Segunda Avaliação de Geometria Analítica - Parte 2-2021-1

Universidade Federal Rural de Pernambuco Unidade Acadˆemica do Cabo de Santo Agostinho Segunda Avalia¸c˜ao de Geometria Anal´ıtica - Parte 2 Per´ıodo Letivo 2021.1 Professor: Serginei Liberato Turma 04 Data: 19/05/2022 Nota: Nome: CPF: Leia atentamente as Regras da Segunda Avalia¸c˜ao de Aprendizagem abaixo: i. Incluir na prova todas as contas feitas nas resolu¸c˜oes. Respostas n˜ao acompanhadas de argumentos que as justiquem n˜ao ser˜ao consideradas. ii. Deve constar em todas as folhas da prova o nome completo e CPF, lembre que o arquivo PDF (leg´ıvel) da sua avalia¸c˜ao deve ser anexado no Sigaa at´e as 21h55. iii. A avalia¸c˜ao ´e individual. iv. Na prova o valor m ´e o SEGUNDO N ´UMERO DO SEU CPF. v. A prova deve ser feita em pr´oprio punho, ou seja, provas feitas utilizando algum sofware/programa ser˜ao desconsideradas. vi. O descumprimento de qualquer uma das regras anteriores acarreta na nota ZERO. 1. (2.0) Determine os elementos (focos, v´ertices e excentricidade) e esboce o gr´afico da cˆonica x2 + (m + 2)y2 − x + 4y = 0. 2. (2.0)Determine os focos e as ass´ıntodas da hip´erbole −9x2 + 16y2 − 18x + 32y = 137. 3. (2.0) Considere uma qu´adrica com equa¸c˜ao dada por: −x2 − 4y2 + 4z2 + 2x + 16y = 21. Reduza essa equa¸c˜ao `a forma canˆonica, identifique e construa o gr´afico da qu´adrica que ela representa. 4. (2.0) Qual a equa¸c˜ao da par´abola com v´ertice V = (2, −(m + 1)) e foco F = (5, −(m + 1))? Escreva a equa¸c˜ao da sua diretriz e fa¸ca o gr´afico da par´abola. 5. (2.0) Reduza a equa¸c˜ao (m + 2)x2 + 5y2 = 45 `a forma canˆonica, identifique a superf´ıcie e esboce seu gr´afico. 6. (1.0) (Extra) Qual o papel da excentricidade na forma da elipse? A excentricidade pode ser qualquer n´umero real? Boa Prova! Questao 1 x^2 + (m+2)y^2 - x + 4y = 0 m = 0 ➙ x^2 + 2y^2 - x + 4y = 0 Primeiramente, organizar a equacao para a forma: (x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1 Assim: x^2 + 2y^2 - x + 4y = 0 (x^2 - x) + 2(y^2 + 2y) = 0 (x^2 - x + 1/4) + 2(y^2 + 2y + 1) = 1 + 2/4 (x - 1/2)^2 + 2(y + 1)^2 = 9/4 9/4 9/4 9/4 (x - 1/2)^2/9/4 + (y + 1)^2/9/8 = 1 O centro e C(1/2,-1) a^2: 9/4 ➙ a: 3/2 b^2: 9/8 ➙ b: 3/2√2 Com o auxílio do gráfico observamos: Vértices: A1(1/2 - 3/2, -1) = (-1,-1) A2(1/2 + 3/2, -1) = (2,-1) B1(-1 - 3/2√2, 1/2) = (-2√2 - 3/2√2, 1/2) B2(-1 + 3/2√2, 1/2) = (3 - 2√2/2, 1/2) Focos: c^2: b^2 + c^2 F1(1/2 - 3/2√2, -1) 9/4 = 9/8 + c^2 F2(1/2 + 3/2√2, -1) c^2: 9/8 ➙ c: 3/2√2 Excentricidade: e = c/a 3/2√2/3/2 = √2/2 Questao 2. -9x^2 + 6y^2 - 18x + 32y = 137 Primeiramente organizar a equacao para a forma: (x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1 Assim: -9x^2 + 16y^2 - 18x + 32y = 137 -9(x^2 + 2x) + 16(y^2 + 2y) = 137 -9(x^2 + 2x + 1) + 16(y^2 + 2y + 1) = 137 - 9 - 16 -9(x+1)^2 + 16(y+1)^2 = 112 112 112 112 (y+1)^2/7 - (x+1)^2/(112/9) = 1 O centro e C(-1,-1) a^2: 7 ➙ a: √7 b^2: 112/9 ➙ b: 4√7 Focos: c^2: a^2 + b^2 F1(-1,-1 - 5√7/3) c^2: 7 + 112/9 F2(-1,-1 + 5√7/3) c^2: 175/9 C: 5√7/3 Assintotas: r - m1 = b/a = 4/√7 = 4 Y = 4x a/√7 s - m2 = -b/a = -4√7 = -4 Y = -4x a/√7 Questao 3 -x^2 - 4y^2 + 4z^2 + 2x + 16y = 21 Vamos reduzir a forma canonica: -x^2 - 4y^2 + 4z^2 + 2x + 16y = 21 -(x^2 - 2x) - 4(y^2 - 4y) + 4z^2 = 21 -(x^2 - 2x + 1) - 4(y^2 - 2y + 4) + 4z^2 - 21 = 1 - 16 -(x-1)^2 - 4(y-2)^2 + 4z^2 = 4 -(x-1)^2/4 - (y-2)^2 + z^2 = 1 ➙ Hiperbole de duas folhas O centro esta localizado em C(1,2,0) Questao 4 V = (2, -(m+1)) = (2,-1) F = (5, -(m+1)) = (5,-1) A equacao e da forma: (y-h)^2 = 2p(x-k) h = -1 e k = 2 p = 5 - 2 = 3 ➙ P: 6 2 (y+1)^2 = 12(x-2) Equacao da Directiz: X: 2 - 3 x: -1 x=-1 V 2 5 V F Questão 5 (m+2)x^2 + 5y^2 = 45 2x^2 + 5y^2 = 45 x^2/a + y^2/b = 1 ~ Elipse 45/2 9 O centro é C(0,0) a^2 = 45/2 → a = 3√10/2 b^2 = 9 → b = 3 -3√10/2 3√10/2 C -3 3