Slide - Funções de Variável Complexa - Resíduos 2021 1

Funcoes de Variavel Complexa Resıduos Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Julho de 2021 Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Resıduos Julho de 2021 1 55 Singularidades isoladas Neste capıtulo estudaremos singularidades de funcoes complexas e veremos como elas podem nos ajudar no calculo de integrais inclusive de algumas funcoes reais Seja f uma funcao complexa Noz dizemos que um ponto z0 C e uma singularidade isolada de f quando f nao e analıtica em z0 mas existe r 0 tal que f e analıtica em Drz0 z0 Exemplo 1 f z z21 senz possui singularida des isoladas nos pontos z kπ k Z Exemplo 2 gz 1 sen1z possui singularidades isoladas nos pontos z 1 kπ k Z Ja o ponto z 0 nao e uma singularidade isolada de g pois apesar de g nao ser analıtica neste ponto nao e possıvel obter r 0 tal que g seja analıtica em Dr00 uma vez que 1 kπ 0 quando k Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Resıduos Julho de 2021 2 55 Singularidades isoladas Seja Z uma singularidade isolada de uma funado complexa f e Co Fz anz 20 1 noo a sua série de Laurent convergente em um disco perfurado DZ Zo A respeito dos coeficientes da série em 1 podem ocorrer trés situacGes todos os coeficientes a n 0 sao nulos existe m 0 tal que a 0 e a 0 para todo n m existem infinitos indices n N para os quais a 0 No primeiro caso nds dizemos que Zz é uma singularidade removivel de f no segundo que Z 6 um polo de ordem m de f e no terceiro que Z 6 uma singu laridade essencial de f A seguir faremos algumas observacdes sobre cada tipo de singularidade e ficara claro a razao de cada nome Singularidades removiveis Caso 1 z é uma singularidade removivel de f Neste caso todos os coeficientes a n 0 da série em 1 sdo nulos A razdo do nome singularidade removivel se da porque neste caso podemos escrever CO Fz Sanz 2 Vz Dz zo 2 n0 e como a série de poténcias do lado direito de 2 define uma fundo analitica em Dz com o valor ag no ponto z Zp é possivel definir ou redefinir f neste ponto pondo fz ag o que torna f analitica em Dz Assim uma tal singularidade é apenas aparente no sentido que ela pode ser removida bastando para isso definir f de maneira apropriada no ponto Zo Singularidades removiveis Exemplo fz costz1 tem uma singularidade removivel em z 0 De fato usando a série de MacLaurin j4 conhecida da funado cosseno nds obtemos que CO CO CO cosz 1 1 van 1 l 1 van 1 Jana Zz Zz 2n Zz 2n 2n n0 n1 n1 para todo z C 0 sendo todos os coeficientes an n 0 desta série nulos Neste caso temos também que ap 0 Assim g C C dada por cosz1 ae sez40 zZ Zz g2 0 sez0 é analitica em C e coincide com f em C 0 7 O resultado a seguir nos fornece uma maneira pratica de determinar se uma singu laridade isolada é removivel Singularidades removıveis Proposicao Seja z0 uma singularidade isolada de uma funcao complexa f As seguintes afirmacoes sao equivalentes 1 z0 e uma singularidade removıvel de f 2 f e limitada em uma vizinhanca de z0 3 existe limzz0 f z Dem 3 2 Propriedade de limite ja vista no Capıtulo 2 2 1 Seja M tal que f z M em uma vizinhanca de z0 Tomando r0 0 tal que Dr0z0 esta contido nessa vizinhanca escreva para cada 0 r r0 Cr Srz0 