Aula Cálculo 3 - Integrais Duplas - Módulo 1 2022-1

Universidade Federal Fluminense Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica Departamento de Matem´atica Aplicada C´alculo III-A – M´odulo 1 Prezado aluno, Seja bem-vindo `a nossa disciplina. Este texto possui - salvo algumas modifica¸c˜oes - o mesmo conte´udo do material preparado pela professora Rioco para o curso de C´alculo IV do Cederj. Boa sorte! Rioco K. Barreto e M. Lucia S. Menezes Coordenadoras de C´alculo III-A Aula 1 – Integrais Duplas Objetivos • Compreender a no¸c˜ao de integral dupla; • Estudar algumas de suas propriedades; • Estudar o Teorema de Fubini para retˆangulos. Em C´alculo II-A, vocˆe aprendeu as integrais definidas. Agora, em C´alculo III-A, pretendemos que vocˆe compreenda as integrais duplas e triplas de fun¸c˜oes de duas ou trˆes vari´aveis. Ent˜ao consideremos uma fun¸c˜ao f : D ⊂ R2 → R, onde D ´e um conjunto fechado e limitado (tamb´em conhecido como conjunto compacto). Como D ´e limitado, ent˜ao existe um retˆangulo R = [a, b] × [c, d], tal que D ⊂ R. y d = yn yj yj−1 y0 = c ∆y a = x0 xi−1 xi b = xn x ∆x D R Rij (x∗ i , y∗ j) f R Vamos dividir o retˆangulo R em subretˆangulos Rij da seguinte maneira: dividimos os intervalos [a, b] e [c, d] em n subintervalos de mesmo comprimento ∆x = b−a n e ∆y = d−c n , respectivamente; Calculo III-A Modulo 1 2 tracamos retas verticais e horizontais pelas extremidades desses subintervalos. Vamos escolher (x3, y7) € R,;, para formarmos a soma Sn = LODE F (iy) Ardy = DOF (#i.yj) AA j=l i=l ij=l onde f (a¥,y*) = 0 se (a3, y*) ¢ D. Esta soma é dita soma de Riemann de f. Se existir o lim S,, = L, dizemos que f é integravel e n—-oco que o numero L é dito integral de f sobre D e 6 indicado por | [tle y) dxdy ou | [tle y)dA D D ou [[taa. Assim, D [[ #0 y)dedy = lim D7 f (2},yj) AcAy. D ij=l OBS.: 1. Prova-se que se f é continua em D, entao f é integravel. 2. Se f(x,y) > 0 é continua em D, entdo o grafico de f (Gr) esta asl, acima do plano xy. Entao o volume do sdlido W que esta abaixo e de G'y e acima de D é dado por \ —— VW) = [ [feo dady . D Logo, para encontrar o volume do sdlido W, integramos f(z, y) (o “teto”) sobre D (0 “piso” ). z Gy: z= f(x,y) (“teto”) y ( “piso” ) x (x7, y%) Bay UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 1 3 3. Se f(x,y) = 1 em D entao [fraciy = // dxdy = A(D) = area de D. D D 4. Propriedades (i) [[ir+aa=[[raas [[ gaa D D D (ii) //kfdA=k]//fdA, keER [fores—a]] (iii) D=D,; UD, => [[fdA=|[faA+ [|] faa [poppe I Um Método Pratico para Calcular Integrais Duplas Teorema de Fubini: Se f(x, y) é continua no retangulo D = |a, b] x [c,d], entao br rd dy pb [ [fen dady -/ / flay) ty da -/ / f(x,y) as] dy D a Cc Cc a ou b pd d pb | [eo dady = [J f(x,y) dydx = II f(x,y) dady D avc Cc a integrais iteradas ou repetidas Exemplo 1 Calcule [fv dxdy, sendo D = [0,1] x {[—1, 0}. D Solucao: UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 14 4 Temos 10 // xy” dxdy = [/ xy” dydz . f oJ-1 Primeiro, calculamos a integral interna. Logo, ' 319 ' : 2)! [fevraviy= [2 [2] -3/ o0-(-1)]de=3 f rdv=4 [8] = 4. 0 v1 0 0 0 D Aula 2 — Calculo de Integrais Duplas em Regioes mais Gerais Objetivos e Estudar uma versao mais geral do Teorema de Fubini; e Calcular area e volume. Suponhamos agora, que D seja diferente do retangulo [a, b| x [c,d]. Entao vamos definir dois tipos de regiao. Definicao 1 Dizemos que D é uma regiao do tipo | ou uma regiao simples vertical se D for limitada a esquerda pela reta vertical x = a, a direita pela reta vertical x = b, inferiormente pela curva de equacado y = g(x) e superiormente pela curva y = go(x), onde gi € gz sao continuas. As figuras que se seguem ilustram regides do tipo I. y = 