [Pr dras = v3 | | dodr = f A 1 0 4 4 4 = avon | r? dr =2V2n | = 1 1 = ¥2 (956 — 1) = ver 2 2 Exercicio 6: Calcule a massa da superficie S parte do plano z = 2—- dentro do cilindro x7+y? = 1, sendo a densidade dada por 0(2, y, 2) = y”. Solucao: O esboco de S esta representado na figura que se segue. UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 11 — Tutor 6 z i 1 — 1 2 y x A superficie S' é descrita por S : z = f(x,y) = 2—2, com (z,y) € D: x+y? < 1. Como dS = \/1+(fe)’ + (fy)? dxdy, ent3o dS = \/1+ (-1)? + 0 drdy = V2drdy. Temos M= | [sceuaas = | fveas- [ [vr Bauty = v3 | [yavdy, S S D D Usando coordenadas polares, temos: iG dxdy = IG sen? 0)r drdé = [fe sen? 6 drd@ = D D6 Dro 20 1 20 = | sen? f r> drdd = 1/ sen’? 6 d0 = 0 0 0 _11 [a - sen 20)"" _m 4 2 2 |o 4° Logo, M= ven ym, 4 Exercicio 7: Determine 0 momento de inércia em relacao ao eixo da superficie S parte do cone 27 = 27+? entre os planos z = 1 e z = 2, sendo a densidade constante. Solucao: O esboco de S esta representado na figura que se segue. UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 11 — Tutor 7 z CED -: ! oS. ce 2 x D Note que o eixo de S € 0 eixo z. Entao [= / (x? + y°)p(a,y,2) dS S onde p(x, y, z) = p. Logo, =p ff (+0) dS. Ss A superficie S' pode ser descrita por 9: z = \/a2 + y? = f(x,y), com (t7,y) € D: 1 <a? 4+y? <4. Tem-se: t Za = he = —— _ pf _ y 0 t= Tare portanto 2 2 x yr apy? 1+ (zz) + (Zy) sltaypt pep tlt ere? Como dS = 4/1+ (z,)? + (z,)? drdy entao dS = V2 drdy. Tem-se: [= p [[@r+r) as=p [| (x? + y°) V2 dady = vip [| (x? + y*) drdy. Ss D D Passando para coordenadas polares, tem-se: x = rcosé y = rsend 0<60<27 e Dre : dxdy = rdrdé Ll<r<2. e+y = 7 UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 11 — Tutor 8 Entao, 1. = V3 p | fr2-r ard = V3 p [ [1 arao = D,6 Dro 2 Qn 2 =vipf | adr = 2V3 pm [8 ar = 1 0 1 _ ry]? V2 pr _ 15V2 pr =2V2 p| >| = PT (1g —1) = EE Exercicio 8: Uma lamina superficial S tem a forma de um cone dado por z = 4 — 2,/2? + y? e limitado pelo plano xy. Em cada ponto de S a densidade é proporcional a distancia entre o ponto e o eixo z. Mostre que 0 momento de inércia em relacao ao eixo z é igual a =M, onde M éa massa de S. Solucao: O esboco de S esta representado na figura que se segue. z 4 2 2 y 2 x Uma parametrizagdo de S é dada por S : y(z,y) = (x.y.4 — 2\/a? + P), com —) 2 _ 2a — = 2y (x,y) € D:a*+y? <4. Temos z, = Tere € 2y — Tae Logo, _ 2 2 _ Ax? Ay? _ _ dS = \/1+ (2)? + (zy)° dady = 4/1 +acptppp ey V1+4 dady = V5 dady. Como a distancia de (x,y, z) ao eixo z é igual a \/x? + y? entdo a densidade d(x, y, z) é dada por O(a, y, 2) = ky/a? + y? onde k é uma constante positiva. A massa M de S é dada por: UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 11 — Tutor 9 M= [fen dS = bf Vere dS = Ss S = ef] Jr? + y2V5 drdy = vir ff x? + y? drdy = D D 2 p2n 2 = var [| rr dédr = 2V5kr | r? dr = 0 JO 0 _ 737? _ 16V/5kr = 2\/5kr | =— — um. O momento de inércia em relacdo ao eixo z é dado por: [,= / (x? + y?) O(a, y, 2) dS = ef (a? +97) Va? +y? dS = S S 3/2 * 2n 3/2 = vk f/f (x? + y*) / dady = vir ff (r7) ? dodr = y o/o 2 572 = avin | r* dr =2V5kr =| = 64v5km = 0 5 Jo 5 12 16v5km _ 12 yy 5 3 5 UFF IME - GMA