Questão - Anéis Quocientes 2021 2

Questão 4 Identifique os anéis quocientes e justifique se cada um dos anéis quocientes é um corpo ou não a ℤ ℤ e Iℤ4Z 3ℤ b ℤ ℤ e IℤZ 3ℤ c os inteiros módulo 12 e os múltiplos de 8 em ℤ12 4 ℤ ℤ Iℤ4Z 3ℤ Solução Considere o homomorfismo de anéis ψ ℤ ℤ ℤ4 ℤ3 m m m mod 4 m mod 3 Note que ψ é o produto de dois projeções canônicas e que ψm m0 m 4ℤ e m 3ℤ Logo KerψIℤ4Z 3ℤ Como mod 4 31 segue que ℤℤ ℤ4 ℤ3 ℤ12 ℤ ℤ I2ℤ 3ℤ Solução Considere o homomorfismo de anéis ψ ℤ ℤ ℤ2 ℤ3 m m m mod 2 m mod 3 Note que ψ é sobrejetor pois é a composição de dois projeções canônicas Além disso ψm m0 0 m 2ℤ m 3ℤ Como Kerψ2ℤ 3ℤ I o Teorema de Isomorfismo nos dá ℤ ℤI ℤ2 ℤ3 ℤ6 ℤ12 I8ℤ12 Solução Considere o homomorfismo ψ ℤ12 ℤ8 dado por m mod 12 m mod 8 Note que ψm mod 120 m 8ℤ m mod 12 8ℤ12 Logo I 8Z12 Assim pelo Teorema da Isomorfia Z12 Z8 que não é corpo e por 2 U 8 0