Slide - Funções de Variável Complexa - Integrais 2021 1

Funcoes de Variavel Complexa Integrais Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Junho de 2021 Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Integrais Junho de 2021 1 57 Arcos Neste capıtulo vamos introduzir a nocao de integral de uma funcao complexa ao longo de um caminho Ela sera uma extensao da integral de uma funcao real ao longo de um intervalo Isso permitira utilizar a integral de funcoes complexas para calcular certas integrais de funcoes reais cujos metodos conhecidos do calculo nao se aplicam ou sao inviaveis Inicialmente vamos apresentar alguns preliminares No final do Capıtulo 1 nos definimos um arco ou arco contınuo no plano complexo como sendo um conjunto C C da forma C zt xt iyt a t b onde x y a b R sao funcoes contınuas neste caso nos dizemos tambem que z e uma funcao contınua A funcao z e chamada de parametrizacao do arco Grosso modo quando t varia de a ate b zt passa por todos os pontos de C de za ponto inicial ate zb ponto final Por isso nos dizemos que a parametrizacao z fornece tambem uma orientacao do arco Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Integrais Junho de 2021 2 57 Arcos Dado um arco C parametrizado por zt a t b a funcao z1t zt b t a tambem tem como imagem o conjunto C Porem com esta nova parametrizacao a orientacao de C passa a ser a contraria a fixada inicialmente A notacao C designara o arco com esta nova orientacao Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Integrais Junho de 2021 3 57 Curva de Jordan Quando a parametrizacao z de C e injetiva nos dizemos que C e um arco simples ou arco de Jordan Grosso modo isso significa que ao percorrer C passamos por cada ponto apenas uma vez Quando z nao e injetiva um ponto de C que e da forma zt1 zt2 com t1 t2 e dito um ponto multiplo de C Uma curva fechada e um arco para o qual za zb Uma curva de Jordan e uma curva fechada tq zab e injetiva Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Integrais Junho de 2021 4 57 Curva de Jordan Exemplos Fixados w0 w1 C o segmento de reta parametrizado por zt tw1 1 tw0 0 t 1 e um arco simples que liga w0 a w1 O cırculo Srz0 parametrizado por zt z0 reit 0 t 2π e uma curva de Jordan Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Integrais Junho de 2021 5 57 Curva de Jordan Teorema Teorema da curva de Jordan Uma curva de Jordan C divide o plano complexo em duas regioes conexas sendo C a fronteira de ambas Uma dessas regioes e limitada enquanto a outra nao A regiao conexa limitada determinada por C no teorema acima e chamada de regiao interior a C note que interior aqui nao tem o mesmo significado que intC definido no Capıtulo 1 Ja a regiao ilimitada e chamada de regiao exte rior a C Elas tambem podem ser caracterizadas atraves da nocao de conexidade simples Uma regiao D do plano com plexo e dita ser simplesmente conexa quando ela e conexa e quando qualquer curva de Jordan em D contem somente pon tos de D na sua regiao interior A regiao interior a C no Te orema da curva de Jordan e simplesmente conexa enquanto a regiao exterior a C nao Apesar de possuir um enunciado intuitivo a demonstracao desse teorema nao e simples e foge dos objetivos deste curso Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Integrais Junho de 2021 6 57 Arco regular e caminho Um arco parametrizado por zt xt iyt a t b e dito ser um arco regular quando zt xtiy t existe e contınua e nao se anula em a b Um caminho ou contorno e um arco formado por