Lista 3 - Integrais - Variáveis Complexas 2021 1

Fungoes de Varidvel Complexa IC 260 Lista 3 Integrais Prof Daniel Oliveira 1 Identifique e esboce os seguintes arcos az2tit0t1 b z 3tittER 1 T cz 7 itltoo d z rcost isent 7 t7r 0 fixado eztiv1l1ltl fzircostisenta7 t7ar0 fixado 2 Calcule fzdz onde f e C sao especificados em cada item Cc a fz z e C é 0 arco do circulo centrado na origem de raio r com y 0 e orientado no sentido antihorario fz z e C é 0 segmento de reta que liga 0 a 2 3 b fz Vz e C é0 circulo centrado na origem de raio r orientado no sentido antihordario c fx iy 2x yix e C 60 segmento de reta que liga 0 a1 i d fx iy y2 e C 60 caminho em azul indicado na figura fx iy y 2 e C é 0 caminho em vermelho indicado na figura i 2i7 3 Mostre que se ab CE Re k R 0 entao edt ei ih a 2 4 Seja C um caminho qualquer ligando z a zz Mostre pela definicao que ldz z z Em particular ldz 0 para qualquer caminho fechado C ao fazer isso vocé estard Cc Cc provando o Teorema de Cauchy e o seu coroldério para esta funcao particular 5 Mostre as seguintes desigualdades 1 a dz 1 onde C é 0 segmento de reta que liga 1 a 1 7 Cc z 1 b dz 42 onde C é 0 segmento de reta que liga 1 a i Ccé zZ2 At so c a TB onde C é 0 arco de circulo situado no primeiro quadrante centrado na origem e Ccé de raio 2 6 Sejam n Ze C um caminho fechado simples envolvendo a origem e orientado positivamente Mostre 1 que zdzOsenle fru 27mi No caso n 0 considere z 1 C z 7 Mostre que fzdz 0 onde f e C sao especificadas em cada caso O ramo do logaritmo considerado Cc é o correspondente a 7 0 7 2 3ze 3 a fz eC éo circulo centrado na origem de raio z 2 2 l 2i b fz aa ener e C é 0 quadrado de vértices 1 7 1 c fz ale 1 e C é0 circulo x y 2a d fz ce Cé drado de vértices 1 e i Zz e C é 0 quadrado de vértices e ti log2z 4 1 e fz e C 60 qualquer caminho fechado simples que envolve a origem Zz 1 oe f fii p1 C é 0 circulo centrado na origem de raio 2 2 1 oe g fz C é oo circeulo centrado na origem de raio 2 Zi ZI 1 8 Calcule fzdz onde f e C sao as especificadas em cada caso C 1 i os a fz e C é qualquer caminho simples que vai de i a i e que 4 excecao dos extremos esté situado Zz no semiplano Rez 0 b fz logz e C é qualquer caminho simples que vai de 1 a i e que 4 excecao dos extremos esta situado no segundo quadrante O ramo do logaritmo é 0 correspondente a 0 6 27 c fz Vz e C é qualquer caminho simples que vai de i a 1 e que a excecao dos extremos esta situado no terceiro quadrante O ramo de z é 0 correspondente a 0 6 27 9 Calcule as seguintes integrais a dy b sen2 9 c dy jz12 2 2 z2i2 2 z1J2 7 2 wz e d dz e dz jz1 1 22 e12 27 4 Vz5 f weds onde o ramo da raiz é 0 correspondente a k 0 com 17 0 7 jz1 z 1 g 7 dz onde C é 0 quadrado de vértices 0 27 1 1 h a onde C é 0 losango de vértices 2 e 7 cw 223 e cosz 3z 1 i dz j dz z1 2 jel3a 22 38 4 10 Mostre que fz iy td nao é analitica em C 3 Gabarito 1 Dica Nas letras a b c e e escreva x e y partes real e imagindria de z em fungao de tf isole t em uma dessas expressoes e substitua o seu valor na outra para encontrar y como funcgao de x ou x como fungao de y a Segmento de reta ligando 0 a 2 i x2 b Paradbola de equagao y 9 onde x Rez e y Imz a 1 c Parte da hipérbole y na qual 0 x 1 onde x Rez e y Imz x d Arco do circulo de centro na origem e raio r no qual 4 argz 7 e Arco do circulo de centro na origem e raio 1 no qual Imz 0 f Circulo de centro em i raio r 2 3t 2a 2r para o arco do circulo V 13 1 5 para o segmento de reta 4 3 1 5 8 Ti 2 4 b r2 c d azul vermelho 3 6 6 3 2 3 2 3 Dica Escreva e coskt isen kt 5 Dica Use as propriedades vistas para a integral 1 6 Dica Para dz mostre que a igualdade vale para os circulos centrados na origem Depois usando Ce um teorema adequado mostre que ela vale para qualquer outra curva nas condicoes do enunciado Outra opgao é usar a Formula Integral de Cauchy 7 e g Dica Use frac6es parciais para separar o integrando em uma soma onde cada fator tem um polinémio de grau 1 no denominador Depois calcule a integral de cada um desses fatores separadamente Se necessario use um teorema adequado para calcular a integral ao longo de uma curva cuja expressao no integrando se torne mais simples 2 8a Ti b 514in1 o 2 1 iv30 T mie 9a Ari b ze e Cc 27ie d 5 e 37 Tt 877i f T h i j 0 Ji g oe a J 10 Dica Use 0 Teorema de Liouville