Entao pela expressao dos coeficientes an da serie de Laurent de f em z0 Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Resıduos Julho de 2021 6 55 Singularidades removiveis 1 fz 1 fz M an dz dz C nl a f z zrt 27i f z z0 Qnrntl r M Baer Onr M Como isto vale para todo 0 r f e para cada n 0 M 0 quando r 0 segue que a 0 para todo n 0 Logo Z é uma singularidade removivel de f 1 3 Como Zz é uma singularidade removivel podemos redefinir f neste ponto de modo que ela se torne analitica em particular continua nele Logo existe lim zz fz a Nas condides da proposido anterior limz fz nos da também o valor a ser definido para f em Z de modo que ela se torne analitica neste ponto Singularidades removıveis Exemplo Mostre que z 0 e singularidade removıvel de f z ez1 senz Solucao Note que f nao e analıtica em z 0 nao esta definida neste ponto mas e analıtica em Dπ0 0 de modo que z 0 e uma singularidade isolada de f Note ainda que lim z0 f z lim z0 ez 1 senz lim z0 ez 1 z z senz lim z0 ez 1 z 1 senz z 1 Como limz0 f z existe segue da proposicao anterior que z 0 e uma singula ridade removıvel de f Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Resıduos Julho de 2021 8 55 Singularidades do tipo polo Caso 2 z é um polo de ordem m de f Lembre que neste caso existe m 0 tal que a 0 a 0 para todo n m Assim 1 se reduz a a a fz 4 anZ Zo am 0 3 Gog tet Gem tea am 3 Um polo de ordem 1 é também chamado um polo simples de f O polindmio em z z que precede 7P9 anz Zo em 3 6 chamado de parte singular de f em Zo ou parte principal de f em zp Observe que se subtrairmos de f sua parte principal em Zo o obteremos uma funao com singularidade removivel neste ponto Exemplo Considere fz logtF2 sendo log o ramo principal do logaritmo 0 que nos da em particular log1 uk 0 Com este ramo a funcdo gz log1 z é analitica fj em D0 ela nao é analitica apenas em z C Rez 10 1 Lembrando que Singularidades do tipo polo 1 Co non gz Tne X3 z Vz D0 nds obtemos por integracdo termo a termo que 1 n1 82 nti Vz D0 note que temos de fato log1 0 Assim 1 41 1 1 1 1 zn3 f NUT gntl NUT on 3 17 4 2 Bane dent z3 og 32 t DL Yael 1 1 1 z 54 1 Wz D0 0 Bae tae LCV TG Yee D000 0 de modo que z 0 é um polo de ordem 3 de f e a sua parte singular neste ponto é dada por 4 54 7 Singularidades do tipo polo O seguinte resultado e a sua demonstracao sao analogos a proposicao do slide 6 Proposicao Seja f uma funcao complexa Uma singularidade isolada z0 de f e um polo de ordem m se e somente se limzz0z z0mf z existe e e diferente de 0 Exemplo Mostre que z π e polo de f z senz zπ2 e determine a sua ordem Solucao Note inicialmente que f nao e analıtica em z π mas e analıtica em Cπ de modo que π e uma singularidade isolada de f Como π e zero de ordem 1 do numerador de f e zero de ordem 2 do denominador e natural esperar que ele seja polo de ordem 1 de f Para confirmar isso basta notar que lim zπz π senz z π2 lim zπ senz z π wzπ lim w0 senw π w lim w0 senw cosπ senπ cosw w lim w0 senw w 1 0 e usar a proposicao acima Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Resıduos Julho de 2021 11 55 STU Elale Ee lecmecsculel els Caso 3 z é uma singularidade essencial de f Neste caso existem infinitos indices n N tais que a 4 0 na