Aula Cálculo 3 - Curvas Parametrizadas - Módulo 6 2022-1

Universidade Federal Fluminense Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica Departamento de Matem´atica Aplicada C´alculo III-A – M´odulo 6 Aula 11 – Curvas Parametrizadas Objetivo • Parametrizar curvas planas e espaciais. Parametriza¸c˜ao de curvas Parametrizar uma curva C ⊂ Rn (n = 2 ou 3) consiste em apresentar uma fun¸c˜ao vetorial σ : I ⊂ R → Rn (n = 2 ou 3), onde I ´e um intervalo e σ(I) = C. I t σ x y C σ(t) Exemplo 1 Sendo A, B ∈ Rn (n = 2 ou 3), parametrize o segmento de reta C de extremidade inicial A e final B. Solu¸c˜ao: Se P ∈ C, ent˜ao −→ OP = −−→ OB + t−→ AB , 0 ≤ t ≤ 1 ou P − 0 = B − 0 + t(B − A) , 0 ≤ t ≤ 1 ou P = B + t(B − A) , 0 ≤ t ≤ 1. Logo, uma parametriza¸c˜ao do segmento C ´e dada por σ(t) = B + t(B − A) , 0 ≤ t ≤ 1 . C´alculo III-A M´odulo 6 2 Exemplo 2 Seja C ⊂ plano xy, o gr´afico de uma fun¸c˜ao y = f(x) , x ∈ I. I (x, f(x)) x x y C Ent˜ao, uma parametriza¸c˜ao de C ´e dada por σ(t) = (t, f(t)) , t ∈ I . Exemplo 3 Seja C a circunferˆencia x2 + y2 = a2 , a > 0; P = (x, y) ∈ C e t o ˆangulo em radianos entre o eixo positivo x e a semirreta OP. a a a t P x x y y C Observe que quando t aumenta de 0 a 2π, o ponto P = (x, y) = (a cos t, a sen t) se move, uma vez sobre C no sentido anti-hor´ario a partir do ponto (a, 0). Logo, uma parametriza¸c˜ao de C ´e σ1(t) = (a cos t, a sen t) , 0 ≤ t ≤ 2π . Observe que σ2(t) = (a sen t, a cos t) , 0 ≤ t ≤ 2π ´e tamb´em uma parametriza¸c˜ao de C, pois x2 + y2 = a2. Neste caso, quando t aumenta de 0 a 2π, o ponto P se move uma vez ao longo de C no sentido hor´ario, a partir do ponto (0, a). Observe que σ3(t) = (a cos(2π − t), a sen(2π − t)) = (a cos t, −a sen t) , 0 ≤ t ≤ 2π ´e outra parametriza¸c˜ao de C, e P se move ao longo de C no sentido hor´ario a partir do ponto (a, 0). UFF IME - GMA Calculo III-A Moédulo 6 3 Exemplo 4 Seja a circunferéncia C': (” — 29)” + (y— yo)” = a2, de centro (2, yo) € raio a. Efetuando uma mudan¢a de variaveis u = x — % EV = y — Yo, temos wte=a que é uma circunferéncia no plano wu, de centro (0,0) e raio a. Logo, wu =acost ,O<t<27. v=asent Substituindo acima, temos xu = Xp +acost ,O<t< 27. Y=Yo+asent Assim, uma parametrizacao diferenciavel de C’ é dada por o(t) = (a + acost, yotasent) ,O<t< 27. Exemplo 5 2 2 Seja uma elipse C : (eo) ++ (yo) = 1. Fazendo u = 8 e v = 4“, mostramos que o(t) = (% + acost, yot+bsent) ,O<t< 27 é uma parametrizacao de C’. Exemplo 6 Seja C’ uma curva do espaco dada pela intersecdo do cilindro x? + y? = 1 como plano x + z = 2. a) Esboce C. b) Apresente uma parametriza¢ao diferencidvel para C. » Solucao: a) Inicialmente, facamos o esbo¢o do cilindro Gooey x? + y? = 1. Desenhemos, no plano xy, a cir- 1 cunferéncia x? +? = 1. Pelos pontos (1,0, 0), 1 (—1,0,0), (0,1,0) e (0, -1,0) tracemos para- 1 lelas ao eixo z. SSeS 0) (0, —1, 0) ee ———— (0,1,0) see a UFF IME - GMA C´alculo III-A M´odulo 6 4 Para esbo¸car o plano x + z = 2, tra¸camos a reta x + z = 2 no plano xz. Observe que a equa¸c˜ao do plano n˜ao cont´em a vari´avel y. Por isso, por pontos da reta tra¸camos paralelas ao eixo y. x y z 2 2 Agora, juntemos as duas figuras, procurando destacar alguns pontos de interse¸c˜ao. A reta x+ z = 2 intercepta o cilindro nos pontos