92(2) y = g2(x) = go(x y g y y y = 92(2) ! y= a(e) | ! y= aCe) | : ye alo) a x b r a x b r a x b r UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 1 5 Logo, D= {(z,y) € R?; a<a<be g(x) <y < go(x)}. Prova-se que: b pg2(2) [[ #0 y) dxdy = I f(x,y) dydz . a J9i(2) D Definicao 2 Dizemos que D é uma regiao do tipo II ou uma regiao simples horizontal, se D for limitada inferiormente e superiormente pelas retas horizontais y = c e y = d, respectivamente, a esquerda pela curva x = hi(y) eA direita pela curva x = ho(y), onde h, e hz sao continuas. As figuras que se seguem ilustram regides do tipo II: y y y © = haw) holo) 2 = hi (a) w= hale x=ho(a vx=ho(a a x vl > [ vl — 2(a) ale. aw = ha(2) Ch-- Ch-- Ch-- x x x Logo, D= {(z,y) © R2;c< y<dehi(y) <2 < ho(y)}. Prova-se que: d pha(y) [[ 0 y) dxdy = | / f(x,y) dxdy. e Jhi(y) D Exemplo 1 Calcule por meio dos dois métodos a integral de f(x,y) = xy sobre a regido D limitada pelas curvas _ _ 42 y=rey=n2’. Solu¢ao: As curvas se interceptam quando x? = x ou x(x —1) = 0. Entaéo x = 0 ou x = 1. Assim, os pontos de intersecdo sao (0,0) e (1,1). Logo, o esboco de D é: UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 1 6 Yy LJr ccc ccc tsrttttscs f y=u | ! (x,y) 1 y = x? ' x 1 x Método 1 Enquadrando D como tipo |, temos D = {(z,y) € R*?; 0< x< lea? <y< 2x}. Entao: 1 px Loe ae 1 1 [frvaew = | f cydyde = [x [| de =f 2(0? 24 dx = / (x? — 2°) dx ge x F 0 0 0 0 _ 1 | a4 x t - ile l/l 1 — 5 (4-4) —~ ti = 34° Método 2 Yy Loc c ccc crt f v=y r= V/y 1 x Enquadrando D como tipo Il, temos D = {(x,y) € R?; O<y<ley<a< vy}. Entao, Lpva Lop ava pf pf | [rvdea = | f cydedy= | y [| ay=3] vu-w) dy = / (y? — y®) dy ody 0 y 0 0 D — ify yy! - steal l/l 1 — 5 (3-4) a Dd ° UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 14 7 Exemplo 2 Calcule, por meio de integral dupla, a drea da regido plana D limitada pelas curvas y = x° ey = /z. Solucao: O esboco de D é: y y= all? yaa? 1]---b----gG = vE= 2? D y=23 1 x Podemos descrever D por 0O<a<l D: a < y < gi/2 Entao, 1 pall? 1 wl A(D) = | [avay = | / dydx = | (x'/? — 23) dr = 22°? — = =2-f= 3 ua x 0 " 0 Ja3 0 Exemplo 3 Calcule o volume do tetraedo W com faces nos planos coordenados e no planox+y+2=3. Solucao: O plano x + y+ z = 3 passa pelos pontos A = (3,0,0), B = (0,3,0) e C = (0,0,3). Assim, o esboco de W é: UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 1 8 z C teto de W y 3 rt+ty=3 y=3-2 B A Yy 3 x © D (piso) y=0 Observemos que o teto de W éa porcdo do planox+y+2=30uz=3-—x2-—y= f(x,y) e que o piso de W €0 triangulo D. Entao, VW) = ff feu) aray D = [[te-2-vavdy D 3 3-2 _ | | (3 —2— y) dyde 0 Jo 3 213-2 = | [3y — ey — 4 | dx 0 0 ° (3-2)? = [ [3(3 — x) — 2(3~ 2) — S| dx 3 = / (9 — 6x + 2) dx 0 1 37° = $[or—30? + =], = 2uv. Exercicio 1: Calcule as integrais iteradas: 2 72 2 pr 5 a) / / ye"! dady b) / / ~ dydx 1 J1 1/1 4 Exercicio 2: Esboce a regido de integracao e calcule as integrais: a) [fev aedy, D=({(z,y) € R?, 1< 2 <2,0<y< 22}; D UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 1 9 0) ff Fleu)ardy, D= {(0,y) Rs |x| </2,0 Sy < cose}, fle.y) = ysene D Exercicio 3: Esboce a regido de integracao e inverta a ordem das integrais iteradas em: 1 py 1 J1—a? yf [teva 9 f [few aude 0 ¥0 -1 J—V/1—2? 1 pvy 1 p3a [Lt dedy a) ff toy) dye Ody 0 Ja Lepr, Exercicio 4: Calcule [I 4e* dady. 0 J2y 5 pd Exercicio 5: Calcule / / —— dydx. 1 J, Ulny Exercicio 6: Use a integral dupla para calcular a area da regiao D limitada pelas curvas y = 42 — x? ey=x. Exercicio 7: Encontre o volume do sdlido W limitado pelos planos y = 0, z = 0 y = 4 e pelo cilindro parabélico z = 4 — 2. Exercicio 8: Encontre o volume do sdlido W limitado pelas superficies z = 1 — y?, z > 0, x = 0, z=Oex—y=2. UFF IME - GMA