série em 1 Exemplo O ponto z 0 é uma singularidade essencial de fz sen2 pois f é analitica em C 0 z 0 é uma singularidade isolada de f e 1 SS 1 1y2e 1 sen YVzeC0 4 aes Gn ie 0 4 n0 n0 a Diferente dos casos anteriores uma singularidade essencial ndo pode ser removida simplesmente definindo f de maneira apropriada neste ponto e o comportamento de f em uma vizinhanca de uma tal singularidade nao pode ser controlado mul tiplicando f por um polindmio adequado De fato o resultado a seguir mostra que f tem um comportamento cadtico perto de singularidades essenciais Singularidades essenciais Proposicao Seja f uma funcao complexa com uma singularidade essencial em um ponto z0 Entao em qualquer vizinhanca de z0 f se aproxima tanto quanto se queira de qualquer numero complexo isto e quaisquer que sejam α C ϵ 0 e r 0 existe z Drz0 z0 tal que f z α ϵ Comparando com o caso real qualquer que seja o intervalo aberto contendo 0 a funcao f x sen 1 x assume neste intervalo todos os valores entre 1 e 1 A proposicao acima e o exemplo anterior nao nos garantem que em C f z sen 1 z assume todos os valores com plexos em qualquer disco contendo z 0 mas nos garantem que em qualquer disco desse tipo e possıvel encontrar valores de f tao proximos quanto se queira de qualquer numero complexo Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Resıduos Julho de 2021 13 55 Singularidades essenciais Dem da proposicao Suponha por absurdo que existam α C ϵ 0 e r 0 tais que f z α ϵ para todo z Drz0 z0 Neste caso nos podemos definir gz 1 f z α em Drz0 z0 e temos que gz 1 ϵ z Drz0 z0 Como z0 e tambem singularidade isolada de g segue da proposicao do slide 6 que z0 e singularidade removıvel de g Assim e possıvel definir g em z0 de modo que ela se torne analıtica neste ponto Temos agora dois casos a considerar gz0 0 ou gz0 0 Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Resıduos Julho de 2021 14 55 Singularidades essenciais gz0 0 neste caso a funcao 1 gz f zα e analıtica em uma vizinhanca de z0 de modo que o mesmo ocorre com f Mas isso contradiz a hipotese da proposicao porque implica que z0 e singularidade removıvel de f gz0 0 neste caso z0 e um zero de ordem m de g uma vez que por definicao g nao e a funcao nula em Drz0 z0 de modo que gz z z0mhz com h analıtica em uma vizinhanca de z0 e hz0 0 veja ultimo teorema do Capıtulo 4 Isso nos da que z0 e um polo de ordem m da funcao f z α logo tambem de f o que mais uma vez contradiz a hipotese da proposicao e completa a demonstracao Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Resıduos Julho de 2021 15 55 a Residuos Seja f uma fundo analitica em uma regido D exceto em uma singularidade isola lada Z nesta regido O coeficiente a da série de Laurent de f em Zz é chamado de residuo de f em zp e é denotado por Resf zo Lembrando da sua expressdo dada no Teorema da série de Laurent nds temos que 1 Resf Zo Fzadz 5 Qn 1 Cc 7 onde C é qualquer caminho fechado simples envolvendo Zo con Cx 0 tido em um disco perfurado de centro zo onde f é analitica 1 O residuo de f em Zo pode ser util para o cdlculo de integrais SY a conforme mostra 0 resultado a seguir NCest6 ess Teorema do Residuo Suponha f analitica em uma regido simplesmente conexa