um numero finito de arcos regulares de modo que o ponto final de cada um deles do primeiro ao penultimo coincide com o ponto inicial do seguinte Mais precisamente um caminho e um arco C com representacao parametrica dada por uma funcao zt a t b tal que z e seccionalmente contınua em a b e naonula em todos os pontos onde ela existe isto e existem intervalos aj bj j 1 n tais que a1 a bj aj1 para todo j 1 n 1 e bn b zajbj existe e contınua e naonula za j limta j zt e zb j limtb j zt existem para todo j 1 n Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Integrais Junho de 2021 7 57 Integral de F ab C Visando definir a integral de uma funcao complexa ao longo de um caminho defi niremos inicialmente a integral de uma funao que tem como dominio um intervalo e C como contradominio Sejam F a b C uma fungado continua U ReF e V ImF A integral de F em a b é definida como b b b Ftdt Utdt i Vtdt Exemplo Se F 07 C é dada por Ft cost isent entado Ut cost e Vt sent de modo que Ftdt costdt i sentdt 0 0 0 sent i cost senz sen0 icosz cos0 2i 7 Integral de F ab C Dadas F G a b C funcdes continuas e c C valem as propriedades abaixo b b Re Ftdt ReFt de a a b b im Ftat imFtdt a a b b oF tae Ftdt a a b b b Ft 6ae Feat Gtat a a a b b Final F t dt a a Integral de F ab C Dem Os itens 1 e 2 seguem direto da definido dada para a integral e os itens 3 e 4 seguem desta mesma definicdo e da linearidade da integral de funcdes reais Para ver o que o item 5 é verdadeiro note que ele é imediato quando fP Ftdt 0 Caso contrdrio podemos escrever b Ftdt re comr0 a e como re r nds obtemos que b a pb 5 Ftdt r e7 ire em Ftdt eFtdt 1 a a a sendo a ultima igualdade decorrente do item 3 Em particular a ultima integral em 1 é um ndémero real de modo que Integral de F ab C b bo b eo Ftdt Re eFtdt ReeFtdt 2 a a a sendo a ultima igualdade decorrente do item 1 Juntando 1 e 2 nds obtemos b b b Ftdt ReeFtdt JRee Ft dt 3 a a a sendo a ultima desigualdade um resultado vdlido para fundes reais Como ReeFt Je Ft e Ft FeI a desigualdade em 3 nos da que b b Ftdt Ft dt a a a Integral de caminho Considere agora f D C C C uma funao continua e C C D um caminho parametrizado por zta t b com z é continua em a b A integral de f ao longo de C é definida por b fzdz fzt ztdt 4 Cc a Cc 7 f C za Zz Foz a b Integral de caminho Exemplo Se fz z i e C é 0 caminho parametrizado por 1 zttit1 O0t1 iC entdo 2ibNe 12i fzt tit1i1t e zth1i de modo que 1 1 fzdz fztztdt 1 ft1sdt c 0 0 1 1 1 2itdt i f 2ede i 2 i 0 0 0 7 Integral de caminho Note que escrevendo f u iv zt xt iyt e lembrando da notaao ux y ux iy e vx y vx iy nds obtemos que Fzt zt uxt yt ivx4 v4 4 vt 8 de modo que a integral no segundo membro de 4 pode sempre ser escrita como b ues ivenat a onde U e V sao funcoes reais dadas por Ut uxt ytxt vxt ytyt e Vt uxt vtyt vxt vtxt Integral de caminho A definicao dada para a integral de uma funcao complexa ao longo de um caminho poderia ser estendida ao caso em que z é seccionalmente continua em a b Neste caso b fzt ztdt a deve ser interpretada como a soma das integrais de fzt zt ao longo dos intervalos a bj onde z é continua A integral acima independe da parametrizacao do caminho desde que esta nao inverta a sua orientacao e possua derivada seccionalmente continua De fato sejam z ab Cez a 8 C parametrizagdes de C com derivada seccionalmente continua e que dado a C a mesma orientacdo e considere t a 6 a b definida pela igualdade z7 zt7 Entdo Integral de caminho B r fzi7 z 7dt fztr zo trdr 8 f Flee 2 ar nb