A1 e A2. Por outro lado, a reta do plano, paralela ao eixo y, passando por (0, 0, 2), intercepta o cilindro nos pontos B1 e B2. A curva C passa por A1, B1, A2 e B2. x y z C 1 1 2 2 A1 A2 B1 B2 b) Seja (x, y, z) ∈ C. Logo, x e y satisfazem x2+y2 = 1. Assim, x = cos t , y = sen t , 0 ≤ t ≤ 2π. Como z = 2 − x, ent˜ao z = 2 − cos t. Logo, σ(t) = (cos t, sen t, 2 − cos t) , 0 ≤ t ≤ 2π ´e uma parametriza¸c˜ao de C. Exemplo 7 Seja C a curva no espa¸co representada pela fun¸c˜ao vetorial σ(t) = (a cos t, a sen t, bt) , 0 ≤ t ≤ 4π , a > 0, b > 0. Esboce C, dita h´elice circular. UFF IME - GMA C´alculo III-A M´odulo 6 5 Solu¸c˜ao: De x = a cos t , y = a sen t, temos x2 + y2 = a2. Isso significa que C est´a contida no cilindro x2 + y2 = a2. Como z = bt, quando t vai de 0 a 4π, o ponto (x, y, z) percorre a h´elice contida no cilindro. x y z (a, 0, 4π) C a a Aula 12 – Integral de Linha de Campo Escalar Objetivo • Compreender e no¸c˜ao de integral de linha de campo escalar; • Estudar algumas propriedades. Nesta aula definiremos uma integral similar a uma integral definida. Sejam dados um campo es- calar em R3 ou uma fun¸c˜ao real de trˆes vari´aveis f : R3 → R e uma curva C em R3, dada por σ(t) = (x(t), y(t), z(t)) , t ∈ [a, b], com σ de classe C1. ∆t a = t0 b = tn ti ti−1 ti∗ σ x y z C σ(ti) σ(ti−1) σ(ti∗) UFF IME - GMA Calculo III-A Moédulo 6 6 Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos J;, i = 1,---,n, de mesmo comprimento At = a Logo, a curva C fica dividida em n subarcos de comprimento As,, Aso,--- , As,, onde As; ~ |\o’(t*)|| At para algum t* € I;. Formemos a soma Sof (a(t) Asi = Sof (o (tf) lo (ef) || At, =l1 i=1 Definimos a integral de linha de f sobre C’ por J tas= [ floy.2)ds= lim YF (oi) lo") At C C <1 se o limite existir. OBS:: 1) Se f é uma func¢do continua, entdo o limite existe e portanto b [tov = f rowlewla = = a —_—_—— Cc 5 ds / f (w(t), y(t), 2(t)) Va")? + WO) + (2()* dt. 2) Se f(x,y) € uma funcdo continua em R? e C uma curva em R?, dada por o(t) = (x(t), y(t)) , t € [a,b], com o de classe C’, ) entao definimos as ly b 3 [iw = fren ew = f rowmlcwla - ; a ———— \ C , C ds = =f fo.u) Voor + woyrat. 3) Se f(x,y) = 1 (ou f(z, y, z) = 1), entao [te = comprimento de C. C = B fo A UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 6 7 4) A integral de linha de um campo escalar f nado depende da pa- rametrizacao de C’ e nem de sua orientacao, isto é, denotando por C” a curva C’ percorrida em outro sentido, entao [fe = J fas. c- C 5) Se C € uma curva dada por uma_ parametrizacao o : [a,b] + R”" (n = 20u3), C' por partes, isto é, o é continua e existe uma particao a = tp < ty < ... < t, = bde [a,b] de modo que o; = Ol, 4] é de classe C', i= 1,--- ,n, entao , / fds= 5° / fds C i=l C; onde C; = 0; ((ti_1, til). Ci C3 C2 Exemplo 1 Seja C a intersecdo do cilindro parabdlico x = y” com a parte do plano z = y, tal quaeO < y <1. Calcule Jy ds. Cc Solucao: Facamos y = t. Logo, x = t? e z = t. Como 0 < y < 1, entédo 0 < t < 1. Assim, uma parametrizacao de C é dada por o(t) = (t?,t,t),0 < t < 1, logo o(t) = (2t,1,1). Como, ds = |lo’(t)|| dt, entao ds = V/4t? + 1+ 1dt = V2 + 4t? dt. Logo, 1 1 [vas = | tV2+ 4P dt = | (24407) "t dt. J 0 0 Observe que d(2 + 4t”) = 8t dt, portanto tdt = dora) Logo, 1 1 Jy ds = | (2+407)'? (2+ 40?) = 4.3 (2440?) , = (6? — 29”) == (3V6 — v2). J, 0 UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 6 8 Exemplo 2 Calcule Je ds, onde C’ é formado pelo segmento de reta C de (0,2) a (0,1), seguido do arco Cy C da parabola y = 1 — x” de (0,1) a (1,0). Solucao: O esboco de C esta representado na figura que se segue. y 2 Ch 1 Co 1 x Como C = C, UC, temos: [vas= [vas+ fods= [ras [ vas. C Cr C2 Cr C2 Calculo de / x ds Cy Uma parametrizacdo de Cy; é dada por o(t) = (0,t),1 < t < 2. Logo, o’(t) = (0,1), logo \|o’(t)|| = 1 e, portanto, ds = ||o’(t)|| dt = dt. Assim, 2 [ow Odt=0. 1 Cy Calculo de [vas C2 Uma parametrizacdo de C2 é dada por o(t) = (t,1 —t?),0 < t < 1, portanto o’(t) = (1, —2t). Logo ds = ||o’(t)|| dt = V1 + 4t? dt. Entao, 1 1 [vas -|/ t/1 + 4 dt -|/ (1 +407)" dt. d, 0 0 Observe que t dt = drat) Logo, 1 1 Je ds = [| (1 +402)" d(1 + 4t?) = $3 44ers? | = 4 (5v5-1). C2 ° UFF IME - GMA Calculo III-A Moédulo 6 9 Portanto, 1 ds = — (5 5 1) / nds = = (v5 C Exemplo 3 Seja a curva C’ obtida como intersecao da semiesfera 77+ y?+ 22 =4,y > 0 como planox+z=2. Calcule [flea2) ds, onde f(x,y, z) é dada por f(z, y, z) = ry. Cc Solucao: O esboco de C é: z f ot - Sy C C Seja (x,y,z) € C. Ento a? +y?+ 227 =4,y>0er+2=2. Logo, x7 +y?+(2-2)? =4,y>0 2 ou 2a? — 4a +y* =0,y >0 ou A(e—-1)?+y? =2,y>0 ou (w@—- 1)? +4 =1,y > 0. Logo, a projecao de C sobre o plano xy é a semi-elipse de centro (1,0) e semi-eixos 1 e 2. Entdo, z=1-+ cost y= V2sent . z=2-—(1+cost) =1-—cost Como y > 0, V2sent > 0, portanto 0 < t < 7. Logo, uma parametrizacdo para C’ é dada por o(t) = (1 + cost, V2sent, 1 — cost) <t<m. Temos a(t) = (- sen t, V2 cost, sen t) portanto ds = ||o'(t)|| dt = Vsen2t + 2cos?t + sen? t dt = V2dt. UFF IME - GMA CAlculo III-A Médulo 6 10 Entao, [tows ds = Jo ds = | (1+ cost) (V2sent) V2dt = 2 (sent + sent cost) dt J, J, 0 0 = 2 |- cost + a 0 = 4, Exercicio 1: Apresente uma parametrizacao diferencidvel para as seguintes curvas planas: a) C é0 segmento de (1,2) a (—2,8). b) C éa parte da parabola y = 3x? de (—1,3) a (2,12). c) C é0 grafico de y? = x de (0,0) a (1,1). d) C éa elipse 327 + 8y? = 24. e) C é0 grafico de x?/3 + y?/3 = 1, f) C €0 arco de circunferéncia x* + y? = 4, com x > 0. g) C éa curva 22? + 2y” — 6x + 4y — 16 = 0. h) C éa curva 162? + 9y? + 64x — 18y — 71 = 0. Exercicio 2: Apresente uma parametrizacao diferencidvel para a curva C em R?, intersecao das superficies dadas por a) a? +y=ley+2z=2. b) a? +y?=4e x? 4 27 =4, situada no primeiro octante. c) 427 4+ 9y? = 36er4+2=1. d) ar? t+yt+2=derty=l. e) P+y=2,2>0er=y" do ponto (0,0,0) a (1,1, V2). f) z=1-y?,z>0e 274+ 3z =6 de (3, 1,0) a (3, -1,0). g) 2=3r°+yezt+6r=9. h) (@-1P?+y=ler?t+y4+ 2 =4, comz>0. UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 6 11 > > > Exercicio 3: Calcule [cu + y +2) ds ao longo da curva 7’(t) = 2¢i +tj +(2—2t)k, C comO<t<l. Exercicio 4: Calcule [oe + V4y) ds, onde C € 0 triangulo de vértices (0,0), (1,0) e (0, 1). C Exercicio 5: Calcule a integral few ds, onde C’ é a quarta parte da circunferéncia C x? +y? +2? =4, y =2, situada no primeiro octante. Exercicio 6: Calcule a integral [ vieve ds, onde C’ é a curva de intersecao das superficies C x+y? +27 = 16, x7 4+ y? =4, situada no primeiro octante. UFF IME - GMA