Slide - Funções de Variável Complexa - Séries de Potência 2021 1

Funcoes de Variavel Complexa Series de Potˆencias Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Julho de 2021 Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Series de Potˆencias Julho de 2021 1 65 Sequˆencias de numeros complexos Neste capıtulo estudaremos series de potˆencias em C e a sua relacao com funcoes analıticas Inicialmente vamos apresentar as nocoes de sequˆencias e series de numeros complexos nocoes estas analogas ao caso real Uma sequˆencia de numeros complexos e uma funcao z N C E usual escrever zn zn o chamado nesimo termo ou termo geral da sequˆencia As notacoes zn znnN ou z1 z2 z3 sao usuais na representacao da sequˆencia Exemplos zn in i 1 i 1 i 1 i 1 zn n1 i 1 i 2 2i 3 3i Dado z C nos dizemos que zn converge para z ou que z e o limite de zn e escrevemos zn z ou limn zn z quando para todo ϵ 0 existe n0 N tal que se n n0 entao zn z ϵ Grosso modo zn z quando os termos zn se tornam tao proximos de z quanto se queira desde que n seja tomado suficientemente grande Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Series de Potˆencias Julho de 2021 2 65 n bd A Sequéncias de numeros complexos i i 1 iol Exemplo Se z 5 3 4 8 Jere entdo Zp 0 De fato para cada 0 basta tomar no N tal que 55 Se n mo nds teremos que in yn i 1 1 ZrO0znlJ aHeaa e lzn 0 lz 5 TS Boa parte dos resultados validos para sequéncias de numeros reais seguem validos no caso complexo Alguns deles nés relembramos abaixo O limite de uma sequéncia z quando existe é Unico e Sec Ce z e wz Sado sequéncias de nimeros complexos tais que Z Z Wy W entdo CZ CZ Zq Wn 4 ZW Zn Wp Z WE neste ultimo caso desde que w 0 As sequéncias Zn Wn CZnZn Wn 2 sao definidas da maneira natural fazendo a operacdo termo a termo Os resultados acima podem ser provados de maneira andloga ao caso real ou utilizando a préxima proposiao que conecta limites de sequéncias de numeros complexos com limites de sequéncias de numeros reais Como sempre ao escrever z x iy estamos considerando xy R Sequˆencias de numeros complexos Proposicao Sejam zn xn iyn uma sequˆencia de numeros complexos e z x iy C Entao zn z se e somente se xn x e yn y A demonstracao dessa proposicao e analoga a demonstracao do resultado corres pondente para limite de funcoes complexas veja slide 25 do Capıtulo 2 Exemplo Se zn 1 i 1n n2 entao zn 1 De fato escrevendo zn xn iyn nos temos que xn e a sequˆencia constante com todos os termos iguais a 1 logo converge para 1 e yn 1n n2 0 Uma sequˆencia zn e dita ser uma sequˆencia de Cauchy quando para todo ϵ 0 existe n0 N tal que se m n n0 entao zm zn ϵ Grosso modo zn e de Cauchy quando zm e zn se tornam tao proximos um do outro quanto se queira des de que desde m e n sejam tomados suficientemente grandes Como no caso real zn e de Cauchy se e somente se zn e convergente 1 Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Series de Potˆencias Julho de 2021 4 65 Solace Mal ante cesmee anyon cos Uma série de nimeros complexos é uma soma infinita So Zn onde z C para todo n No NU 0 e 6 o chamado termo geral da série O significado dessa soma é dado através das chamadas somas parciais definidas por SZ SpiAtAHt 2 VNEN Nos dizemos que 0 Zn Converge para z C e escrevemos z 0 Zn quando a sequéncia s das suas somas parciais converge para z note que esta sequéncia estd indexada por indices em No Caso contrdrio nds dizemos que 4 Zp diverge Exemplos A série 0 i diverge pois a sequéncia das suas somas parciais é dada por SnneNo 114 0114 70 a qual nao converge Por outro lado a série 4 converge pois neste caso i i2 ive 141 0 01 4 2i s 1455 5 24 Mape 2 2 2 1 5 15 5 5 2 a a Solace Mal ante cesmee anyon cos Assim como no caso de sequéncias alguns dos resultados validos para séries de numeros reais seguem validos em C CO Se 9 Zn Converge entao z 0 Zz oo co 5 Cc Sece Cc é uma constante 4 Z Z op 9 Wn Ww entdo 0 9 cz CZ O oZn Wn Z4 w Co Zz co Quando Zn converge nds dizemos que 9 Zn converge absolutamente CO x Co Se 9 Zn Converge absolutamente entdo Z converge Também como no caso de sequéncias esses resultados podem ser provados de maneira andloga ao caso real ou utilizando a proposiao a seguir Proposicao Sejam Zp Xn Vn nen UMa sequéncia de ntimeros complexos ez xiy C Entdo z z se e somente se So X X CY Vn 1 n0 4n n0 n n0 Yn Y A prova dessa proposiao segue do resultado correspondente para sequéncias apli cado as somas parciais das séries do seu enunciado Solace Mal ante cesmee anyon cos Uma vez que a convergéncia absoluta de ro Zn implica a convergéncia da série os seguintes resultados podem ser adaptados para o caso complexo e Teste da Razao Suponha que L limp00 Paul existe Se L 1 entdo a série converge Se L 1 a série diverge e Teste da Raiz Suponha que L limy40 Zn existe Se