ttrSdttrdt7 fzt ztdt t tr Zz C zb a b zt za 7 Zot a T B Propriedades da integral Se um caminho C é subdividido em dois caminhos Cy e Co nds escreveremos C CyUC Dados um caminho C parametrizado OG por zt at b f e g fungdes complexas continuas em C ec C valem as seguintes propriedades G a eflede e fzdz Cc c Qe e flzde ff ezde Cc Cc c fzdz fzdz 8 I zdz zdz a ea Se C GUG entao fzdz flzde fzdz Cc a GQ Propriedades da integral b 8 Fz Fz dz onde Fz dz fzt zt dt Cc Cc c a Se fz M para todo z C entdo Fz ML onde L é0 c comprimento do caminho dado por L fP zt dt Dem Os itens 1 2 e 5 seguem dos seus correspondentes para integrais de fundes de um intervalo em C O item 6 segue do 5 e o 4 segue da definicdo e das propriedades da integral de fundes reais Para ver que o item 3 é valido lembre que se zt a t b 6 uma parametrizacdo de C entdo ztzt bta é uma parametrizacdo de C Assim nds obtemos que Propriedades da integral Fzdz J Fzt 2tdt C b Fzt 2t1dt stdsdt fzs zsds b F2s 2sds fzdz Cc a Propriedades da integral Note que o item 4 poderia ser escrito como fzdz fzdz f fzdz QUG a G pode ser generalizado para uma unido C Cy UG UUCG n 1 Além disso decorre desse item que a integral ao longo de um caminho fechado é invariante por translacdes de pardmetro isto é ela independe de onde comecamos a percorrélo De fato se z Z sdo dois pontos em um tal caminho C é 0 arco que liga Z até Z e Cy 0 arco que liga Zz a Zz entdo Gq 22 fzdz fzdz fzdz a QUG Cc QUG G CGQGUG Teorema de Cauchy Até o momento temos apenas a definido como forma de calcular a integral de uma funcao complexa ao longo de um caminho A partir de agora estudaremos algumas ferramentas que nos permitem calcular integrais de maneira mais direta Ha duas orientacdes possiveis para um caminho fechado C no plano complexo Sem entrar em rigor tedrico vamos convencionar que a ori entacdo positiva é a dada por uma parametrizado zt at b na qual a regido interior ao caminho fica 4 esquerda quando zt percorre C com t variando de a até b A integral de uma funcdo complexa orientac3o continua f ao longo de um tal caminho orientado positivamente é em positiva geral denotada por fzdz Nods usaremos 0 termo caminho fechado simples para se referir a um caminho que também é uma curva de Jordan e sempre que escrevermos que uma funcao f é analitica estard implicito que f é uma funao complexa Teorema de Cauchy Teorema Cauchy Seja f uma funao analitica em uma regiao simples poor t tans mente conexa D Entdo Dd ss C4 i fzdz 0 S Cc See para todo caminho fechado simples C Cc D Exemplo Como fz e7 tsenz é analitica em C segue do Teorema de Cauchy que eZ tsenz dz 0 c para todo caminho fechado simples C no plano complexo Teorema de Cauchy Como consequéncia temos o seguinte resultado Coroldrio Independéncia do Caminho eer Sejam f uma funcao analitica em uma regiao simples i D a mente conexa D e z1Z D Entao f cf zdz inde i 2 i pende do caminho simples C Cc D ligando z a zo Sse ee Exemplo Seja C o caminho simples da figura Como fz Zi éanalitica em C entado Je idz z iaz Cc Q i C I onde C o é segmento de reta ligando a 1 27 Como esta 2 bet 55 segunda integral vale veja slide 13 segue que Je idzi a Teorema de Cauchy A condicao f analitica é essencial nos dois resultados vis i tos De fato como exercicio calcule a integral de fz Z Gq ao longo de Cj arco circular parametrizado por T zte Ot 5 1 a e de Co segmento de reta que liga 1 até o qual pode ser parametrizado por i zt1tlti1tti O0t1 C A primeira das integrais tera como resultado 4 enquanto