Questões - Álgebra 3 2021 2

Questão 2 Se F é um homomorfismo de Z em Z prove que F0 ou FId Calcule todos os homomorfismos possíveis de Z em Z10 e expliciteos Questão 3 Quais dos seguintes polinômios são irreduzíveis em Qx justificando sua resposta a b x3 5x2 x 1 c x3 5x2 x 2 Questão 4 Identifique os anéis quocientes e justifique se cada um dos anéis quocientes é um corpo ou não a Z Z I4 Z 3Z b Z Z I2Z 3Z c os inteiros módulo 12 e os múltiplos de 8 em Z12 02 F0 F0 0 F0 F0 F0 0 somando F0 em ambos os lados Caso 1 F1 0 F1 F1 1 F1 F1 F1 F1 Logo 0 F0 F1 1 F1 F1 F1 F1 1 Se m 0 Fm F1 1 F1 F1 m F1 Se m 0 Fm F1 1 F1 F1 m F1 Portanto F Id Caso 2 F1 0 0 F0 F1 1 F1 F1 F1 0 Assim se m 0 Fm F1 1 F1 F1 0 Se m 0 Fm F1 1 F1 F1 0 Logo F 0 Agora seja ψ Z Z10 homomorfismo de forma análoga ao feito acima ψ1 0 ψm mψ1 m Z Se ψ1 0 temos o homomorfismo trivial Se ψ1 0 suponha ψ1 k 1 2 n1 então ψm mk k k mkn vezes Assim k ψ1 ψ11 kk k2 Logo k k2 mod 10 Os ks que satisfazem essa congruência são 1 5 e 6 Portanto temos 4 possíveis homomorfismos ψk Z Z10 para k 0 1 5 6 Se Pxx³5x²x1 for redivtível podemos escrever x³5x²x1ax²bxcsxn com abc Q e nZ Ou seja n5 seria raiz do polinômio e então Px teria raiz racional Seja pq tal raiz com mdcpq1 fração irredutível Pelo critério de busca de raízes racionais temos que p divide 1a₀ e q divide 1aₙ logo as nossas possibilidades são pq 1 P18 e P14 logo Px não pode ser redutível Se Qxx³5x²x2 for redutível podemos escrever x³5x²x2ax²bxcsxn com abc Q e nZ Ou seja n5 seria raiz do polinômio e então Px teria raiz racional Seja pq tal raiz com mdcpq1 fração irredutível Pelo critério de busca de raízes racionais temos que p divide 2a₀ e q divide 1a₃ Assim nossas possibilidades são pq 1 ou 2 Q19 Q15 Q232 Q212 logo Qx não pode ser redutível Seja ψ Z x Z Zm x Zn ψ é claramente homomorfismo e xy xₘyₙ é claramente sobrejetor Ker ψ xy Z x Z ψxy 0ₘ0ₙ xy Z x Z x 0mod m e y 0mod n Assim pelo teorema dos isomorfismos Z x Imn Zm x Zn Denotemos A Z x Z Se I 4Z x 3Z temos por que AI Z4 x Z3 que não é corpo pois 1₄0₃ não tem inverso multiplicativo pois 0₄1₃ α₄0₃ α₄1₃ Válido Z Se I 2Z x 3Z temos por que AI Z2 x Z3 Note que 1₂0₃ não tem inverso multiplicativo pelo mesmo argumento do item anterior logo AI não é corpo OBS Z x Zmn é corpo m1 ou n1 e m ou n é primo Logo I 048 Um elemento de Z₁₂I é da forma αI onde α Z₁₂ αI αb b I αα4α8 Como I12 e I3 então Z₂I 4 vamos descrevêlos 0I048 1I159 2I2610 3I3711 4I48120I Assim Z₁₂I 0I 1I 2I 3I 3I 3I pois 3I3I 31I 9I 91317 915 2I2I 4I 4I 4 8 0 0 I Logj 3 I não é o inverso de 2 I e 2 I também não é o inverso de 2 I temos que 2 I não possui inverso multiplicativo logo Z2 I não é corpo