Trabalho Variaveis Complexas

Primeira atividade de Variáveis Complexas Vimos em sala de aula que para uma função de uma variável complexa a valores complexos f u iv A C C ser diferenciável num ponto z0 A onde A é um aberto é necessário que as funções parte real e parte imaginária u v A C R da função f satisfaçam as Equações de CauchyRiemann no ponto z0 u xz0 v y z0 u y z0 v xz0 que por sua vez são consequências de f z0 f xz0 if y z0 Além de termos visto que essa condição é necessária vimos também que a mesma não é suficiente O objetivo desta atividade é apresentar uma condição suficiente para que uma função de uma variável complexa a valores complexos seja diferenciável num ponto Para demonstrar o teorema que nos dá a tal condição suficiente de diferenciabilidade primeiro precisaremos relembrar um importante resultado que versa sobre funções reais deriváveis definidas num intervalo O resultado que precisaremos relembrar é o seguinte Teorema do Valor Médio de Lagrange Seja f a b R R uma função real definida num intervalo a b Se f é contínua em a b e derivável em a b então existe c a b tal que fb fa f cb a Leia com atenção o seguinte teorema e em seguida faça os exercícios Teorema Condição suficiente para diferenciabilidade Seja f u iv A C C uma função de uma variável complexa a valores complexos e z0 A onde A é um aberto Se as derivadas parciais u x u y v x e v y existem em todos os pontos de uma vizinhança do ponto z0 e se além disso são contínuas em z0 e satisfazem as Equações de CauchyRiemann no ponto z0 então f é diferenciável em z0 Demonstração Como u e v satisfazem as Equações de CauchyRiemann no ponto z0 temos que u xz0 v y z0 a R e v xz0 u y z0 b R Chamando w0 a bi vamos mostrar que lim zz0 fz fz0 z z0 w0 o que nos dará que f é diferenciável em z0 Seja r 0 tal que Bz0 r A e que além disso as derivadas parciais u x u y v x e v y existem em todos os pontos de Bz0 r Escrevemos z0 x0 iy0 e tomemos z x iy Bz0 r Verifique que a restrição da função u ao segmento horizontal x0 x y Bz0 r se reduz a uma função de uma variável real x satisafazendo as hipótese do Teorema do Valor Médio de Lagrange e portanto existe ζz x0 x y tal que ux y ux0 y u xζzx x0 Verifique também que a restrição da função u ao segmento vertical x0 y0 y Bz0 r se reduz a uma função de uma variável real y satisafazendo as hipótese do Teorema do Valor Médio de Lagrange e portanto existe ηz x0 y0 y tal que ux0 y ux0 y0 u y ηzy y0 Figura 1 Bz0r Repetindo os mesmos argumentos acima para a função v concluímos que existem αz x0x y e βz x0 y0y tais que vxyvx0y vx αzxx0 e vx0yvx0y0 vy βzyy0 Observem que ζzz0 zz0 ηzz0 zz0 αzz0 zz0 e βzz0 zz0 o que nos dá que ζz ηz αz e βz tendem a z0 quando z tende a z0 Neste caso como as derivadas parciais ux uy vx e vy são contínuas em z0 podemos afirmar que limzz0 ux ζz ux z0 limzz0 ux ζz ux z0 0 limzz0 uy ηz uy z0 limzz0 uy ηz uy z0 0 limzz0 vx αz vx z0 limzz0 vx αz vx z0 0 limzz0 vy βz vy z0 limzz0 vy βz vy z0 0 Observe também que uz uz0 