Lista 2-2021-2

Geometria Anal´ıtica - Lista 2 Professor : Victor Mielly Quest˜ao 1: Considere um triˆangulo is´osceles ABC com ||−−→ AB|| = ||−−→ CB||. Seja M o ponto m´edio do segmento AC. Mostre que −−→ AM ´e perpendicular a −−→ MB. Quest˜ao 2: Determine a equa¸c˜ao da reta no plano que ´e perpendicular ao vetor (1, 2) e passa pelo ponto (7, 3). Quest˜ao 3: Considere os vetores U = (1, 2, 3) e V = (1, 0, 1). Decomponha U como soma de vetores U1 e U2 sendo U1 paralelo a V e U2 ortogonal a V . Quest˜ao 4: Mostre que os vetores U = W − W ·V V ·V V e V s˜ao ortogonais. Quest˜ao 5: Tome os vetores U = (2, 1, 4) e V = (1, 0, 3). Determine a proje¸c˜ao ortogonal de 2U + V sobre U + V . Quest˜ao 6: Se o ponto P0 = (2, a, b) pertence a reta que passa pelos pontos P = (1, 1, 1) e Q = (0, 0, 1), determine a e b. Quest˜ao 7: Sejam α e β n´umeros reais tais que α(1, 2) + β(3, 5) = 0. Encontre os valores para α e β. Quest˜ao 8: Encontre um vetor U unit´ario que seja ortogonal aos vetores (1, 2, 3) e (1, 4, 0). Quest˜ao 9: Determine o ponto P do espa¸co tal que o vetor com origem em P0 = (1, 2, 3) e extremidade em P, tenha mesma norma dire¸c˜ao e sentido do vetor (2, 0, 0). Quest˜ao 10: Tomemos uma circunferˆencia de raio R centrada na origem e considere o triˆangulo ABC, onde A = (R, 0), C = (−R, 0) e B = (x, y) com B na circunferˆencia. Mostre usando produto escalar que o triˆangulo ABC ´e um triˆangulo retˆangulo. Quest˜ao 11: Se os vetores U e V s˜ao tais que U + V ´e ortogonal U − V , mostre que ||U|| = ||V ||. Quest˜ao 12: Verifique se os pontos A = (3, 1, 2), B = (2, 3, 2), C = (2, 3, 4) e D = (4, 5, 6) s˜ao coplanares. Quest˜ao 13: Mostre que (1, 1, 1), (1, 1, 0) e (0, 1, 0) s˜ao v´ertices de um triˆangulo retˆangulo. Em qual v´ertice est´a o ˆangulo reto? Quest˜ao 14: Considere vetores U, V e W, com U ̸= 0. Se V · U = W · U ent˜ao V = W? Quest˜ao 15: Considere U e V vetores quaisquer. Prove que: 1 a) U · V = 1 4(||U + V ||2 − ||U − V ||2). b) ||U||2 + ||V ||2 = 1 2(||U + V ||2 + ||U − V ||2). 2