a segunda terd como resultado Considerando C Cy U 1 Cy nds teremos fzdz 0 Teorema de Cauchy O Teorema de Cauchy e o seu coroldrio sdo na verdade equivalentes C Teo Coro Suponha o teorema valido e sejam G1 G Cc D caminhos simples ligando z a zo Entdo 22 z GUG éum caminho fechado simples contido em C D de modo que fzdz0 flzde fzdz 0 GUQ Gq Q Flzde fzdz 0 a GQ fzdz fzdz a C Teorema de Cauchy G CCuUC Coro Teo Suponha o coroldrio valido e aU seja C C D um caminho fechado simples Fi 2 21 xando z1Z C sejam C a parte de C que liga Z1 a Z e Co a parte de C que liga z a Zz ambas com a mesma orientado de C Entao C Ci e C ligam z a Z de modo que fzdz fzdz fzdz fzdz Q Q a G Flzde fzdz 0 Q GQ fzdz 0 CGyUCy fzdz 0 c Teorema de Green Para provar o Teorema de Cauchy usaremos o Teorema de Green Teorema Green Sejam D C R uma regido simplesmente conexa e PQ D R funcées com derivadas parciais de primeira ordem continuas Entao para qualquer caminho fechado simples C C D vale que OQ 7 dxdy p Pdx Qady II Ox Oy C onde R é a regiao interior a C vo on No lado esquerdo da igualdade do enunciado acima Cry temos uma integral dupla Ja a integral do lado direito SS a é definida como a b fi Pact Qdy POH v ACO Oa a Demonstracao do Teorema de Cauchy onde zt xt yt a t b e uma parametrizacao de C que a torna ori entada positivamente Apesar do Teorema de Green ser frequentemente enunciado como acima para funcoes definidas em subconjuntos de R2 ele pode ser adaptado para funcoes definidas em subconjuntos de C Dem do Teorema de Cauchy Escreva f u iv Vamos provar o Teorema de Cauchy assumindo que as derivadas parciais de u e v sao contınuas em D Mais a frente veremos que isso sempre ocorre quando f e analıtica em D Sejam C um caminho fechado simples contido em D parametrizado por zt xt iyt a t b e R a regiao interior a C Entao Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Integrais Junho de 2021 28 57 Demonstracao do Teorema de Cauchy b Fzdz Fzt 2tdt Cc a b 5 f ulxey0 auto yt ED a 6 f udxvdy i udy vdx c Cc Ov Ou Ou Ov Teo j dxdy eo Green IE Bx jody i ff 5 ay Ixdy Como f é analitica em D as equacdes de CauchyRiemann sAo ali satisfeitas isto é em D gu oe e ce oe Logo as duas integrais do ultimo membro da sequéncia de igualdades acima sao iguais a 0 de modo que fzdz 0 a Teorema de Cauchy Obs O Teorema de Cauchy também pode ser provado sem utilizar a hipdtese que u e v possuem derivadas parciais continuas em D Essa prova é devida ao matematico francés Edouard Goursat e por isso o Teorema de Cauchy é muitas vezes referido como Teorema de CauchyGoursat Pelo Corolario da Independéncia do Caminho se f é analitica em uma regido simplesmente conexa D e wes D o Z1Z2 D entao Ie fzdz independe do caminho sim fk ples C C D que liga z a Z Sendo assim usaremos oo Z Zz o a notado Jn fzdz para descrever a integral de f ao to longo de qualquer um desses caminhos aaa mages Sejam D c C uma regido e f D C uma fundo Néds dizemos que uma fundo complexa F é uma primitiva ou antiderivada de f em D quando F f em D Por exemplo se D C ne Nec C é uma constante entao e Fz aa c éuma primitiva de fz z Fz e c éuma primitiva de fz e O prdximo resultado nos da a forma geral das primitivas de uma funao analitica Ele é andlogo a uma das partes do Teorema Fundamental do Calculo TFC Teorema TFC Parte 1 Seja f uma funcao analitica em uma regido simplesmente conexa D Entdo qual quer primitiva de f em D é da forma Zz Fz fwdw c Zo onde z é um ponto qualquer de D e c C é uma constante arbitrdria aga eo he