L 1 entdo a série converge Se L 1 a série diverge a 1i Exemplo O Teste da Razdo nos garante que a série Gri converge pois nti 1 1 n ilil v2 m9 9 2 4 joe n1yb 1 i n41 nti n Podemos também considerar séries em que o primeiro indice na soma nao é 0 como Cc soe 771 login série que diverge independente do ramo do logaritmo considerado uma vez que o seu termo geral nado tende a 0 A fim de cobrir também estes casos é usual escrever z sem os indices em enunciados de resultados Sequˆencias de funcoes complexas A fim de introduzir as series de funcoes complexas vamos considerar agora sequˆencias de funcoes Dadas funcoes complexas fn n N com um domınio comum D nos podemos considerar a sequˆencia fn isto e considerar para cada z D a sequˆencia fnz Definicao Sejam f e fn n N funcoes complexas com mesmo domınio D Nos dizemos que fn converge pontualmente para f quando fnz f z para todo z D Exemplo A sequˆencia de funcoes complexas zn definidas em D10 disco aberto de centro na origem e raio 1 con verge pontualmente para a funcao nula de mesmo domınio pois para cada z D10 zn 0 zn zn 0 uma vez que z 1 Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Series de Potˆencias Julho de 2021 8 65 Sequˆencias de funcoes complexas Dizer que fnz f z para todo z D significa dizer que z D e ϵ 0 n0 N tq n n0 fnz f z ϵ Assim em geral n0 depende nao apenas de ϵ mas tambem de z D No caso da sequˆencia de funcoes do exemplo anterior para cada ϵ 0 zn 0 ϵ zn ϵ z nϵ a raiz nesima real de ϵ Como nϵ 1 quando n para cada z D10 existira n0 N tal que se n n0 entao z nϵ isto e zn 0 ϵ Porem quanto mais proximo de 1 estiver z maior devera ser n0 e nao e possıvel obter um talındice que se encaixe na definicao de convergˆencia para todo z D10 ao mesmo tempo ainda que ϵ esteja fixado Quando para Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Series de Potˆencias Julho de 2021 9 65 Sequˆencias de funcoes complexas cada ϵ 0 e possıvel obter um ındice n0 que nao depende de z nos temos a chamada convergˆencia uniforme Definicao Sejam f e fn n N funcoes complexas com mesmo domınio D Nos dizemos que fn converge uniformemente para f em D quando para todo ϵ 0 existe n0 N tal que se n n0 entao fnz f z ϵ para todo z D Exemplo Fixado 0 δ 1 a sequˆencia de funcoes complexas zn converge uniformemente para a funcao nula em Dδ0 disco fechado de centro na origem e raio δ De fato para cada ϵ 0 tome n0 N tal que δ n0ϵ isto e possıvel porque nϵ 1 Entao se n n0 nos teremos que zn 0 zn δn δn0 ϵ z Dδ0 Dentre outras coisas a convergˆencia uniforme e importante porque permite passar certas propriedades para a funcao limite conforme veremos mais a frente Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Series de Potˆencias Julho de 2021 10 65 Séries de funcdes complexas Dadas fundes complexas f 7 No com dominio comum D nés também podemos considerar a série 9 fn isto é considerar para cada z D a série 0 fz Definicao Sejam f ef n No funcdes complexas com mesmo dominio D Nos dizemos que Linn f converge pontualmente para f é escrevemos De fn quando fz n0 fnZ para todo z D Nos dizemos que f converge absolutamente para f quando 9 fz converge absolutamente para fz para todo z D Dizer que an f Converge pontualmente para f 0 mesmo que dizer que a sequéncia s das suas somas parciais definida por soz fz e 5z fozAzfz VneNevVzeD converge pontualmente para f Séries de funcdes complexas Exemplo A série de fundes complexas z converge pontualmente para a funcSo fz 7 em D0 De fato para cada z D0 nds temos que 1 271 1 T4z427 2 pois z 1 1z 1z a Como exercicio verifique que an z converge absolutamente para ra em D0 Note no entanto que denotando por s a sequéncia das somas parciais de yz entdo s ndo converge uniformemente para fz 4 em D0 De fato para cada z D0 tz7 1 zntl z sz fz 2 a Alay de modo que para cada ce 0 ez 0 Yea eoMeLMNIU TATOO IN ees 1 z n lz n elz Isnz Fz e PE 8 z 7 log z log 12 Iz IZ loge1 z nlogz loge1 z logz s n loge1 21 1 log z uma vez que logz 0 Assim fixado quanto mais préximo z estiver de 1 maior devera ser o indice no da definicao de convergéncia e nao é possivel obter No que sirva para todo z D0 ao mesmo tempo com fixado A definicao a seguir surge entao de maneira natural Definicao Sejam f e f n No funcdes complexas com mesmo dominio D Nos dizemos co A que 9 fn converge uniformemente para f em D quando a sequéncia s das somas parciais de 4 f converge uniformemente para f Séries de funcdes complexas Exemplo Fixado 0 6 1 z converge uniformemente wos para fz em D0 De fato para cadae 0 tome e no N tal que no reall 9 1 Entao WTF 14logd io No wate ieet eg gs0 no log 5 loge1 6 log6 16 16 log d log 6M eL 0 6 5 Assim se n no 2 junto com a desigualdade triangular invertida nos dao que ztt z jm nz fz DT 5 a ze D0 so N aS paet S19 6 YF EPH Teste de