D exceto em um numero finito de singularidades isoladas 2 Z Entao para qualquer caminho fechado simples C C D envolvendo 21 Zz vale que k fzdz 2ni Resf Zj c jal Dem Quando C envolve uma Unica singula ridade z a expressdo do enunciado se reduz C f a fzdz 2niResfz1 a qual é verda a C deira por 5 Quando C envolve singularida os des z1Zx nds consideramos para cada j 1k G C D caminho fechado simples en volvendo apenas a singularidade z veja figura Pelo teorema do slide 38 do Capitulo 3 Residuos k fzdz fzdz jal G Basta entdo utilizar o que j4 observamos no caso de uma Unica singularidade m 1 Exemplo Calcule sen az z1 Zz Solucdo Considere fz sen Note que f é analitica em C 0 que C é uma regiao simplesmente conexa contendo o circulo de centro na origem e raio le que Zp 0 esta na regido interior a este circulo Assim pelo Teorema do Residuo 1 sen az 2mi Resf0 a oy Pela série de Laurent de f em torno de z 0 obtida em 4 IT 0 Resf0 cy 1 Assim 1 sen dz 2ni1 2ri z1 Z a Residuos O calculo da integral no exemplo acima foi simplificado porque j4 conheciamos o residuo de f em Z 0 Em geral obter o residuo de uma funcao em um ponto usando a sua série de Laurent pode ser trabalhoso A seguir descrevemos uma maneira alternativa de obtélo no caso de singularidades removiveis e de polos Quando Zp é uma singularidade removivel de f 0 coeficiente a da sua série de Laurent em torno de Zp é dado por a 0 Assim neste caso Resf z 0 Quando Z é um polo simples de f nds temos a CO 1 fz anZ Zo ZZ n0 em um disco perfurado DZ9 Zo de modo que nesse disco CO z 2fz a1 z Z y az Zo n0 Residuos Como S74 anz Zo define uma funcdo analitica em DZ em particular continua em Zo nds temos que limz2Z Zo op29 anZ Zo 0 Assim neste caso Resf Zo lim z zofz ZZo Quando Zp é um polo de ordem 2 de f a a 2 zz zZH of em um disco perfurado Dzo zo de modo que nesse disco CO z 2 Fz a2a1z2z2 S az Zo n0 Residuos Como 4 anz Zo converge uniformemente em Dzo nds obtemos que d 2 nt1 qlz 20F2 aa S n 2anz 20 Vz Dz zo n0 Assim pelo mesmo argumento do slide anterior se Z um polo de ordem 2 de f Resf Zo lim d z zF z 0 zz dz Em geral se Z é polo de ordem m de f entdo ResF 20 im 2 202 6 lim zz z 2 m1 254 dzm71 Residuos Exemplo Obtenha o residuo de fz 7En em Zz 0 Solugdo Note que z 0 é de fato uma singularidade isolada de f Como 1 1 lim z lim 4 lim 1 730 zsenz z0senz z0 senz segue da proposicao do slide 11 que z 0 é um polo de ordem 2 de f Pela expressdo em 6 aplicada com m 2 d 1 d Resf0 lim 2 5 lim 5 lim senz 2 cosz z0 dz zsenz z0 dz senz z40 senz No ultimo limite nds temos uma indeterminado do tipo 00 Aplicando a Regra de LHospital néds obtemos que Resf0 lim cosz cosz zsenz lim Z 0 z40 2 senz cosz z0 2cosz Integrais improprias de funcoes racionais A partir de agora veremos como o Teorema do Residuo pode ser utilizado para cal cular certas integrais imprdoprias de funcdes reais Essa é uma importante aplicacao das funcoes de varidvel complexa Comecaremos com as funcoes racionais Seja fz an uma fundo racional tal que Q ndo se anulaem Re grauQ grauP 2 Entao e f racional f possui uma quantidade finita de singularidades isoladas Q nado se anula em R todas as singularidades de f estado fora do eixo real Assim podemos calcular a