Dem Vejamos incialmente que F como no enunciado é o primitiva de f Para tal fixe z D e considere Az 4 0 we z tal que z Az D Entao zAz Z Fz Az Fz Fwdw Fwdw c Zo 20 zAz fwdw Como jee ldw Az exercicio nds obtemos que Fz Az Fz 1 o7t4 fz i 4o4 fz fwdw 1d Az 2 Az wdw Az J 1 zAz a fo Fle dw maa sendo que na ultima igualdade nds usamos 0 fato de fz ser uma constante dado que z estd fixado Dado 0 como f é em particular continua em z existe d 0 tal que w z 6 implica fw fz Assim se Az 4 integrando ao longo do segmento de reta z z Az nds obtemos que Fz h Fz 1 f a fz fw fzd ee ag Cro rte 1 zAz fw f d aaq ile Flea zAz sa d iq i A iAz Az e meee Como 0 foi arbitrario segue que Fz h Fz 1 f alin 2 0 isto é Fz fz Como z D também foi arbitrdrio segue que F é uma pri mitiva de f em D Resta mostrar que toda primitiva de f é da forma do enunciado Para isso suponha que G é uma primitiva qualquer de f em D Entdo d 2 dG d f 2 24 f fz fz 0 ge 62 Alwjaw 22 rwyaw rz Fle Segue do Exercicio 10 da Lista 2 que existe uma constante c tal que Gz fwdwc ie Gz fwdw c Zo 20 maa O corolario abaixo é o andlogo da outra parte do TFC Coroldrio TFC Parte 2 Se f é funao analitica em uma regido simplesmente conexa D C C D é caminho simples e F é uma primitiva de f em D entado fzdz Fz Fz Cc onde z Z sao os pontos inicial e final do caminho respectivamente ne Dem Pela forma geral das primitivas de f nds obtemos que 1 25 Z2 Z1 Z2 Fz Fz fwdwc fwdw c fwdw 20 20 21 fwdw gy c aga Exemplo 1 A funcdo fz z é analitica em C e tem como uma de suas age n1 primitivas Fz 4 Assim dados z1Z C a integral de f ao longo de qualquer caminho simples C que liga z até z é dada por n1 n1 Zz Zz zdz 4 1 Cc n1 n1 Exemplo 2 Fixado z C a funcdo fz 7 é analftica em C zo Além disso qualquer ramo de Fz logz zo é uma primitiva de f na regido onde ele 6 analitico Assim fixando um tal ramo e 2122 em uma regido simplesmente conexa que nao contenha o ponto Zp e na qual o ramo fixado seja analitico a integral de f ao longo de qualquer caminho simples C que liga z até Z contido nesta regido é dada por ee D 1 ve 22 dz logzo zp logz z Coed yet Hele 20 lowas 20 LSS Ve mE sendo a diferenca no lado direito da ultima igualdade calculada com respeito ao ramo de F fixado Exemplo 3 Calcule logzdz onde C é 0 caminho da figura ao lado e log 0 ramo principal do logaritmo Solucao O ramo considerado para o logaritmo é analitico em ihc Cxiy C y0ex 0 de modo que existe uma regido simplesmente conexa que contém C onde log é analitica Além disso Fz zlogz z é uma primitiva de log nesta regido i Assim logzdz Fi Fi ilogi i log c Ti TI ilog log 2 ilog1 log1 37 2 2i 7 Integrais em regides nao simplesmente conexas O prdéximo resultado nos ajuda a calcular integrais ao longo de caminhos fechados que envolvem pontos onde a funcdo nao é analitica a oalnare Sejam Co Ci Cy caminhos fechados simples tais que CjC estao na regido interior a Co e Cj estd na regiao exterior a C para todo jk 1n jf A k Suponha que f é uma fundo analitica em uma regiao D que contém todos esses caminhos e também os pontos que sdo simultaneamente interiores a Co e exteriores aQG C Entdo fzdz fzdz 6 fzdz Note que D no enunciado acima nao pre cisa ser simplesmente conexa e no caso particular em que n 1 nds obtemos fzdz fzdz C Co Gq Integrais em regioes nao simplesmente conexas A ideia da demonstracao do ultimo teorema e considerar atraves de uma reordenacao se necessario caminhos Lj e Lj j 1 n1 contidos em D de modo que Lj e Lj percorrem o mesmo conjunto de pontos mas