Weierstrass Em geral é dificil provar a convergéncia uniforme de uma série de funcoes utilizando apenas a definiado A ferramenta a seguir tornase entao bastante util Teorema Teste de Weierstrass Sejam My uma série convergente de ntimeros reais fyneN uma sequéncia de funcdes complexas definidas em um subconjunto D Suponha que fnz Mn Vn No eVz D Entdo 9 fr converge uniformemente em D Dem Note inicialmente que devemos ter M 0 para todo n No Como Po Mn converge segue de 1 que a sequéncia S das suas somas parciais é de Cauchy Assim dado 0 existe no N tal que se n m no entao Mm1 Mm2 Mn Mm1 Mm2 4 M S Sm e 3 Denotando por s a sequéncia das somas parciais de ro fn nds temos pela Teste de Weierstrass hipdtese do enunciado e por 3 que se n m no entdo SnZ SmZ fm41Z fntoZ frz lfn1Z fm2Z fnZ 4 Min1 Mm2 M e VzeED Assim para cada z D a sequéncia sz é de Cauchy de modo que por 1 existe FZ limnoo SnZ Pela definicdo de convergéncia de sequéncias para cada z D existe mz 0 qual podemos supor maior ou igual que no tal que nzZ fz Combinando isto c 4 nds obtemos que se n no entao Snz fz SnZ SmzyZ Smzyz Fz e2e Vze D Logo So f converge uniformemente para f em D a O fato de termos obtido 2e ao invés de no final da demonstracdo acima nado é um problema nés seriamos capazes de obter tomando 5 nas etapas anteriores a iKomel molest ei Exemplo 1 Usando o Teste de Weierstrass fica mais facil mostrar que 9 2 converge uniformemente em D0 qualquer que seja 6 01 De fato basta notar que z z 6 para todo z D50 e para todo n No que 6 converge pois 0 6 1 e aplicar o teste Note no entanto que o teste ndo nos da o valor da soma obtido no exemplo do slide 12 2 Exemplo 2 Mostre que Z seul 2 2 converge uniformemente em qual quer disco D52 com 06 1 Solucao Fixe 0 6 1 A fim de limitar o mddulo do termo geral da série vamos limitar o médulo do numerador e mostrar que 3i o méddulo do denominador esta uniformemente afastado de 0 Se z D52 entao z z 21 2i z2i2i 62 3 de modo que z z 9 Para mostrar que o mddulo do deno minador est4 uniformemente afastado de 0 note inicialmente que Teste de Weierstrass 6 z2i 2iz 2i z2z z26 Assim z 1 z1 z 1 2d61160 Como também temos senn 1 para todo n N nds obtemos que 2 2 z senn z wn 9 fy z 2 2i 6 Vze D2i Ere niye A enn lz 2 72 s2i Como 7 ws 6 converge pois 0 5 1 segue do Teste de Weierstrass que a série dada no enunciado converge uniformemente em D52 7 O prdéximo resultado nos garante que quando uma série de fundes continuas con verge uniformemente ela pode ser integrada termo a termo O mesmo vale para a derivacdo quando cada termo da série é analitico Derivacao e integracao de séries de funcoes Teorema Seja f 9 fn uma série de fundes complexas continuas uniformemente con vergente em um conjunto D Entdo f é continua em D para todo caminho C Cc D vale que CO fzdz fzdz Cc nove se D é regido simplesmente conexa e as funcées f sao analiticas em D entao f também o ée CO fz So Fz Vz DeVkEN n0 Derivacao e integracao de series de funcoes Dem 1 Sejam sn a sequˆencia das somas parciais da serie e para cada n N0 rn f sn Fixe z0 D e seja ϵ 0 Pela convergˆencia uniforme existe n0 N tal que rn0z f z sn0z ϵ 3 z D Como alem disso f0 f1 fn0 sao contınuas em z0 entao sn0 tambem o e de modo que existe δ 0 tq se z D z z0 δ entao sn0z sn0z0 ϵ 3 Assim se z D z z0 δ temse f z f z0 sn0z rn0z sn0z0 rn0z0 sn0z sn0z0 rn0z rn0z0 ϵ 3 ϵ 3 ϵ 3 ϵ Logo f e contınua em z0 e como z0 D foi arbitrario segue que f e contınua Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Series de Potˆencias Julho de 2021 20 65 Derivacao e integracao de séries de funcoes 2 Seguindo a notado do item 1 e usando novamente a convergéncia uniforme da série para cada 0 existe no N tal que se n no entdo rz Toy Para todo z C Entdo para cada n no roe fjzdz ee S fizdz a a9 JC c C i0 Flade soz c c rolzde Ile dz C e voteyae Irtadllael ay 0 Logo limn soo dojo Se zdz Jc Fzdz isto CO fzaz fzdz a9 JC c Derivacao e integracao de séries de funcoes 3 Como cada f n No é analitica em D regido simplesmente conexa segue do Teorema de Cauchy que fzdz 0 para todo caminho fechado simples C CD Pelo item 2 o mesmo vale para f Isso junto com o Teorema de Morera nos da que f é analitica em D Para ra ae ver que as derivadas de f podem ser obtidas derivando a série d termo a termo fixe z D k N e seja 6 0 tal que o i Cos circulo C de centro em Zp e raio 6 esteja contido em D Como i Sr 9 fn converge uniformemente para f em C e dp k k S FL Cconstante Vz C 2niz ZoKt1 Qn 6k1 podemos mostrar que co k fz k fz yo fle ie Wz EC 5 2ri Zz Zkt Qmi zZZKkt sendo a convergéncia uniforme em C Assim podemos integrar a ultima série Derivacao e integracao de séries de funcoes termo a termo em C pelo item 2 0 que junto com a expressdo para as derivadas de f dada pela Férmula Integral de Cauchy slide 