Lista 4-2021-2

Geometria Anal´ıtica - Lista 4 Professor : Victor Mielly Quest˜ao 1: Considere um ponto P0 = (x0, y0, z0) e um plano π : ax + by + cz + d = 0. Mostre que dist(P0, π) = |ax0 + by0 + cz0 + d| √ a2 + b2 + c2 . Quest˜ao 2: Considere dois planos paralelos π1 : ax + by + cz + d1 = 0 e π2 : ax + by + cz + d2 = 0. Mostre que dist(π1, π2) = |d2 − d1| √ a2 + b2 + c2 Quest˜ao 3: Determine |U · V |, sabendo que ||U × V || = 12, ||U|| = 13 e V ´e unit´ario. Quest˜ao 4: Considere os vetores U = −→i + 3−→j + 2−→k , V = 2−→i − −→j + −→k e W = −→i − 2−→j . a) Determine um plano π paralelo aos vetores V e W. b) Determine uma reta r perpendicular ao plano π. c) Determine a proje¸c˜ao ortogonal do vetor U sobre o vetor diretor de r. Quest˜ao 5: Determine o ˆangulo entre o plano x − y + z = 0 e o plano que passa por P0 = (2, 4, 6) e ´e perpendicular ao vetor −→i − 2−→j + −→k . Quest˜ao 6: Determine o ˆangulo entre os planos π1 e π2, onde π1 passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1) e C = (1, 1, 0) e π2 passa pelos pontos D = (0, 0, 1) e E = (0, 0, 0) e ´e paralelo ao vetor −→i + −→j . Quest˜ao 7: Determine uma reta que passa pelo ponto (1, 2, 3) e forma um ˆangulo de 30o com o eixo x e 45o com o eixo y. Quest˜ao 8: Determine o triˆangulo equil´atero de v´ertices A, B e C tal que A = (1, 1, 0) e o lado BC est´a contido na reta (x, y, z) = (0, t, −t). Quest˜ao 9: Seja π o plano que passa pelo ponto (1, 1, 1) e ´e perpendicular a reta que passa pelos pontos (−2, −1, 1) e (3, 1, 2). Determine a distˆancia do ponto P = (−3, −1, 2) ao plano π. Quest˜ao 10: Considere as retas r1 : (x, y, z) = (1 − t, 2t, 0) e r2 : x − 2 = y−3 2 = z−4 3 . Determine as equa¸c˜oes da reta perpendicular a r1 e r2. Calcule a distˆancia entre r1 e r2. 1