com orientacoes opostas veja fi gura e tais que 1 para cada j 1 n Lj e Lj ligam Cj1 a Cj Ln1 e Ln1 ligam Cn a C0 2 se C 0 C 0 C j e C j j 1 n sao como na figura entao C 0 L1 C 1 L2 C 2 C n Ln1 e C 0 Ln1 C n C 2 L2 C 1 L1 sao caminhos fechados contidos em uma regiao simplesmente conexa onde f e analıtica Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Integrais Junho de 2021 39 57 Integrais em regioes nao simplesmente conexas Nessas condicoes a integral de f ao longo de qualquer um dos caminhos descritos no item 2 deve ser nula Somandoas e observando que as integrais ao longo de L e L j1n1 se cancelam nds obtemos que Flzde f Flzde fzdz fzdz 0 Co a G Cr igualdade equivalente a do enunciado 7 1 Exemplo Fixado z C mostre que dz 2m para todo caminho cZ 4 fechado simples C envolvendo Zo Soluao Considere r 0 tal que o circulo SZ de centro C Zo ralo r esteja contido na regido interior a C Como fz 7 é analitica em C zo regido que contém C SZo a regido que é simultaneamente interior a C e exterior a SZo segue do ultimo teorema que Integrais em regioes nao simplesmente conexas 1 1 a ay c22 Sz0 ZZ Assim basta mostrar que o valor da integral no lado direito da igualdade acima é 2ni Para tal note que zt zre0t 276 uma parametrizaao de SZo que a torna orientada positivamente e como zt ire segue que 1 on iret on fan i ae ie a Sz0 2 40 0 Ztret zZ 0 A existéncia de r 0 como na soluao anterior é um fato topoldgico O exemplo também poderia ser resolvido obtendo r 0 tal que SZo envolvesse C A integral de uma fundo complexa f ao longo de Szo pode também ser denotada por fzdz zzor Formula Integral de Cauchy A Formula Integral de Cauchy FIC é um resultado crucial na teoria das fundes de varidvel complexa Ela nos garante que se f analitica pecconae em uma regido simplesmente conexa e C é um caminho s fechado simples contido nessa regido entdo o valor de f e em C determina o valor de f em todos os pontos da sua S a regido interior ae Teorema Férmula Integral de Cauchy Sejam C um caminho fechado simples e f uma funao analitica em uma regido simplesmente conexa que contém C Entdo para todo Zp na regiao interior a C vale que 1 fz fz of F ay 27 Jo ZZH A FIC permite mostrar que uma funao derivavel em uma regido possui derivadas de todas as ordens nessa regido e pode ser localmente escrita como uma série de poténcias Ela também sera usada no estudo de residuos e no calculo de integrais Formula Integral de Cauchy Dem Dado Zz como no enunciado seja d9 0 tal que C D5Zo esta contido na regido interior a C Pelo ultimo teorema para cada 0 6 do fz fz f ft 4 fe y cZ24 zz6 2 20 fz fz Fz f Head fle Fe zzo6 Z 4 1 fz Fz flea aad Fz F20 4 zz06 Z24 zzo6 Z24 Conforme visto no ultimo exemplo a primeira das integrais no ultimo membro de 7 é 2mi Resta entao mostrar que a segunda é 0 Para tal note inicialmente que pelo ultimo teorema o valor desta integral independe de 6 0 do Dado 0 como f é em particular continua em Zo existe 0 6 do tal que se z Z 4 entdo fz fzo Para tal 6 Formula Integral de Cauchy fz Fz fz fz z gel f fz AI ae dz jznl5 220 jza5 Z 2o 6 Jiz25 276 2re 0 Como isto vale para todo 0 segue que de fato a segunda integral no ultimo membro de 7 é igual a 0 Isso conclui a demonstracao 7 A Férmula Integral de Cauchy reforca que a condicao de analiticidade é muito restritiva pois neste caso os valores da funcao devem estar todos interligados Apesar de ela ter sido enunciada como uma maneira de obter fZo no exemplo a seguir nds a utilizaremos para calcular a integral do