46 do Capitulo 3 nos da que k fz k fz fk f ood ad 20 2ni Jc z 2 K 2 c2mi z2Zkt 2 Sk fz 5 Al ag 5 p Qni zZk1 k fZ item 2 be ae c2Qmi z2Z9ktt Sk fZ Dn f Ez Df a ultima igualdade também decorre do resultado no slide 46 do Cap 3 2 Mais a frente veremos algumas aplicacdes do ultimo teorema O exemplo a seguir apenas ilustra a derivacdo termo a termo em um caso particular Derivacao e integracao de séries de funcoes Exemplo Mais a frente veremos que é possivel escrever 1 2n 1 2n41 cosz On e senz n ipiZ zeC sendo a convergéncia uniforme em qualquer disco D0 Como fz one é analitica em D0 para todo n N segue do item 3 no teorema anterior que d d 1 2nt1 d 1 2n41 dz Sen2 ae ona Hl elOn il 120 1 on YR D on 1 Zz on Zz cosz Vz D0 Como r 0 é qualquer nds obtemos que senz cosz para todo z C De maneira andloga cosz senz para todo z C 7 Séries de poténcias Dentre as séries de funcdes possuem interesse especial as séries de poténcias Dado Z C uma série de poténcias em torno de Zz é uma série de funcdes da forma Co fz S az zo n0 onde a n No sao constantes complexas Veremos mais a frente que ha uma correspondéncia entre séries de poténcias e funcoes analiticas Exemplo 1 Conforme ja vimos wot t 1 vz D40 iM Zz Zz PY 4 e n0 Note que neste caso 7 0 e a 1 para todo n No Nés também temos que 1 1 CO CO ao z 1z Vz eD0 tee Toy 0 n0 n0 Neste caso z 0 e a 1 para todo n No 7 Séries de poténcias Exemplo 2 Utilizando o exemplo anterior podemos escrever fz 4 como uma série de poténcias em torno de qualquer ponto z C 0 De fato para zp 3 por exemplo nds temos 1 1 1 1 1 z3 G1 poapecg ap peg ONG ere 3 n0 n0 f expressdo valida para todo z C tal que 433 1 isto é para 3 7 todo z C tal que z 3 3 Agora para z 4 1 1 1 1 1oyzt47 Gl SO aa Fe mm 2 4 z 4z74 4 124 4 4 Do got 2 4 n0 n0 expressdo valida para todo z tal que 24 1 isto é para todo z tal que z 4 4 7 ns Raio e disco de convergéncia O Exemplo 2 nos mostra que uma mesma fundo pode ser escrita como série de poténcias em torno de mais de um ponto Além disso cada uma das séries dos dois exemplos converge em um disco aberto DZo e diverge em C DZ o termo geral da série nao tende a 0 nesse caso Essa situado é de cardter geral Teorema A cada série de poténcias em torno de zp estd associado um numero r 0 oo tal que a série converge absolutamente em DZo e uniformemente em DzZo para todo r 0r Ela diverge em C Dz O ntimero r no teorema acima é chamado raio de convergéncia da série e DZo o seu disco de convergéncia Dem Seja 79 anz zo uma série de poténcias Se ela a convergir apenas em z Zo nds temos r 0 0 resultado estas oe provado Caso contrario ela converge em um ponto z Z Seja 40 3 SAL ue r supz Z z Ce a série converge em z Raio e disco de convergéncia tome r oo no caso em que o conjunto da definido acima for ilimitado e fixe r 0r Pela definicdo de r existe z DZ tal que a série converge em z r z2Z r 6 Em particular anz1 Zo termo geral da série com z z tende a zero quando n 00 de modo que existe M 0 tal que anz1 Z0 M para todo n No Assim para todos n No ez DZ zZ r n lanZ Z0 2 2 u z1 20 Z1 2o Como por 6 S379 ot converge segue do Teste de Weierstrass que ro anZZo converge uniformemente em DZo Além disso como r 0 r foi arbitrario segue do Critério de Comparacao para séries de numeros reais que n0 nZ Zo converge absolutamente em DZp Por fim segue da definido de r que a série diverge em C Dz 7 oe Raio de convergéncia Note que o teorema anterior nado nos diz nada quando z zo r para0 r ov Neste caso a série pode convergir ou divergir O prdximo resultado é Util para determinar o raio de convergéncia de séries de poténcias Ele 6 uma consequéncia dos Testes da Razdo e da Raiz para séries de numeros reais Bie Sejam yr 4 anZ Zo uma série de poténcias e r o seu raio de convergéncia Entao rlimz0 24 quando esse limite existe ou é infinito N r 1 quando o limite no denominador existe ou é infinito aqui limps co V an convencionamos tomar r 0 ou r oo conforme o denominador desta expressdo seja infinito ou zero respectivamente Dem 1 Suponha inicialmente que limp0 Feed exista e seja ndonulo Entdo N liMpso0 2x também existe Seja n oe Raio de convergéncia 1 angiz 20 Anta L lim z a lim noo anz Zo noo ap Pelo Teste da Razdo para séries de niimeros reais a série 9 anZ Zo con vergira se L 1 e divergira se L 1 isto 6 ela wy an oy an convergird se z Z lim e divergird se z zo lim 7 no Ant1 noo An1 Além disso a série 7 9 anz Zo também divergird se ZZo limnsoo 2 pois se ela convergisse para al 2 n 1 e sow n gum z z nesta condicao pela demonstraao do teo zerrn4 24 e 0 rema anterior ela convergiria absolutamente para todo z com SS J Z Z z1 Z contradizendo 7 oe Raio de convergéncia Logo r limnpoo 2 no caso em que este limite existe e é ndonulo Se a a ws liMn 00 2 0 entéo L o e a série divergiraé para todo z Zp