P1 Pt 2-2021-1

Universidade Federal Rural de Pernambuco Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho Primeira Avaliação de Geometria Analítica - Parte 2 Período Letivo 2021.1 Professor: Sergeini Liberato Turma 04 Data: 28/04/2022 Nome: Nota: CPF: Leia atentamente as Regras da Primeira Avaliação Parte 2 abaixo: i. Incluir na prova todas as contas feitas nas resoluções. Respostas não acompanhadas de argumentos que as justifiquem não serão consideradas. ii. Deve constar em todas as folhas da prova o nome completo e CPF, lembre que o arquivo PDF (legível) de sua avaliação deve ser anexado no Sigaa até as 21h55. iii. A avaliação é individual. iv. Na prova o valor m é o QUINTO NÚMERO DO SEU CPF. v. A prova deve ser feita em próprio punho, ou seja, provas feitas utilizando algum software/programa serão desconsideradas. vi. O descumprimento de qualquer uma das regras anteriores acarretará na nota ZERO. 1. (2,0) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos (1,2), (3,4) e que tem centro sobre o eixo y. Faça o esboço desta circunferência. 2. (2,0) Identifique o círculo 2x² + 2y² - 10x + 8y = -7m dando o seu centro e raio. 3. Considere os pontos A = (0,1,0), B = (1,0,-1) e C = (1,1,2) e a reta s : x y = z -3 - my . a) (1,25) Determine uma equação geral do plano gerado pelos pontos A, B e C. b) (0,75) Determine a posição relativa entre a reta s e o plano determinado no item (a). 4. Considere as retas r : X = (1,2,3) + t(1,m,2) e s : X = (1,1,1) + λ(-2,1,0), λ,t ∈ ℝ. a) (1,0) Qual a posição relativa de r e s? b) (1,0) Determine, se possível, a distância entre as retas r e s. 5. Considere o plano π : X = (-5,-5,-5) + λ(0,1,2m) + t(1,-m,0) e o ponto P = (2,0,1). a) (1,0) Determine uma equação vetorial para a reta que passa pelo ponto P e é perpendicular ao plano π. b) (1,0) Determine o ponto Q ∈ π que está mais próximo do ponto P. 6. (Extra) (1,0) Seja a reta r : y = 1 - 2x. Determine o ponto P, distinto de (0,1), pertencente à interseção de r com a circunferência de raio 1 e centro na origem. Boa Prova! Para todas as resoluções m = 9. 1 Seja C = (x₀, y₀) o centro da circunferência. Como um ponto está sobre o eixo y, tem-se que x₀ = 0. Dessa forma, a equação procurada é do tipo: x² + (y - y₀)² = r² Sabendo que os pontos A = (1,2) e B = (3,4) pertencem à circunferência, tem-se que: 1² + (2 - y₀)² = r² => 1 + y₀² - 4y₀ + 4 = r² 3² + (4 - y₀)² = r² => 9 + y₀² - 8y₀ + 16 = r² Substituindo as duas últimas equações, membra a membro, obtém-se: 4y₀ - 20 = 0 => 4y₀ = 20 => y₀ = 5. Então, 1 + (2 - y₀)² = r² => 1 + (2 - 5)² = r² => r² = 10 Assim, chega-se à equação: x² + (y - 5)² = 10 => x² + y² - 10y + 25 = 10 => x² + y² - 10y + 15 = 0. Como a circunferência tem centro em C = (0,5) e raio r = √10 ≈ 3,16, pode-se obter a representação gráfica a seguir: 2 Tem-se que 2x² + 2y² - 10x + 8y = -7m 2x² + 2y² - 10x + 8y = -7(9) 2x² + 2y² - 10x + 8y = -63 Reorganizando os termos e completando quadrados, obtêm-se: 2(x² - 5x) + 2(y² + 4y) = -63 2(x² - 5x + 25/4) + 2(y² + 4y + 4) = -63 + 25/2 + 8 2(x - 5/2)² + 2(y + 2)² = -85/2 Observa que a equação acima não se verifica, pois o primeiro membro da igualdade é positivo e o segundo membro é negativo. Portanto, deve haver algum erro de sinal na equação inicialmente fornecida. Supondo que um erro de digitação está no segundo membro, tem-se a equação: 2x² + 2y² - 10x + 8y = 63. Aplicando a mesma sequência de passos, chega-se em: 2(x² - 5x + 25/4) + 2(y² + 4y + 4) = 63 + 25/2 + 8 2(x - 5/2)² + 2(y + 2)² = 167/2 (x - 5/2)² + (y + 2)² = 167/4 Nesta perspectiva, o círculo de interesse tem centro em C = (5/2, -2) e raio r = √(167/4) = √(167)/2 ≈ 6,46. 