uxy ux0y0 uxy ux0y ux0y ux0y0 ux ζzxx0 uy ηzyy0 e vz vz0 vxy vx0y0 vxy vx0y vx0y vx0y0 vx αzxx0 vy βzyy0 Sendo assim fz fz0 w0z z0 uz ivz uz0 ivz0 a ibx iy x0 iy0 uz uz0 ivz vz0 a ibx x0 iy y0 uz uz0 ivz vz0 a ibx x0 ai by y0 ux ζzxx0 uy ηzyy0 ivx αzxx0 vy βzyy0 a ibxx0 ai byy0 ux ζz ivx αz a ib xx0 uy ηz ivy βz ai b yy0 ux ζz ivx αz ux z0 ivx z0 xx0 uy ηz ivy βz vy z0i uy z0 yy0 ux ζz ux z0 ivx αz vx z0 xx0 uy ηz uy z0 ivy βz vy z0 yy0 Portanto fz fz0z z0 w0 fz fz0 w0zz0zz0 fz fz0 w0zz0zz0 ux ζz ux z0 ivx αz vx z0 xx0 uy ηz uy z0 ivy βz vy z0 yy0 zz0 ux ζz ux z0 vx αz vx z0xx0zz0 uy ηz uy z0 vy βz vy z0yy0zz0 ux ζz ux z0 vx αz vx z0xx0zz0 uy ηz uy z0 vy βz vy z0yy0zz0 ux ζz ux z0 vx αz vx z0 uy ηz uy z0 vy βz vy z0 pois xx0zz0 1 e yy0zz0 1 Daí 0 fz fz0zz0 w0 ux ζz ux z0 vx αz vx z0 uy ηz uy z0 vy βz vy z0 Logo 0 limzz0 fz fz0z z0 w0 limzz0 ux ζz ux z0 vx αz vx z0 uy ηz uy z0 vy βz vy z0 limzz0 ux ζz ux z0 limzz0 vx αz vx z0 limzz0 uy ηz uy z0 limzz0 vy βz vy z0 0 0 0 0 0 Conclusão limzz0 fz fz0z z0 w0 0 o que equivale a limzz0 fz fz0z z0 w0 o que nos dá que f é diferenciável em z0 e que fz0 w0 Exercício 1 Usando o teorema acima mostre que a função exponencial f ℂ ℂ dada por fz ez é diferenciável em todos os pontos de ℂ Usando o último teorema dado em sala de aula teorema novamente enunciado no início desta atividade mostre que fz ez para todo z ℂ Exercício 2 Funções Complexas Trigonométricas Vamos primeiramente definir as funções complexas cosseno e seno cos z eiz eiz2 e sen z eiz eiz2i z ℂ As funções complexas tangente secante cossecante e cotangente são definidas por tg z sen zcos z e sec z 1cos z z ℂ cosz 0 cotg z cos zsen z e csc z 1sen z z ℂ senz 0 Mostre que as funções complexas cosseno e seno extendem suas respectivas versões reais e que o Teorema Fundamental da Trigonometria continua valendo em ℂ isto é sen² z cos² z 1 z ℂ Além do mais usando o resultado do exercício 1 e os resultados mostrados em sala de aula deduza que as funções complexas trigonométricas definidas acima são diferenciáveis em todos os pontos dos seus respectivos domínios e que além disso valem as seguintes fórmulas cos z sen z sec z sec z tg z sen z cos z csc z csc z cotg z tg z sec² z cotg z csc² z Exercício 3 Funções Hiperbólicas O cosseno hiperbólico o seno hiperbólico e a tangente hiperbólica são definidas por cosh z ez ez2 e senh z ez ez2 z ℂ tgh z senh zcosh z z ℂ coshz 0 Usando o resultado do exercício 1 e os resultados mostrados em sala de aula deduza que as funções hiperbólicas definidas acima são diferenciáveis em todos os pontos dos seus respectivos domínios e que além disso valem as seguintes fórmulas cosh z senh z senh z cosh z tgh z 1cosh² z QUESTÃO 1 Segue a aplicação direta do teorema de criseção suficiente para diferenciabilidade seguida do cálculo de fz Primeiro escreva z x iy Então fz ez exiy ex eiy ex cos y i sin y Logo as partes real e imaginária são uxy ex cos y vxy ex sin y As derivadas parciais existem em todo R2 e são contínuas ux ex