isto 6 também teremos r 0 Se limpsoo 2 oo entado L 0 e a série convergira para todo z C isto é também teremos r oo Isso conclui a prova de 1 2 A demonstracdo de 2 é andloga a de 1 apenas trocando o Teste da Razdo pelo Teste da Raiz a Em geral o raio de convergéncia de 9 anz Zo é 1 r er liMno0 an onde limno0 van denota o maior dentre os limites das subsequéncias de an podendo ser oo Aqui novamente estamos considerando r 0 ou r co conforme o denominador da expressao seja infinito ou zero respectivamente oe Raio de convergéncia i 1 ancij co 2 oo non Exemplo Determine os raios de convergéncia de o7 9 Sono Vnz Solucao No caso da primeira série a 4 e como an 4 n1 lim lim lim lim n1l0o0 NCO An1 noo iy noo n noo segue que o raio de convergéncia desta série r co No caso da segunda série an n como 1 1 1 0 4 SOT OF Oo n fiasco Vln fimy ace yn Maas Vn segue que 0 raio de convergéncia desta série é r 0 Z a nN Séries de poténcias e analiticidade Vamos agora estabelecer uma caracterizacao das fundes analiticas como sendo aquelas que podem ser escritas como séries de poténcias Inicialmente vejamos que séries de poténcias definem funcdes analiticas no seu disco de convergéncia Teorema Seja fz or anz 2 uma série de poténcias com raio de convergéncia r 0 Entdo f é analitica em Dz e suas derivadas podem ser obtidas por derivacao termo a termo na série Além disso as séries correspondentes as derivadas de f também tem DZ como o seu disco de convergéncia pets Dem Pelo teorema do slide 27 para cada 0 r r a série s KR Jf do enunciado converge uniformemente em Dzo Assim f 1 s pelo teorema do slide 19 f é analitica em Dz e suas mht a resi derivadas nesse disco podem ser obtidas por derivaao termo sos WANS i a termo na série Como isso vale para todo r 0r resta 4 A so SN 4 provar que os raios de convergéncia das séries que definem as Wee eene derivadas de f ndo podem ser maiores que r Suponha por SY mo oem NACo g absurdo que para alguma derivada de f a sua série correspondente possua raio de convergéncia s r Entdo novamente pelo teorema do slide 27 esta série convergiria uniformemente em DZo para todo 0 s 5 e poderia portanto ser integrada termo a termo Dai nds obteriamos que a série que define f conver ge em DZo absurdo pois seu raio de convergéncia é r 7 Vejamos agora que cada funcao analitica pode ser escrita localmente como uma série de poténcias Escreveremos f f Teorema Série de Taylor Sejam f uma funao analitica em uma regiao D z D er 0 tal que DZ0 C D Entao Co f zp fzS z 20 Vz Dr 20 n0 Série de Taylor A série no enunciado do teorema anterior é conhecida como série de Taylor de f em torno de zg E possivel mostrar que ela é a unica série de poténcias em torno des te ponto que representa f em DZo Quando zp 0 ela também é chamada de série de MacLaurin de f err T ts Dem Sejam z DZo r Z Z m tal quernf v e C 0 circulo de centro Zp e raio ry Pela Formula Integral de Cauchy 1 fw s f fz tf FO aw le 201 Gwz Usando o desenvolvimento de g rT em série de poténcias nds obtemos que para todo w Cj 1 1 1 1 1 s Z Z J wzZ WzzZz wz 24 wz WwZ o 0 0 174 0 0 SY mo oem NACo g pois z2 A 1 para todo w C Assim 1 fw wasza re ff L 22ay 2mIi Jo W Zo Ww Zo a 8 1 n aif LO 252 ay 21 G OW 20 W 20 Como f é continua em C pois é analitica em D e C é compacto existe M 0 tal que fw M para todo w G de modo que fw ZZ fw zz M n J 2 j Reel M LY wea wzZwZ w zo w Zo n SY mo oem NACo g Como r m segue do Teste de Weierstrass que a série no integrando do ultimo membro de 8 converge uniformemente em C podendo portanto ser integrada termo a termo teorema do slide 19 Logo CO 1 fw Z2 f Fw 22 Gy nad ami Jo W 2 W Zo CO 1 fw sf ctaawiea 4 2mi Se w zo CO ra Z L Pear n0 sendo a ultima igualdade decorrente da Férmula Integral de Cauchy e da expressdo para as derivadas de f decorrente dela 7 Série de Taylor Exemplo 1 Considere fz e Conforme ja vimos fz e7 para todo z C de modo que também temos fz e para todos n C Nez eC Assim f0 1 para todo n No ea série de MacLaurin de f é dada por SS 00 h Sz Zz 2 Note que quando z 1 nds obtemos e ro 4 2 Exemplo 2 Dado a C considere fz 1 2z cujo dominio é C quando a No C 1 quando a Z No ou igual ao dominio do ramo do logaritmo que a define quando a C Z Vamos considerar um ramo de f dado pela condicdo f0 1 Note que okay Fz a1z1 fzaa1lz Fe A SY mo oem NACo g e em geral fz aa1an11 z Vn Ne Vz D0 Assim n f 1an 0 oa I 99 rey n nl de modo que o S aa 1an1 n we 0 1 2 v E Vz Dy0 onde oom o n loW1 sen N n 1 sen0 Serie de Taylor A serie do Exemplo 2 e conhecida como serie binomial No caso em que α N0 ela e finita e termina com o termo zα pois para n α os seus coeficientes se anularao Neste caso a serie converge para todo z C No caso em que α CZ o ponto z D10 pode estar no corte do plano complexo deter minado pelo ramo do logaritmo que