integral impropria real Se fxdx considerando para cada R 0 o caminho fechado simples C que é a unido de dois caminhos Integrais improprias de funcoes racionais o segmento de reta R R no eixo real Cr osemicirculo Cr de centro na origem raio R e no qual o angulo polar varia de 0 até a R R Como f é analitica em uma regido simplesmente conexa contendo C e sua regido interior exceto nas singularidades que estdo na regido interior a C as quais deno taremos por ZjZx 0 Teorema do Residuo nos da que k fzdz fzdz fzdz 2ni Resf Zj RR Cr Cc jl Fazendo R oo a primeira das integrais nos dara fe fxdx a segunda tendera a 0 Integrais improprias de funcoes racionais De fato escrevendo m grauQ grauP entdo limz4o0 ZF z existe de modo que existem também WN e K reais positivos tais que K K Iz RN zFzK fz iz Bm Assim como m 2 para R N K K KT R00 fzdz f dz Cr a7R 0 tera ieailael palCe pt poe Integrais improprias de funcoes racionais 1 Exemplo Calcul Ox xemp aleule Gage Cr Solucao Conforme a explicacdo anterior considere para cada R 1 R R o segmento R R no eixo real Cpr o semicirculo de centro na origem raio R e com o Angulo polar variando deOarn Entao R R U Cr é um caminho fechado simples contido em uma regiao sim plesmente conexa onde fz up é analitica exceto na singularidade isolada z Pelo Teorema do Residuo de de 2m Resf i 7 dz dz 27 Resf r z 1 Cy 22 1 O residuo de f em pode ser calculado a partir da sua série de Laurent em torno desse ponto ou utilizando a expressdo em 6 Para tal note inicialmente que Integrais improprias de funcoes racionais 2 2 1 1 limzi2fz li ziyl iy Lg tim2iF2 lim oa lim Goa ape IM Gaap a7 Segue da proposido do slide 11 que é polo simples de ordem 1 de f Assim pela expressdo em 6 d d 1 2 i Resfi lim zifz lim lim 4 esF zo dz 2 i Fz zi dz z i zo z8 4 Como o grau do numerador do integrando é 0 e o grau do denominador é 4 2 nds temos que 1 dz0 quando R oo I 17 Segue de 7 que J fea 2ni 2 2nri oo 4 2 Lema de Jordan Um passo fundamental que nos permitiu calcular JS fxdx seguindo o procedimento anterior foi o fato Cr de termos fzdz 0 quando R ov decorrente da diferenca entre o grau do denominador e do numerador na fundo racional O seguinte resultado nos dd uma maneira R R de verificar que Jeg fzdz 0 quando R oo no caso do produto de uma funao analitica com uma certa exponencial Lema de Jordan Sejam r 0R 0 e Cp o semicirculo de centro na origem raio R e com Angulo polar variando de 0 am Seja ainda f uma funcao continua em Cr para todo R suficientemente grande Se maxfz z Cr 0 quando R oo entdo efzdz 0 quando Ro Cr Lema de Jordan Dem Pela definicdo da integral de uma funado complexa C R e Fz dz elf Rcos 0 sen 9 Re iRe do Cy Cr 0 T R R ir e Ren OF Rei irR cos 0 ag 0 Assim escrevendo MR maxfz z Cr nds obtemos que ct zd in Je sen 9 fRe JertrReoea dé Cr 0 rR send ruR e ven db eR sen4 z prop integral real 2RMR e Rsen 8 dg 0 0 a T 2 Lema de Jordan sen 2 Como 22 sené para todo 0 0 isto pode ser verificado analisando a derivada de g sen0 24 rR 0 ea funcdo exponencial é crescente em R nés 0 5 obtemos que x 2rRO irz rkR 22 e 0 2 e Fz 2RMR e d0 2RMR Cr 0 a 0 rR e 1 2RMR a9 n MR on day e ROS 9 pela hipdtese do lema Logo Jee el Fzdz 0 quando R ov O Lema de Jordan também