3) a) Seja π o plano procurado. Como A, B, e C são contidos em π, os vetores \( \overrightarrow{AB} \) e \( \overrightarrow{AC} \) também estão contidos num plano. Temos que, \( \overrightarrow{AB} = B - A = (1, 0, -1) - (0, 1, 0) = (1, -1, -1), \) \( \overrightarrow{AC} = C - A = (1, 1, 2) - (0, 1, 0) = (1, 0, 2). \) Então, um vetor normal a π pode ser obtido na forma: \( \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} \) = \( \vec{i} (-1)(2) - \vec{j} (1)(2) + \vec{k} (1)(-1) \) = \( \vec{i} (-2 - 0) \) - \( \vec{j} (2 + 1) \) + \( \vec{k} (0 + 1) \) = (-2, -3, 1) Assim, π: -2x - 3y + z + d = 0. Como A = (0,1,0) ∈ π, A satisfaz a equação de π. Logo, -2(0) - 3(1) +0 + d = 0 => d = 3 Portanto uma equação geral de π pode ser π: -2x - 3y + z + 3 = 0. b) Temos que s: { y = x z = -3 - 9y Substituindo essas equações na equação geral de π, obtemos: -2x - 3y + z + 3 = 0 => -2y - 3y + (-3 - 9y) + 3 = 0 => -14y = 0 => y = 0 Assim, obtém-se também que: x = y = 0 z = -3 - 9y = -3 - 9(0) = -3. Logo, a reta s e o plano π são concorrentes com interseção em (0,0,-3). 4) Temos que: a) π: X = (1, 2, 3) + t (1, 9, 2) => π: { x = 1 + t y = 2 + 9t z = 3 + 2t , e σ: X = (1, 1, 1) + t (-2, 4, 0) => σ: { x = 1 - 2t y = 1 + t z = 1 Igualando as terceiras equações paramétricas de π e σ, obtemos: 3 + 2t = 1 => 2t = -2 => t = -1. Sendo t = -1, obtemos para π: x = 1 + t = 1 + (-1) = 0, y = 2 + 9t = 2 + (-1)(9) = -7. Igualando os dois últimos resultados às duas primeiras equações paramétricas de σ, obtemos: 1 - 2λ = 0 => 2λ = 1 => λ = 1/2, 1 + λ = -7 => λ = -8. Como os valores para o parâmetro t são distintos e os retos não são paralelos, já que os vetores diretores não têm coordenadas proporcionais, conclui-se que π e σ são reversos. b) Para calcular a distância entre duas retas reversas, utiliza-se a equação d = d (r,l) = | (v_r, v_s, A_1, A_2) | |v_r x v_s| Das informações fornecidas no enunciado da questão, pode-se extrair os vetores diretores de r e s, respectivamente dados por v_r = (1,9,2) e v_s = (-2,1,0); e os pontos A_1 = (1,2,3) e A_2 = (1,1,1). Assim, obtemos que: v_r x v_s = | i j k | | 1 9 2 | |-2 1 0 | = i | 9 2 | - j | 1 2 | + k | 1 9 | | 1 0 | | -2 0 | | -2 1 | = i (0-2) - j (0+4) + k (1+18) = (-2, -4, 19) => |v_r x v_s| = √((2)^2 + (-4)^2 + (19)^2) = √4 + 16 + 361 = √381. Como A_1A_2 = A_2 - A_1 = (1,1,1) - (1,2,3) = (0,-1,-2), obtemos: (v_r, v_s, A_1, A_2) = | 1 9 2 | | -2 1 0 | | 0 -1 -2 | = 1(-2-0) - 9 (4-0) + 2(2-0) = -34. Logo, d (r,l) = |-34| = 34 ≈ 1,7419 u.c. √381 √381 5) a) Temos que π: X = (-5,-5,-5) + λ (0,1,18) + t (1,-9,0). Seja π a reta procurada. Como π é perpendicular a π, o vetor normal a πi pode ser diretor de n. Como v_3 = (0,1,18) e v_3 = (1,-9,0) são paralelos a πi, podemos obter um vetor normal fazendo: n = v_3 x v_2 = | i j k | | 0 1 18 | | 1 -9 0 | = i | 1 18 | - j | 0 18 | + k | 0 1 | | -9 0 | | 1 0 | | 1 -9 | = i (0+162) - j (0-18) + k (0-1) = (162, 18, -1). Sabendo que P ∈ M, obtemos uma equação vetorial na forma: Π: X = (2,0,1) + h (162, 18, -1). b) Para encontrar a projeção Q = (x, y, z) de P sobre π. Para tal, vamos puxar que o vetor PQ seja paralelo a n. Temos que: m = (162, 18, -1), PQ = Q - P = (x-2, y, z-1). Como (-5,-5,-5) está contido em π, uma equação geral do π pode ser escrita como π: 162x + 18y - z + d = 0. => 162(-5) + 18(-5) - (-5) + d =0 => -810 - 90 + 5 + d =0 => d = 895. => π: 162x + 18y - z + 895 = 0. Dendo vem que y = - 9x + 1/18z - 895/18. Ou seja, PQ = (x-2, -9x + 1/18z - 895/18, z-1) Como n deve ser paralelo a PQ: PQ = λn => (x-2, -9x + 1/18z - 895/18, z-1) = λ(162,18,-1). Assim, {x-2 = 162λ {-9x + y/18 - 895/18 = 18λ {z-1 = -λ Portanto, x = 162 a + 2 e z = 1 - a Substituindo na segunda equação do sistema: -9(162 a + 2) + 1 - a / 18 - 895 / 18 = 181 x (18) => -162(162 a + 2) + 1 - a - 895 = 3247 a => -26244 a - 324 - 894 = 3251 a => 26569 a = -1218 => a = -1218 / 26569 Logo, x = 162 a + 2 = -144178 / 26569, z = 1 - a = 27787 / 26569 yy - 9x + z / 18 - 895 / 18 = 1297602 / 26569 + 27787 / 478242 - 895 / 18 = -394632 / 478242 = -197316 / 239121 Portanto, D = ( -144178 / 26569 , -197316 / 239121 , 27787 / 26569 ). 6) A equação de uma circunferência de raio 1 e C = (0,0) é dada por: x² + y² = 1. Como y = 1 - 2x, temos que: x² + (1-2x)² = 1 => x² + 1 - 4x + 4x² = 1 => 5x² - 4x = 0 => x(5x-4) = 0 => x = 0 ou x = 4/5. Como deseja-se um ponto distinto de (0,1), no qual x² = 4/5. Substituindo esse valor na equação de y: y = 1 - 2x = 1 - 2(4/5) = 1 - 8/5 = -3/5 Portanto, o ponto procurado é P(4/5, -3/5).