define a funcao No entanto sempre e possıvel alterar o ramo ainda mantendo a condicao f 0 1 de forma que z nao pertenca ao corte com res peito ao novo ramo Se g e um ramo qualquer da funcao 1 zα entao gz e2kπαif z onde f e um ramo como no Exemplo 2 e k Z caracteriza o ramo g veja a definicao de potˆencias complexas via logaritmo Assim a serie de MacLaurin de g pode ser obtida multiplicando cada termo da serie do Exemplo 2 por e2kπαi Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Series de Potˆencias Julho de 2021 40 65 Serie de Taylor O calculo das derivadas de uma funcao nem sempre e o modo mais pratico de ob ter sua serie de Taylor Um procedimento muito util consiste em manipular a fun cao ate obter outra cuja serie e conhecida conforme fizemos no caso das funcoes 1 1z ou 1 z veja slides 25 e 26 Outra opcao e obter a serie de Taylor da derivada ou da integral da funcao Neste caso a serie de Taylor da funcao original pode ser obtida por integracao ou derivacao termo a termo respectivamente Exemplo Obtenha a serie de MacLaurin de um ramo de f z arcsenz deter minado por f 0 0 Solucao Lembrando que f z 1 1z2 1 z2 1 2 para todo z D10 e usando a serie binomial nos obtemos que Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Series de Potˆencias Julho de 2021 41 65 SY mo oem NACo g x 114 2n1 1 7 1 3 2 2 z n1 oo 13 201 1 S 2 2 2 1 2 n1 33 25 1 S a 11 22 n1 CO 132n1 h 1 Vz D0 n1 Como 13 2n1 2n 2n 2n 2462n 29123n 27h SY mo oem NACo g 20 el sey segue que CO 2y3 2n 2n 1 z mnie 2 Vz D0 n0 Integrando a série termo a termo nds obtemos que Co 2n 2n41 arcsenz 2 Vz D0 20 Bae TRIP 0 n A seguir descrevemos um procedimento para obter a série de Taylor de uma fundo que é o produto de duas outras ambas analiticas Mais a frente faremos o mesmo para o quociente e a composicdo Produto de séries de poténcias Sejam f e g funcées analiticas em uma regido contendo Zz com séries de Taylor Co CO fz So anz Z e gz S bz Zo 9 n0 n0 ambas convergentes em um disco Dz r 0 Entado h f g também é analitica nessa regiao e podemos escrever CO hz Sez 20 Vz Dz 10 n0 Podemos determinar os coeficientes c em termos de a e b De fato como fF n Al ant pp 8 2 Cn n n n entao usando a Regra do Produto nds obtemos que Produto de séries de poténcias co hZ0 fz0gZ0 aobo c1 hz fz0g Zo FZ ge Zo a1bo aobi e em geral Cn Agbn aybp1 an1b1 anbo Vn EN Exemplo Considerando um ramo da raiz quadrada no qual V1 1 obtenha os quatro primeiros termos ndonulos da série de MacLaurin de Az e714 z Solucao Denote por a by Cy OS Coeficientes das séries de MacLaurin de fz e7 gz V14zeh respectivamente Conforme ja vimos CO Z z 1 2 1 3 e Dog tet 52 tezit vzeC Produto de séries de poténcias de modo que ap 1 a3 1 22 e a3 Como também ja vimos ViFz14z 2 aisgtz tei py Vz D0 a ee a me de modo que bp 1 by 5 bo e b3 Assim nds obtemos que 1 3 Co aonb 111 C1 aoby arby 15 4115 7 17 Co agby ay by agbo 3 Se a9 b3 ay bp aby a3bp 78 Logo e 1z14 324 72 B23 Vz Dy0 7 Quociente de series de potˆencias Para obter os coeficientes da serie de Taylor do quociente de duas funcoes analıticas em termos dos coeficientes de cada uma delas podemos seguir um procedimento analogo ao que fizemos no caso do produto utilizando agora a Regra do Quociente ou podemos utilizar as relacoes ja obtidas para o produto De fato sejam f e h funcoes analıticas em uma regiao contendo um ponto z0 com series de Taylor como em 9 e 10 respectivamente convergentes em Drz0 r 0 Supondo f z0 0 entao g h f e analıtica em uma vizinhanca deste ponto de modo que g tambem pode ser representada em uma serie de potˆencias como em 9 convergente em algum disco Dr z0 0 r r podemos ter r r porque f pode se anular em algum ponto de Drz0 Como h f g e a0 f z0 0 entao usando as relacoes obtidas no caso do produto nos temos que Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Series de Potˆencias Julho de 2021 47 65 Quociente de series de potˆencias c0 a0b0 b0 c0 a0 c1 a1b0 a0b1 b1 c1 a1b0 a0 e em geral cn a0bn anb0 bn cn a1bn1 an1b1 anb0 a0 n N Exemplo Obtenha os dois primeiros termos naonulos da serie de MacLaurin de gz z ez1 Solucao Como a funcao do numerador e polinomial ela tambem representa sua serie de MacLaurin que converge em C e tem portanto como trˆes primeiros coeficientes c0 0 c1 1 e c2 0 Ja no caso da funcao do denominador Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Series de Potˆencias Julho de 2021 48 65 Quociente de séries de poténcias XS sn 2 3 2 3 zVyoZ 22 z44 22 e a Sltzt Zt Et Se tla2tz4FGE wel de modo que os trés primeiros coeficientes da ultima série sdo ap 2 a3 le a 5 Assim os trés primeiros coeficientes da série de MacLaurin de g sao Ci 0 aa 110 1 b0 b 2 vo 1101 e ao 2 a0 2 2 by 2 arbi aaby 01550 1 2 a0 2 4 Logo 4 z4z para todo z D0 este 0 disco de convergéncia porque g nao esta