Variáveis Complexas

Exercício 1 1 pt Seja fz x³yyixx⁶y² se z 0 0 se z0 Mostre que fz f0z0 0 ao longo de qualquer reta passando pela origem mas que lim z0 fz f0z0 não existe Exercício 2 Se f e g são deriváveis em z₀ então também o são cf c um número complexo qualquer f g fg e 1f desde que fz₀ 0 e valem i 05 pt cfz₀ cfz₀ ii 05 pt f gz₀ fz₀ gz₀ iii 1 pt fgz₀ fz₀gz₀ fz₀gz₀ lim zz₀ c constante fz fz₀z z₀ c lim zz₀ fz fz₀z z₀ c fz₀ ii f gz₀ fz₀ gz₀ Por def f gz₀ lim zz₀ fgz fgz₀z z₀ sabemos que fgz fz gz lim zz₀ fz gz fz₀ gz₀ z z₀ lim zz₀ fz fz₀ z z₀ lim zz₀ gz gz₀ z z₀ usando a propriedade de soma de limites para separar fz₀ gz₀ usamos a definição da derivada iii fgz₀ fz₀gz₀ fz₀gz₀ definição fgz₀ lim zz₀ fgz fgz₀ z z₀ lim zz₀ fzgz fz₀gz₀ z z₀ adição e subtraia fzgz₀ no numerador lim zz₀ fzgz fzgz₀ fzgz₀ fz₀gz₀ z z₀ podemos somar colar em evidência e gz₀ também lim zz₀ fzgz gz₀z z₀ somando pela propriedade da limite lim zz₀ gz₀fz fz₀ z z₀ fz₀ lim zz₀ gz gz₀ z z₀ gz₀ lim zz₀ fz fz₀ z z₀ fz₀ gz₀ gz₀ fz₀ Para mostrar que lim z0 fzf0z0 vamos mostrar que em alguma direção o limite é diferente de 0 fz x3 y2x6 y2 i x4 yx6 y2 Para y x3 fz x3 x32x6x32 i x4 x3x6x32 x92x6 i x72x6 x32 x2 i fzz 12 x3 x ix x3 i i2 logo lim z0 fzf0z0 i2 para y x3 Portanto lim z0 fzf0z0 2 i cfz0 c fz0 Por definição fz0 lim zz0 fzfz0zz0 assim cfz0 lim zz0 c fz fz0zz0 1 fz x3 y y i xx6 y2 z 0 fz 0 z 0 z x i y Devemos mostrar que fzf0z0 0 ao longo de qualquer reta passando pela origem mas que lim z0 fzf0z0 não existe Observe que fzf0z0 fzz já que f00 Sabemos que uma reta passando pela origem é da forma y m x substituindo y m x em fz temos fz x3 y2x6 y2 i x4 yx6 y2 para y m x fz x3 m x2x6 m x2 i x4 m xx6 m x2 x5 mx6 m2 x2 i x5 mx6 m2 x2 x3 mx4 m2 i x3 mx4 m2 fzz x3 mx4 m2 i x3 mx4 m2 x i m x x3 mx4 m2 1 i1 i m x0 fzz 0 já que x3 m1 i1 i mx4 m2 0