Segunda Verificação - Cálculo 3 2022 2

Semestre II, 2022. 22-11-2022. TF - Cálculo Diferencial e Integral III Segunda Verificação (60 pontos). Cada questão vale 15 pontos. Q1 Considere o campo de forças em R²: \( \vec{F}(x, y) = (ye^x, xe^y - \cos(y)) \). (i) (5 pontos) Verificar que o campo é conservativo. (ii) (5 pontos) Encontrar uma função potencial \( U(x, y) \) para \( \vec{F}(x, y) \). (iii) (5 pontos) Calcular o trabalho realizado pelo campo sobre uma partícula que se move do ponto \( A(0,0) \) até o ponto \( B(1,π) \). Solução: Questão 1 i) Temos: 𝐹⃗(𝑥, 𝑦) = (𝐹𝑥,𝐹𝑦) = (𝑦𝑒𝑥, 𝑒𝑥 − cos 𝑦) Logo, para verificar se é um campo conservativo, calculamos: 𝜕𝐹𝑥 𝜕𝑦 = 𝜕[𝑦𝑒𝑥] 𝜕𝑦 = 𝑒𝑥 𝜕[𝑦] 𝜕𝑦 = 𝑒𝑥[1] = 𝑒𝑥 𝜕𝐹𝑦 𝜕𝑥 = 𝜕[𝑒𝑥 − cos 𝑦] 𝜕𝑥 = 𝜕[𝑒𝑥] 𝜕𝑥 = 𝑒𝑥 Como 𝜕𝐹𝑥 𝜕𝑦 = 𝜕𝐹𝑦 𝜕𝑥 , temos que, de fato, o campo é conservativo ii) como o campo é conservativo, devemos ter: 𝜕𝑈 𝜕𝑥 = 𝐹𝑥 = 𝑦𝑒𝑥 Integrando em 𝑥, obtemos: 𝑈 = 𝑦𝑒𝑥 + 𝑔(𝑦) Mas, devemos ter também: 𝜕𝑈 𝜕𝑦 = 𝐹𝑦 = 𝑒𝑥 − cos 𝑦 𝜕[𝑦𝑒𝑥 + 𝑔(𝑦)] 𝜕𝑦 = 𝑒𝑥 − cos 𝑦 𝜕[𝑦𝑒𝑥] 𝜕𝑦 + 𝑑[𝑔(𝑦)] 𝑑𝑦 = 𝑒𝑥 − cos 𝑦 𝑒𝑥 + 𝑑[𝑔(𝑦)] 𝑑𝑦 = 𝑒𝑥 − cos 𝑦 𝑑[𝑔(𝑦)] 𝑑𝑦 = − cos 𝑦 Integrando, temos: 𝑔(𝑦) = − sin 𝑦 + 𝐶 Logo, a função potencial se torna: 𝑈 = 𝑦𝑒𝑥 + 𝑔(𝑦) 𝑼(𝒙, 𝒚) = 𝒚𝒆𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝒚 + 𝑪 iii) Como o campo é conservativo, este trabalho é dado pela diferença entre os valores da função potencial: ∫ 𝐹⃗(𝑟⃗) ⋅ 𝑑𝑟⃗ 𝐵 𝐴 = ∆𝑈 = 𝑈(𝐵) − 𝑈(𝐴) = 𝑈(1, 𝜋) − 𝑈(0,0) = (𝑦𝑒𝑥 − sin 𝑦 + 𝐶) − (𝑦𝑒𝑥 − sin 𝑦 + 𝐶) = (𝜋𝑒1 − sin 𝜋 + 𝐶) − (0 ∗ 𝑒0 − sin0 + 𝐶) = (𝜋𝑒1 − sin 𝜋) − (0 ∗ 𝑒0 − sin0) = (𝜋𝑒 − 0) − (0 − 0) = 𝝅𝒆