definida em a 2kmi k Z Foi preciso obter trés coeficientes no exemplo acima porque o primeiro era nulo Composicao de séries de poténcias O seguinte resultado pode ser usado para obter os coeficientes da série de Taylor da composicao de duas funcdes Teorema Série dupla de Weierstrass Seja f So f uma série de fungées uniformemente convergente em um disco DZ Se cada f analitica nesse disco entdo oo oo k fn 20 Fz a Nc zk Vz D2 k0 n0 Dem Como f ro f com f analitica para todo n No a convergéncia é uniforme em DZo segue do teorema do slide 19 que f é analitica nesse disco com Fz9 5 fA 2 para todo k No Assim para concluir a demonstracdo basta notar que os coeficientes da série de Taylor de f em Zp sao dados por Fz 1S SS fr 20 a k n 0 a Re 2 aCUVK EN Composicao de séries de poténcias O teorema anterior nos diz que nas condides do seu enunciado o késimo coefici ente da série de Taylor de f é a soma dos késimos coeficientes das séries de Taylor de f n No A igualdade do enunciado pode ainda ser escrita como oo oo k oo CO k fn 20 fy 20 gr eal Le ea ve Dla n0 k0 k0 n0 Exemplo Determine os quatro primeiros termos ndonulos da série de MacLaurin de fz esr Solucao A série de MacLaurin da fundo exponencial nos dé que oS n oo n senz senz sen z e S S VzeEC 11 n0 n0 Como a funcao seno é continua para cada r 0 existe M 0 tal que senz M para todo z D0 Assim Composicao de séries de poténcias senz M a M Wee D0 n n e como do 5 ue converge aplique o Teste da Razdo por exemplo segue do Teste de Weierstrass que a série em 11 converge uniformemente em Dzo Como isso vale para todo r 0 segue do teorema anterior que para cada z C o késimo coeficiente da série de MacLaurin de f é a soma dos késimos coeficientes das séries de MacLaurin de sen né No Basta entdo determinar os coeficientes destas séries e Para n 0 nds temos a fundo constante 1 que j4 expressa a sua série de MacLaurin e Para n 1 nés temos a fungdo senz cuja série de MacLaurin é dada por 4k So oe para todo z C Composicao de series de potˆencias Usando agora que sennz senz senn1z para todo n 2 e o que vimos para o produto de series de potˆencias nos podemos obter os kesimos coeficientes das series de MacLaurin de sennz n N0 dados na tabela abaixo k0 k1 k2 k3 k4 1 1 0 0 0 0 senz 0 1 0 16 0 sen2z 0 0 1 0 13 sen3z 0 0 0 1 0 sen4z 0 0 0 0 1 sen5z 0 0 0 0 0 Para n 6 as cinco primeiras colunas da tabela acima tambem se anularao Os coeficientes das series de MacLaurin de senn z n n N0 sao entao dados por Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Series de Potˆencias Julho de 2021 53 65 Composicao de series de potˆencias k0 k1 k2 k3 k4 1 1 0 0 0 0 senz 0 1 0 16 0 sen2z2 0 0 12 0 16 sen3z3 0 0 0 16 0 sen4z4 0 0 0 0 124 sen5z5 0 0 0 0 0 Para n 6 as cinco primeiras colunas da tabela acima tambem se anularao Somando entao as cinco primeiras colunas dessa ultima tabela nos obtemos que esenz 1 z z2 2 1 8z4 z C Os coeficientes do exemplo anterior poderiam ser obtidos diretamente usando as kesimas derivadas de f no ponto 0 Note no entanto que quanto mais coeficientes forem necessarios obter mais trabalhoso sera determinar as derivadas de f Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Series de Potˆencias Julho de 2021 54 65 Série de Laurent Vimos que se uma funcao f é analitica em uma regiao contendo Zo entdo ela pode ser escrita como uma série de NR poténcias numa vizinhanca deste ponto Veremos agora fof sa ae Aa que admitindo poténcias com expoentes negativos pode or mos escrever f como série de poténcias mesmo que ela nado er seja analitica em Z Dados R r 0 vamos escrever ArrZo Z Cir z Z R Teorema Série de Laurent Seja f uma funcdo analitica em uma regido anular A pZo Entdo para todo z nesta regiao Co 1 fw fz anZ Zo onde a dw z of 0 Oni Je w 2 noo eC CArZ qualquer caminho fechado simples envolvendo Zo Série de Laurent A série do enunciado acima é conhecida como série de Laurent de f em torno de Zo e deve ser interpretada como Co Co n n y aZ2Z y aZ Zo n1 n0 Assim como no caso da série de Taylor a expansdo de f em série de poténcias em torno de z como no teorema anterior é Unica Se f é analitica em Drzo entdo a 0 para todo n Z No ea série de Laurent coincide com a série de Taylor de f em torno de Zp A ideia da demonstraao do ultimo teorema consiste em ra vs considerar para cada z A pZo 1 2 tais que if a rnzalnR q 4 Ls Denotando por C e C os circulos de centro zg e raios ry soe s o fo respectivamente orientados no sentido antihordrio ss Donne Série de Laurent nds consideramos ainda L um arco ligando Cz a Cy e que nao passa por z Entao C GULUGUL é um caminho fechado orientado positivamente que envolve z e tal que f é analitica na sua regiao interior A seguir nds mostramos que a férmula integral de Cauchy também é valida para C com respeito a f de modo