cos y uy ex sin y vx ex sin y vy ex cos y Verificamse as equações de CauchyRiemann ux vy e uy vx Pelo teorema citado f é diferenciável em todo ponto z C Para a derivada complexa usase a consequência do mesmo teorema fz fx z ux z i vx z Substituindo as parciais calculadas fz ex cos y i ex sin y ex cos y i sin y exiy ez Portanto f é diferenciável em todos os pontos de C e vale fz ez para todo z C QUESTÃO 2 cos z eiz eiz2 sin z eiz eiz2i z C Para z x R essas expressões coincidem com as funções reais usuais devido a eix cos x i sin x portanto são extensões naturais para C Agora verificase o Teorema Fundamental da Trigonometria no plano complexo Calculase sin2 z eiz eiz2i2 eiz eiz2i2 eiz 2 eiz4 eiz 2 eiz4 cos2 z eiz eiz22 eiz eiz42 eiz 2 eiz4 Somando sin2 z cos2 z eiz 2 eiz4 eiz 2 eiz4 44 1 Concluise que sin2 z cos2 z 1 z C Usando ez diferenciável em C e que soma produto por constantes composição e quociente onde o denominador não zera preservam diferenciabilidade concluise que cos z eiz eiz2 e sin z eiz eiz2i não são diferenciáveis em C já tan z sin zcos z sec z 1cos z csc z 1sin z e cot z cos zsin z não diferenciáveis em seus domínios naturais cos z 0 ou sin z 0 As derivadas seguem Derivadas de cos z e sin z a partir das definições exponenciais cos z eiz eiz2 i eiz i eiz2 eiz eiz2i sin z sin z eiz eiz2i i eiz i eiz2i eiz eiz2 cos z Derivada de tan z sin zcos z pelo quociente tan z sin z cos z sin z cos zcos z2 cos z cos z sin z sin zcos z2 cos2 z sin2 zcos2 z sec2 z Derivada de sec z 1cos z sec z cos z1 cos z2 cos z 1cos2 z sin z sin zcos2 z sec z tan z Derivada de csc z 1sin z csc z sin z1 sin z2 sin z 1sin2 z cos z csc z cot z Derivada de cot z cos zsin z pelo quociente cot z cos z sin z cos z sin zsin z2 sin z sin z cos z cos zsin z2 sin2 z cos2 zsin2 z csc2 z Portanto em seus respectivos domínios cos z sin z sin z cos z tan z sec2 z sec z sec z tan z csc z csc z cot z cot z csc2 z QUESTÃO 3 Pelas definições cosh z ez ez2 sinh z ez ez2 tanh z sinh z cosh z e usando que ez é diferenciável em C e que soma produtos por constantes composições e quocientes preservam diferenciabilidade quando o denominador não é nulo concluise que cosh z e sinh z são diferenciáveis em todo z C e que tanh z é diferenciável nos pontos em que cosh z 0 Derivadas a partir das expressões exponenciais Observase que pelo exercício 1 e pela regra da cadeia eaz aeaz para todo a C Então cosh z ez ez2 12 ez ez sinh z sinh z ez ez2 12 ez ez cosh z Para tanh z sinh zcosh z em cosh z 0 aplicase a regra do quociente tanh z sinh z cosh z sinh z cosh zcosh z2 cosh z cosh z sinh z sinh zcosh z2 cosh2 z sinh2 zcosh2 z Pelas definições cosh z ez ez2 sinh z ez ez2 temse cosh2 z ez ez 2 2 e2z 2 e2z 4 sinh2 z ez ez 2 2 e2z 2 e2z 4 Logo cosh2 z sinh2 z e2z 2 e2z 4 e2z 2 e2z 4 44 1 Usase a identidade hiperbólica cosh2 z sinh2 z 1 obtida diretamente das definições exponenciais para escrever tanh z 1 cosh2 z Assim em seus respectivos domínios cosh z sinh z sinh z cosh z tanh z 1 cosh2 z