Lista - Álgebra 3 2021 2

Lista de exercicios de álgebra Questão 1 Dados os anéis e seus respectivos ideiais verifique se cada um dos ideias são maximais Use o fato de que se a é um anel comutativo com unidade então 𝐴 𝐼 é um corpo se e somente I é um ideal maximal em I 𝐴 𝐼 onde a𝐴 ℤ e I 4ℤ c𝐴 ℤ12 e I 4 d𝐴 ℤ3 ℤ e Iℤ3 3ℤ e 𝐴 ℤ ℤ e I 3ℤ 4ℤ f 𝐴 ℤ ℤ e I 3ℤ ℤ g 𝐴 ℤ12 e I 7 Questão 2 Da questão anterior identifique quais dos anéis quocientes são corpos ou não Se não forem corpo identifique os elementos inversíveis e os não inversíveis no anel quociente Questão 3 Verifique se cada uma das funções 𝑓 𝐴 𝐵 é um homomorfismo ou não a Aℤ 𝑒 𝐵ℤ onde 𝑓𝑥x1 b Aℤ 𝑒 𝐵ℤ onde 𝑓𝑥2x c Aℤ e 𝐵ℤ ℤ 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓𝑥x0 d Aℤ ℤ e Bℤ onde 𝑓𝑥 𝑦y e Aℤ ℤ e Bℤ ℤ onde 𝑓𝑥 𝑦yx f f A ℂ e Bℂ onde 𝑓𝑥 𝑖𝑦 𝑥 𝑖𝑦 Questão 4 Sabese que ℤ ℤ munido das operações de adição e multiplicação definidas por 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 𝑎𝑐 0 é um anel Mostre que a aplicação 𝑓 ℤ ℤ ℤ é um homomorfismo sobrejetor onde 𝑓𝑥 𝑦x Questão 5 Sabese que ℤ ℤ munido das operações de adição e multiplicação definidas por 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 𝑎𝑐 𝑎𝑑 𝑏𝑐 é um anel Mostre que a aplicação 𝑓 ℤ ℤ ℤ é um homomorfismo de anéis onde 𝑓𝑥 𝑦x onde ℤ é munido da soma usual e do produto usual dos inteiros Questão 6 Sabese que ℤ ℤ munido das operações de adição e multiplicação definidas por 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 𝑎𝑐 𝑏𝑑 𝑎𝑑 𝑏𝑐 é um anel Mostre que a aplicação 𝑓 ℤ ℤ ℤ é um homomorfismo de anéis onde 𝑓𝑥 𝑥 0 Questão 7 Mostre que 𝑓 ℂ 𝑀2ℝ dado por 𝑓𝑎 𝑖𝑏 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 é um homomorfismo injetor Questão 15 Mostre que 𝑓 ℚ2 𝑀2ℝ dado por 𝑓𝑎 𝑏2 𝑎 2𝑏 𝑏 𝑎 é um homomorfismo de anéis Questão 8 Determine todos os homomorfismos de ℤ em ℤ6 Sugestão Estude todas as possíveis imagens de 𝑓1 de ℤ em ℤ6 Questão 9 Determine todos os homomorfismos de ℤ em ℤ ℤ Sugestão Estude todas as possíveis imagens de 𝑓1 de ℤ em ℤ ℤ Questão 10 Prove que se f é um homomorfismo de ℤ em ℤ então f é a função nula ou f é a identidade Questão 11 Prove que se f é um homomorfismo de ℚ em ℚ então f é a função nula ou f é a identidade Questão 12 Seja 𝐹 𝐾 𝐾 é um isomorfismo homomorfismo sobrejetor e injetor entre dois anéis a Prove que se 𝐼 é um ideal de K então 𝐹𝐼 é um ideal de 𝐾 b Defina 𝐹 𝐾 𝐽 𝑘 𝐹𝐽 uma função onde 𝐹 𝑥 𝐽 𝐹𝑥 𝐹𝐽 Prove que 𝐹 é um homomorfismo entre esses dois anéis quocientes Se K e 𝑘 são corpos então quais os possíveis homomorfismos que podemos ter Questão 13 Dados ℝ e ℝ onde 𝑎𝑏 𝑎 𝑏 1 𝑎𝑏 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 Prove que 𝐹𝑥 𝑥 1 é um isomorfismo de ℝ em ℝ Questão 14 Seja F a função onde 𝐹 ℤ ℤ2 ℤ3 onde 𝐹𝑥 𝑥 𝑥 tal que 𝑥 é o valor de 𝑥 em ℤ2 e 𝑥 é o valor de 𝑥 em ℤ3 a Prove que F é um homomorfismo b Prove que F é sobrejetor sugestão use o Teorema Chinês do resto ou seja o sistema 𝑥 𝑥1 𝑚𝑜𝑑 2 𝑥 𝑦2 𝑚𝑜𝑑3 sempre possui solução c Use o Teorema do núcleo e da imagem para provar que ℤ 6ℤ é isomorfo à ℤ2 ℤ3 Questão aProve que não existe nenhum isomorfismo do subcorpo 𝐾 𝑎 𝑏2 𝑎 𝑒 𝑏 ℚ no subcorpo 𝐾 𝑎 𝑏3 b Prove que se existe um isomorfismo F do subcorpo 𝐾 𝑎 𝑏2 𝑎 𝑒 𝑏 ℚ nele mesmo então 𝐹2 2 ou 𝐹2 2