vale para semicirculos de centro na origem e raio R contidos em z C Imz 0 Lema de Jordan Co Exemplo Calcule xsenlx a onde a 0 é uma constante 0 aox Solucdo Como e cosx isenx para todo x R segue que x senx x i xe P x2 4x2 Ime Im 33 Vx E R Isso junto com o fato do integrando ser uma funcao par nos da que xesenx 4 5 xsenx 4 s Im xen 5 9 atx 2 Jig A X 2 Joco ax 1 CO xex 8 2 99 a X Lema de Jordan Considerando para cada R a Cr o segmento R R no eixo real e Cp o semicirculo de centro na origem raio R e com o 4ngulo polar variando de 0 a 7 R R entado R RU Cr esté contido em uma regido simplesmente conexa onde gz 5 é analitica exceto na sigularidade isolada z ia Pelo Teorema do Residuo R iz iz ze ze get az 2m Resg ia 9 wet we e ia 9 Note que fz zim é continua em C ia ia e para todo z Cr temse que Zz Zz Ra Zz R Fz 5 HL lL 5 2 z z a z a Ra Lema de Jordan Assim escrevendo MR maxFz z Cr nds temos que MR wee e como limrsoo pee 0 segue que lim MR 0 Roo Pelo Lema de Jordan dz 0 quando R o Cr azZz Fazendo entao R co em 9 nds obtemos que loo zelZ dz 2m Resg ia 10 I Paw Iz mi Resg ia 10 Lema de Jordan Como ziaze z iaze zez jae ea lim 2 iaze lim 2iajze lim 0 zia a z2 ziaziazia zsiazia iatia 2 segue da proposicdo do slide 11 que ia é polo simples de g Além disso por 6 e Resg ia 2 Juntanto isso com 10 e trocando a varidvel de z para x nds obtemos xelx 2mie aT ene Tie wo a tx 2 Usando agora 8 nds obtemos que x senx Te Sen 0 ax 2 a Lema de Jordan Co senx Exemplo Calcule sents a oo x Solucao Note inicialmente que gx sent nao esta definida em x 0 porém existe limy9 gx de modo que Le sen ay deve ser interpretada como 6 oo senx senx lim emo f sent on 60 oco x 5 x A ideia inicial aqui seria seguir 0 mesmo procedimento do exemplo anterior uma vez que senx ex senx ny vx ER x x Entretanto hz possui uma singularidade ndoremovivel ao longo do eixo real e nao poderemos aplicar o Teorema do Residuo se considerarmos o caminho R R U Cr como anteriormente Lema de Jordan Neste caso vamos considerar dois semicirculos auxiliares a saber Cr Cpr de centro na origem raio R e com angulo polar variando de 0 a 7 e Cs de centro na origem raio 6 e com angulo polar variando de 7 a 27 R oy R Como h é analitica em C exceto na singularidade z 0 segue do Teorema do Residuo que 6 ez eZ R eZ ez dz dz dz dz 2mi Resh 0 11 R Z Cs Zz 5 zZ Cr Zz Para estimar a ultima integral de 11 note que fz 4 é continua em C 0 i1j1 para todo z Cre i 0 quando R oo Assim pelo Lema de Jordan Zz R R Lema de Jordan eZ dz0 quando R oo Cr 2 Dessa forma fazendo R oo em 11 nds obtemos que 6 eZ eZ oo eZ a cae dz 2mi Resh 0 12 co 2 Cs 2 60 OC Escrevendo agora a série de Laurent de h em torno de z 0 nds obtemos que eZ 1A iz Qirz a Qairz a Qt tz Popa a at at Sa z 274 al a z ol z 4 n1 0 que mostra que Resh 0 1 e que podemos escrever ez 1 Tet yz Lema de Jordan com y analitica em particular limitada em qualquer vizinhana da origem Fixando do 0 considere entao K 0 tal que yz K para todo z D50 Para 0 6 dg nds temos que ole oz dz K75 3 0 Cs C5 Como além disso 1 dz Ti VWd0 Cs 2 similar ao Exercicio 6 da Lista 3 nds obtemos que e 1 1 630 dz ez dz dz zdz 47mi Cs 7 Cs 4 Cs 2 Cs Lema de Jordan Usando isso o valor de Resh 0 jd obtido e fazendo 