P1 - Álgebra 3 2021 2

Prova 1 de álgebra 3 1 25Questão 1 Considere as operações em 𝑒 definidas em ℚ onde 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 3 e 𝑥𝑦 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 3 Verifique se ℚ é um corpo identificando o neutro da soma do produto e verificando se possui inverso multiplicativo 2 30Tome ℤ onde 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 1 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 a 𝐴 5ℤ 1 é um subanel de ℤ Justifique sua resposta b 𝐴 5ℤ 1 é um ideal de ℤ Justifique sua resposta c ℤ possui divisores de zero Justifique sua resposta 3 25Questão 3 Seja 𝐴 ℤ um anel munido das operações 𝑎 𝑚𝑏 𝑛 𝑎 𝑏 𝑚 𝑛 𝑎 𝑚𝑏 𝑛 𝑎𝑏 𝑚𝑏 𝑛𝑎 𝑚𝑛 aProve que 𝐴 0 em 𝐴 ℤ é um ideal 𝐴 0 é um ideal maximal em 𝐴 ℤ Questão4 15 Seja A um domínio de integridade com três elementos onde Aabc onde 𝑏 1𝐴 𝑒 a0𝐴 prove que 𝑐2 𝑏 e porque 𝑐2 𝑎 e 𝑐2 𝑐 Exercício 1 Considere as operações x e Δ em ℚ onde x y x y 3 e x Δ y x y x y 3 Verifique se ℚ é um corpo Solução Sejam x y z ℚ 1 Associatividade de 1 x y z x y 3 z x y 3 z 3 x y z 6 Por outro lado x y z x y z 3 x y z 3 3 x y z 6 logo x y z x y z 2 Comutatividade em x y x y 3 y x 3 y x Logo x y y x 3 Elemento neutro da adição Seja n o condicao a elemento neutro para o operação em ℚ Então n x x n x 3 x n 3 ℚ logo 3 x 3 x 3 x 4 Elemento simétrico oposto Seja b o condicao a simétrico de x ℚ deve valer x b 3 x b 3 3 x b 6 b 6 x ℚ logo x 6 x x 6 x 3 3 5 Associatividade em Δ x Δ y Δ z x Δ y z y z 3 x y z y z 3 x y z y z 3 3 x y z y z 3 x y z 3 x y z 9 Por outro lado x Δ y Δ z x y x y Δ z x y x y 3 z x y x y z 3 x y z x y x z y z 3 x y z 9 logo x Δ y Δ z x Δ y Δ z x y z 3 x y z 3 xy z 33 x y z 3 xy3 xz3 x 2x y z xy3 xz3 0 x y 3 z x y 3 z x y 3 z x y 3z3 x y z xy3 z 33 x y 2z xy3 yz3 3 0 m x x m x mx3 x 3m 3x mx 3x m3 x 0 m 0 9 Elemento inverso por Δ seja x o condado a inverso então x Δ i 0 x i x i 0 x i1 x 3 i3 x 3 x i 3x 3 x i 3x x 3 logo x Δ 3x x 3 x 3x x 3 x 3x x 3 3 x 3x 6x2 6x 3 x2 3x 3x x2 x 3 0 x 3 0 Portanto ℝ Δ é um corpo onde 3 é o elemento neutro do soma o é o elemento neutro do produto Δ É x e y com x 3 o inverso multiplicativo é 3x x 3 Questão 2 Seja ℤ 0 ordem 0 b 0 b 1 0 b 0 b 0b 1 A 5ℤ 1 é um subanel de ℤ 0 solução Primeiro observe que o elemento neutro da adição do anel ℤ 0 é 1 e o inverso aditivo de 0 e ℤ 0 é 2 0 De fato 0b ℤ temos 0 1 0 1 1 A e 0 2 0 0 2 0 1 1 agora vejamos se A 5ℤ 1 é um subanel c A pois 5n 1 ℤ tomando n 0 temos 50 1 1 A 0 b e A então 0 b 5n 1 5m 1 5n 1 5m 1 5n m 1 A Se m in A temos que omega in A Portanto omega 25n1 25n1 5n1 in A Sejam omega in mathbbZ e b 5n1 in A então Observação mathbbZ 0 onde omega oplus b omega b 1 3 Elemento neutro da adição seja n o cardeal o neutro então ω n ω ω n 1 ω n 1 ℤ ω b c bc ωb ωc ωbc Por outro lado ωOC bOC ω c ωc b c bc questão 3 seja A x Z um anel com ωm bn ωbmn ωm bn ωbmbn mn i Prove que A x Z em A x Z é um ideal A x Z é um ideal maximal em A x Z Solução Primeiro observe que A x Z Ø Pois o elemento neutro da adição do anel A x Z 00 pertence a A x Z Sejam ω0 b0 e A x Z temos ω0 b0 ωb0 e A x Z 00 ω0 00 ωω0 00 ω ω Logo ω0 e A x Z simétrico de ω0 Além disso dois ω0 e A x Z e bn e A x Z temos bn ω0 bωna0bno bωna0 e A x Z Portanto A x Z é um ideal de A x Z A x Z não é maximal em A x Z Afirmo A x Z é um ideal de A x Z De Fato i A x Z Ø Pois 00 e A x Z ii temos 02n 02nn ωω2nn 00 logo se 02n e A x Z temos 02nA x Z ωn b2m e A x Z temos ωn b2m ωbnb2monm e A x Z Afirmo 2 A x Z A x Z e A x Z A x Z seja 00 e A x Z temos 01 020 e A x Z logo A x Z A x Z Portanto A x Z A x Z Pois 01 e A x Z não logo A x Z não é um ideal maximal Questão 4 Seja A um domínio de integridade com três elementos ordem A a b c com b 1A e 0A OA Prove que c c b e porque c c 0 Provo Seja A a b c um domínio de integridade com b 1A e 0A OA Temos que c c 0A e b a c Se c c 0 então c c 0A implicando que c 0A pois A é domínio de integridade mas não podemos ter c 0A pois 0A 0A e c c Se c c c então c c c implicando que c 1A O que não é possível pois b 1A e b c Logo só nos resta c c b Portanto c c b