que 1 fw 1 fw 1 fw fe LW wy LW ty LW ow 12 2nri JewZ 2ti Jo wz 2ri Jo wz uma vez que as integrais ao longo de L e L se cancelam Entdo nds repetimos o procedimento utilizado na demonstracdo do teorema da série de Taylor slide 34 A primeira das integrais no ultimo membro de 12 nos dard a soma com expoentes positivos na série de Laurent e a segunda integral nos dara a soma com expoentes negativos O ultimo passo é mostrar que essas integrais independem do caminho C nas condicdes do enunciado Série de Laurent A série de Laurent de uma funcao também pode ser obtida manipulando a sua expressao até obter outra fundo cuja série de Laurent ou de Taylor é conhecida Exemplo Obtenha a série de Laurent de fz AUP em torno de Z 0 para zeEC0z 1 Solugado Para cada z C 0 z 1 existe r 0 tal 4d que r z 1 e como f analitica em A10 o teorema anterior nos garante que f tem expansdo em série de Laurent 2 et 3 em torno de 0 no ponto z Como gz uz é analitica em es as D0 com série de MacLaurin sf le 1 CO 2 Toe 2 vz Ds0 nds obtemos que n0 fz 1 1 1 yn yy 1 4 yay z1z z Zz n0 n0 n1 1 co 1 52n41 5 01 zor VzEC0 z 1 n0 Zeros de funcoes analiticas Se p um polindmio complexo entdo zp C é dito ser uma raiz de multiplicidade m de p quando pz z2Zqz onde q é um polindmio com qzo 0 Vamos agora de certa forma estender essa noao para funées analiticas Seja f uma funao analitica em uma regido contendo Zp com série de Taylor Co S anz Zo emum disco Dzo n0 Se ap 0 entdo f se anula em Zp pois fz ap Neste caso nds dizemos que Z é um zero de f Se todos os demais coeficientes a se anulam entdo f 0 em Dz Caso contrario existe m N tal que ap am1 0 am O Neste caso dizemos que Zp 6 um zero de ordem m de f Zeros de funcoes analıticas Exemplo 1 O polinˆomio p1z z3 tem um zero de ordem 3 em z0 0 pois sua serie de MacLaurin e exatamente z3 de modo que neste caso a0 a1 a2 0 e a3 1 0 Ja o polinˆomio p2z z3 1 tem um zero de ordem 1 em z0 1 pois sua serie de Taylor em torno deste ponto e dada por 3z 1 3z 12 z 13 de modo que neste caso a0 0 e a1 3 Segue das definicoes acima e ficara mais claro no enunciado do proximo teorema que z0 e uma raiz de multiplicidade m de um polinˆomio se e somente se ele e um zero de ordem m desse polinˆomio Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Series de Potˆencias Julho de 2021 60 65 Zeros de funcoes analiticas Exemplo 2 Usando a definicdo dos coeficientes da série de Taylor nds podemos mostrar que na série de MacLaurin de fz cosz 1 senz 1 a9 a a 0 e a Assim 0 6 um zero de ordem 7 de f 7 Explicitando os primeiros termos da série da funao do Exemplo 2 nds temos 1 5 19 fz z z z 4 vzeEC 2 32 967 Ton to O que nos sugere poder reescrevéla como 1 5 19 f 25 z 74 Vz EC 22 967 i020 Z 1 5 19 Note que 3t 967 79007 no se anula em z 0 Zeros de funcoes analiticas Esse calculo pode ser formalizado e generalizado como mostra o préximo resultado aie Seja f uma fungao analitica em uma regiao contendo Zz Entdo as seguintes afirmagées sao equivalentes Zz éum zero de ordem m de f fz z2Zgz em uma vizinhanga de zp com g analitica e gzo 0 limzzZ 2 fz existe e é diferente de 0 Dem Seja DZ 0 disco de convergéncia da série de Taylor de f em torno de Zo 1 2 Supondo zp um zero de ordem m de f podemos escrever CO Co CO fz S anZZo zZo S anzZo zZ S amenZ20 nm nm n0 para todo z Dz9 Definindo Zeros de funcoes analiticas CO z 0 amnz 20 n0 entdo fz z zgz com g analitica em Dz0 e gZo am 4 0 2 3 Como g é analitica em zp em particular continua neste ponto m i m m lj fim 2 20 Fz Jim z 20 z 20ez Jim ez Bzo 0 3 1 Denote por fz 3779 anz 20 a série de Taylor de f em torno de Zp Como CO Jim z z fz Jim z Zo az Zo a a j 5 emt pa emZ 2 Za Fyn ant 2 0 Zeros de funcoes analıticas existe e e diferente de 0 pela hipotese entao a0 am1 0 e am 0 isto e z0 e um zero de ordem m de f O ultimo teorema tambem e uma ferramenta util para determinar a ordem do zero de uma funcao analıtica Exemplo Determine a ordem de z 0 como zero de f z 1 cosz sen2z Solucao Como sen0 0 1 cos0 e na expressao de f apareceu o termo sen2z nosso candidato inicial a ordem de 0 como zero de f seria m 3 Porem lim z0 1 cosz sen2z z3 lim z0 1 cosz z sen2z z2 13 e como pela Regra de LHospital a qual segue valida aqui lim z0 senz z lim z0 cosz 1 1 e lim z0 1 cosz z lim z0 senz 1 0 Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Series de Potˆencias Julho de 2021 64 65 Zeros de funcoes analıticas entao o limite em 13 existe mas e zero Considerando agora m 4 entao lim z0 1 cosz sen2z z4 lim z0 1 cosz z2 sen2z z2 14 e como novamente pela Regra de LHospital lim z0 1 cosz z2 lim z0 senz 2z lim z0 cosz 2 1 2 0 segue que o limite em 14 tambem e naonulo Pelo ultimo teorema z 0 e zero de ordem 4 de f Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Series de Potˆencias Julho de 2021 65 65