5 0 em 12 nds obtemos que oo eZ oo eZ dzni27ri1 dzTi 4 4 Logo oo co Ziz sen x e se oy Im f dz T oo CX oo Z Obs Poderiamos resolver o exemplo anterior considerando Cs como o semicirculo de centro na origem e raio 6 mas situado no semiplano z C Imz 0 Nesse caso poderiamos aplicar o Teorema de Cauchy ao invés do Teorema do Residuo Integrais ao longo de cortes Quando o integrando envolve uma funcao logaritmica por exemplo quando ele é do tipo z com a C Z e necessario integrar ao longo do corte do logaritmo a principio nao poderiamos aplicar o Teorema do Residuo Entretanto se o corte estiver apenas no caminho de integracdo e nao na sua regido interior é possivel mostrar que o Teorema do Residuo ainda é valido 1 Exemplo Calcule dx 0 Jxx 1 1 logz Cr Solucéo Em C vamos considerar z z2 e 2 com o ramo do logaritmo definido por 0 argz 27 IN Dados R 1r 0 considere CTI R C o segmento r R no eixo real Cpr ocirculo de centro na origem e raio R orientado no sentido antihordario Cy 0 segmento R r também no eixo real C o circulo de centro na origem e raio r orientado no sentido hordario Integrais ao longo de cortes esejaC CG UCRUGUG Para que C defina um caminho fechado simples vamos considerar Cr argzOem Ge aN argz 27 em G NED R Pela escolha do ramo do logaritmo a unica singularidade de fz Jaerp na regido interior ao caminho C éz 1 Note que f também nao é analitica em Cy eem Ge em rigor nao poderiamos aplicar o Teorema do Residuo Entretanto conforme comentamos anteriormente neste caso ainda é possivel mostrar que o teorema é valido de modo que Flede Flzde Flzde fzdz 27iResf1 13 rR Cr Rr C Integrais ao longo de cortes Para calcular este residuo note que z1 1 1 1 in li 1fz lim lim e lim 2 fz zd Jzz1 zoel Vz J1 ez Assim 1 é polo simples de f e Resf 1 et Vejamos agora que as integrais de f ao longo de Cr e C tendem a 0 quando Roer0O respectivamente De fato como e 1 Re 1 Re 1 R10 Oe 02r nds obtemos que Integrais ao longo de cortes 1 Qn iR id aexy ag ce V2z 1 0 VReRe 1 2a p10 Re dé o VReRe 1 14 2a R ae 0 VRR 1 R1 Do mesmo moda re 1 1 re 1 re 1r 0 para todo 6 0 27 e a mesma estimativa anterior nos da que 2 r Fla 2 VT 190 9 15 CG lr Integrais ao longo de cortes Resta ver 0 que ocorre com Flede f fzdz quando r0eR oo rR Rr Note que apesar de um segmento se sobrepor ao outro e eles possuirem orientacdes opostas as integrais ndo ne Cr cessariamente se cancelam porque argz 0 em r R ann e argz 27 em R r Mas como F fize logz log z jargz e z z na parte positiva do eixo real nds obtemos que Integrais ao longo de cortes R best r loaz2mi Flede f flzde a fg rR IR r Zt1 R Ztl R bale R in 282 e 2 ee 2 dz d z1 2 z1 2 R leslz e2 1le7 le za dz R 1 le dz 08 ay Assim mudando a variavel de z para x e fazendo r 0 e R ov nods obtemos que Ley fzdz f fzdz 1 ev x rR Rr 0 Vxx 1 Integrais ao longo de cortes Juntando isso com 13 14 15 e com o valor do residuo de f em 1 ja encontrado nds obtemos que 1 a l1e dx 2rie Oe f Ve T de modo que 1 d 2mieW iz Qn T T 0 6 Xxx 1 le eze2 doe sen72 I O procedimento do exemplo anterior também pode ser usado para calcular certas integrais de fundes racionais para as quais nao é possivel aplicar o procedimento descrito nos slides 23 e 24 Integrais ao longo de cortes 