membro direito na igualdade do enunciado Formula Integral de Cauchy eZ Exemplo Caleule f az z12 7 2Z Solucao Note que eZ eZ 1 eZ Como fz e analitica em C e estd na regido interior ao circulo de centro em 1 e raio 2 segue da Férmula Integral de Cauchy que e im dz 2rie 2nii 2r z12 7 2 de modo que eZ 1 eZ 1 fee Bf ee Manan z1J2 7 22 2 Jz12 23 2 Formula Integral de Cauchy A seguir temos uma importante consequéncia j4 comentada da FIC Teorema Seja f uma fungao analitica em uma regido simplesmente conexa D Entdo f possui derivadas de todas as ordens as quais sao também analiticas em D e podem ser obtidas da FIC por derivacao sob o sinal da integracao Grosso modo dizer que as derivadas de f podem ser obtidas por derivagdo sob o sinal da integracdo significa dizer que podemos passar a derivada para dentro da integral na FIC 1 fz ey fz dz Dd a heen C isto é para todo Z D vale que Teen eee 1 fz n fz fz 6 indz ec fiz p ne 8 20 mai f z 2 20 Qni Je z Zz 8 onde C C D é qualquer caminho fechado simples cuja regiao interior contém Zo Formula Integral de Cauchy Dem do teorema Sejam z D eC Cc Dum caminho fechado simples cuja regido interior contém o ponto Z Vamos mostrar inicialmente que f é derivavel em Zp e que fzo é dada pela expressdo em 8 Tomando Az tal que z Az esta na regido interior a C vale a Formula Integral de Cauchy com respeito a C tanto para Z quanto para Z Az Assim fZ Az fz 1 f fz d Ee OC IZ Az 2ni Jc z 2 1 f f f elf tO te f fo de ae f 2 ser 2niAz Jo z 4 Az czZ2Z c Z 2 1 1 1 Az sam fe 2 zZz2Az zz znH 2 1 f Fz 2 20 2 202 20 Az Azz Az 2niAz Jc z 2 Azz 2 Formula Integral de Cauchy 1 f Fz z 2Az Azz z Az dz 2miAz Jc z 2 Azz 2 A f maf fz dz 2ni Jc Zz 2 Azz zo Tomando 6 0 tal que D5zo esta contido na regiao interior a C nds temos que z Z 6 para todo z C Assim se Az g nds obtemos que C z z Az z z Az soe o 2 2 Segue da sequéncia de igualdades anterior que fz Az Fz 1 fz Az fz TF FT dz dz Az 2ni Jc z 2 2ni Je Zz 2 Azz 2 Formula Integral de Cauchy Az fz a f lall ig 2m Jc z 2 Azz Az f fz dz 3 z az c Az MéC Si onde M é 0 maximo de f em C 0 qual existe porque f é continua e C é um conjunto fechado e C é o comprimento de C Quando Az 0 o Ultimo membro da sequéncia de desigualdades acima tende a 0 também de modo que f é derivavel em Zo e fZ tem a expressdo dada em 8 Para demonstrar a parte referente as derivadas de ordem n 1 vamos provar o resultado a seguir O Ultimo teorema seguird diretamente dele Formula Integral de Cauchy Teorema Sejam C C C um caminho g uma funcéo complexa continua em C en eN Entdo a funcdo gzZ f dz c z é derivdvel em C C sendo sua derivada em um ponto z C C dada por f 82 20 of z z1 Z Dem Fixados z C C e Az C tal que 2 Az C nds temos que f hz fa 82 Az c z 2 1 gZ gZ gZ dz az 1 HO ez az J z 2 Az c 22 c z21 0 Sera ay Reap Gay Escrevendo por questao de espaco a zZAze b zZ entao ba Az e a Ultima expressdo se torna 0 ar a n n1 n2p2 1 an n aa ab vet abna de eo a 1 4 ae a b a b 2 te Formula Integral de Cauchy Assim como na demonstracado do caso n 1 devemos mostrar que esta ultima integral tende a 0 quando Az 0 Como C é topologicamente fechado existe 5 0 tal que DsZ ndo contém pontos de C Assim tomando Az g nés teremos z Z 6 e z z Az para todo z C conforme vimos na demonstrado do caso n 1 isto é b 6 e a 4 Analisando o médulo do fator que multiplica gz na integral acima nds obtemos que ab1 a1 ab a a1 b a b a grpntl c ab a ab a a1b a b a jan br1 2 Seas lab a 2 fa 2b 2 a b a b Formula Integral de Cauchy Por fim note que atraves de fatoracao