1 Exemplo Calcul dx xemp aleule 4a Solucao Note que apesar do grau do polindmio do denominador exceder em 2 o grau do polindmio do numerador a fundo fx Zs nao é par de modo que no basta calcular fxdx como no exemplo do slide 26 e dividir o resultado por 2 como no exemplo do slide 31 Para obter o valor da integral do enunciado vamos considerar az 082 loatz Cr z24z43 z1z3 1 e calcular a integral de g ao longo do caminho fechado I R simples C do exemplo anterior considerando agora R 3er1 Neste caso as singularidades de g no interior do caminho serado z 1 e z 3 Como Integrais ao longo de cortes lien z1logz log1 ami zo1z1z3 2 2 e lim z3logz log3 log3 mi z3z1z3 2 2 segue que ambas as singularidades de g sao polos simples e os residuos de g em 1 e 3 sdo dados pelos limites acima Como 7 2ni tea3 7 rilog3 2 2 segue do Teorema do Residuo que fzdz f fzdz f fzdz f fzdz milog3 16 rR Cr Rr C Integrais ao longo de cortes Como no exemplo anterior as integrais de g ao longo de C e Cr tendem a 0 quando r 0 eR respectivamente Para ver isso note inicialmente que re Arel 3 3 Are re 3 4re re 3 4re r 3 4re r 34r para todo 0 27 Por outro lado llogr i6 logr i0 S logr 0 logr 2n Considerando 0 r V7 2 nds teremos ainda que 3 4r r 0 e assim Integrais ao longo de cortes Qn 082 18 rei go c 22 4z43 9 re Are 3 20 logr i0 ig ire d re Are 3 2a r2n logr do 34rr 2nr2m logr ro 34rrP 0 De maneira andloga Re 4Re 3 R4R3 VO 027 Considerando R 2 V7 caso em que R 4R 3 0 e seguindo o mesmo procedimento acima nds obteremos que Jeg fzdz 0 quando R oo Integrais ao longo de cortes Para ver 0 que ocorre com Flede f fzdz quandor0eR om rR Rr usamos como no exemplo anterior que argz 0 em r A argz 27 em R r logz log z jargz e z z na parte positiva do eixo real Isso nos da que R r logz logz 27i flzde flzde zat az I 2 Ry 2 2 4z3 Rp 224z43 R R 2 tice A 22 44z43 24z43 1 27i oz ni Ppa 3 Integrais ao longo de cortes Assim mudando a variavel de z para x e fazendo r 0 e R ov nods obtemos que I i Flede f fzdz 2ni x rR Rr 0 x 4xt3 Isso junto com 16 e as estimativas anteriores nos da que no 1 2ni ax a T log3 de modo que c 1 9 X74x3 2 7 Integrais de funcoes trigonométricas Residuos também podem ser utilizados para calcular integrais do tipo Qn f cos 0 sen 0dé z1 0 Neste caso basta fazer a mudanga de variaveis orm zcosOisend z cos isend LD a qual nos da zz1 zzt cos 5 e sen 5 Note ainda que com esta mudana dz dz sen icosd6 icos isend0 izd d0 Z percorre o circulo de centro na origem e raio 1 quando varia de 0 a 27 Integrais de funcoes trigonométricas Qn 1 Exemplo Calcule d9 9 cos2 Solugdo Denotando por C o circulo de centro na origem e raio 1 e fazendo a mudana de variaveis indicada no slide anterior nds obtemos que Qn 1 1 d foef 9 cosd2 zjna 242 2 iz 1 dz 17 l ze 4 iz u7 2 1 F Puasa I Jizjaa 2 4Z41 Iz 1 A Gnica singularidade de fz ai na regido interior a C é0 ponto z 2 V3 Como PI Integrais de funcoes trigonométricas z2Vv3 z2 v3 lim lim 2 zo2v3 2 4z1 9 7 42v3z 24 V3z 2 V3 1 1 2Vv324 V3 2v3 segue que 2 3 polo simples de f e Resf23 a5 Como f é analitica em uma regiao simplesmente conexa que contém C segue do Teorema do Residuo que 1 1 Ti ae 2ri l Paz l 23 VB Isso junto com 17 nos da que 1 ao 7 on 0 cossO2 i VBA VB 7