podemos fazer surgir o termo b a z em cada fator da ultima soma acima Como a soma dos demais termos que aparecerao multiplicando b a e limitada por uma constante uniforme em z C digamos K e como existe M tal que gz M para todo z C pois g e contınua no fechado C segue que o modulo da ultima integral do penultimo slide e limitado por 2nKzMℓC δ2n1 de modo que esta integral tende a 0 quando z tende a 0 isto e f e derivavel em z0 e f z0 tem a expressao do enunciado Assim como no caso da Formula Integral de Cauchy nos usaremos as expressoes em 8 para calcular as integrais no membro direito das igualdades Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Integrais Junho de 2021 53 57 Formula Integral de Cauchy 24zti Exemplo Caleule f any 2 izj1 42 4 Solucao Note que 1 S 2zti 2zti i1 24zti 24 DP 4 5p Como fz z2z i éanaliticaem Ce i esta na regido interior ao circulo de centro na origem e raio 1 segue de 8 que 2 ni f4 f Belg K anit 4 oni lint Z 9 2 uma vez que fz 2 para todo z C Logo 24zti 1 24zti 2m a Zz EH dz jzj1 4z 64 Jizj1 23 64 32 Teorema de Morera A seguir temos a reciproca do Teorema de Cauchy para funcdes continuas Teorema Morera Se f 6 uma funao continua em uma regido simplesmente conexa D tal que c fzdz 0 para todo caminho fechado simples C C D entao f é analitica em D Dem Fixe z D Pela demonstracao do Corolario da Independéncia do Caminho para cada z D Fw Se fwdw esta bem definida uma vez que a integral independe do caminho contido em D que liga zp até z Pela demonstracao do TFC Parte 1 F 6 uma fungao analitica em D e tem f como sua derivada isto é F f Pelo teorema do slide 46 F também é analitica em D isto é f é analitica em D o que completa a demonstracao a Um funao complexa f é dita inteira quando ela é analitica em C O prdximo re sultado nos diz que a excecao das funcdes constantes nao existem funcoes inteiras limitadas em C Teorema de Liouville ai rocleae MO MIeNE NVI Se f é inteira e limitada entao f constante Dem Seja M uma constante tal que fz M para todo z C Como f é inteira segue de 8 que fz xt fe ae pde para todo z C onde C qualquer caminho fechado simples tendo Zz na sua regido interior Tomando C como sendo o circulo de centro Zo e raio r nds obtemos que 1 fz M M2rr M fZo a f A az a dz T zzor z Zo Tr zzor Tr r Como o raio r do circulo pode ser tomado arbitrariamente grande a sequéncia de desigualdades acima nos da que fz 0 Como isto vale para todo z C segue do Exercicio 10 da Lista 2 que f é constante Note que em R as fundes seno e cosseno sao derivaveis limitadas e nado sao constantes O teorema acima nos diz que esse tipo de situado nado pode ocorrer em C Em particular em C as fungdes seno e cosseno nao sao limitadas Teorema Fundamental da Algebra Como aplicacao do Teorema de Liouville apresentaremos uma demonstracao do Teorema Fundamental da Algebra Teorema Fundamental da Algebra Todo polinˆomio com coeficientes complexos de grau n 1 possui ao menos uma raiz Dem Considere um polinˆomio Pz anzn an1zn1 a1z a0 onde n 1 a0 a1 an C e an 0 Supondo por absurdo que P nao possua nenhuma raiz nos obtemos que f z 1 Pz 1 anzn an1zn1 a1z a0 e uma funcao inteira Como f z 0 quando z deve existir R 0 tal que f z 1 para todo z C com z R Como alem disso f e contınua entao f tambem e limitada em DR0 sendo portanto limitada em todo o plano Segue do Teorema de Liouville que f e constante e como f z 0 quando z devemos ter f 0 o que nos da um absurdo Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Integrais Junho de 2021 57 57