Slide - Funções de Variável Complexa - Funções Harmônicas 2021 1

Funcoes de Variavel Complexa Funcoes Harmˆonicas Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Julho de 2021 Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Funcoes Harmˆonicas Julho de 2021 1 17 Equacao de Laplace e funcoes harmˆonicas Uma das equacoes diferenciais parciais em duas dimensoes com maior numero de aplicacoes e a chamada equacao de Laplace dada por 2u x2 2u y 2 0 1 O membro no lado esquerdo de 1 e muitas vezes denotado por u lˆese Lapla ciano de u Dada uma regiao D R2 uma funcao u D R que satisfaz 1 e dita harmˆonica em D Exemplo A funcao u R2 R dada por ux y ex seny e harmˆonica em R2 pois 2u x2 ex seny e 2u y 2 ex seny x y R2 de modo que 1 e claramente satisfeita neste caso A equacao de Laplace modela problemas de calor movimento de fluidos elastici dade campos eletrostaticos e gravitacionais entre outros Aqui vamos mostrar que ha uma relacao entre funcoes analıticas e funcoes harmˆonicas Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Funcoes Harmˆonicas Julho de 2021 2 17 Funcoes analıticas e funcoes harmˆonicas Inicialmente vamos mostrar que as partes real e imaginaria de uma funcao analıtica podem ser vistas como funcoes harmˆonicas Considere f u iv uma funcao analıtica em uma regiao D C Escrevendo z x iy ux y ux iy e vx y vx iy podemos pensar u e v como funcoes de duas variaveis Ja vimos que por f ser analıtica ela possui derivadas de todas as ordens em D Isso nos garante que o mesmo ocorre para as derivadas parciais de u e v Mais ainda pelas equacoes de CauchyRiemann devemos ter em D u x v y e u y v x 2 Derivando a primeira das equacoes em 2 com respeito a x e a segunda com respeito a y nos obtemos que Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Funcoes Harmˆonicas Julho de 2021 3 17 Funcoes analıticas e funcoes harmˆonicas 2u x2 2v xy e 2u y 2 2v yx 3 Como 2v xy 2v yx ao somar as duas igualdades em 3 nos obtemos que 2u x2 2u y 2 0 De maneira analoga derivando a primeira igualdade em 2 com respeito a y a segunda com respeito a x e depois subtraindo uma da outra nos obtemos que 2v x2 2v y 2 0 Assim mostramos que dada uma regiao D C f u iv analıtica em D u e v harmˆonicas em D Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Funcoes Harmˆonicas Julho de 2021 4 17 Funcoes analıticas e funcoes harmˆonicas Exemplo f z ez e analıtica em C Como ez excosyi seny segue que ux y ex cosy e vx y ex seny sao harmˆonicas esta ultima ja havıamos verificado no exemplo do slide 2 Derivando sucessivas vezes as igualdades em 2 podemos mostrar que qualquer derivada parcial de u ou de v tambem e harmˆonica em D A pergunta que surge naturalmente e se qualquer funcao harmˆonica pode ser vista ou identificada como a parte real ou a parte imaginaria de uma funcao analıtica A resposta e sim conforme veremos Antes vejamos um exemplo Considerando a funcao harmˆonica ux y x2 y 2 vamos obter uma funcao analıtica f u iv isto e tal que u Ref Para f ser analıtica as equacoes de CauchyRiemann devem ser satisfeitas Em particular devemos ter v y u x v y 2x vx y 2xy gx Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Funcoes Harmˆonicas Julho de 2021 5 17 Funcoes analıticas e funcoes harmˆonicas onde g e uma funcao constante com relacao a y e infinitamente derivavel com relacao a x Derivando a ultima igualdade com respeito a x nos obtemos que v x 2y g x Usando novamente que as eq de CauchyRiemann devem ser satisfeitas obtemos v x u y 2y g x 2y g x 0 gx c constante Logo vx y 2xy c e f x iy ux y ivx y x2 y 2 i2xy c x iy2 ic isto e f z z2 C com C ic constante Esse procedimento pode ser feito para qualquer funcao harmˆonica u Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Funcoes Harmˆonicas Julho de 2021 6 17 Funcoes analiticas e funcoes harm6nicas aie Seja u uma funao harménica em uma regido simplesmente conexa D do plano Entdo existe v harménica em D de modo que f u iv é analitica em D Dem Fixe xo Yo De vo R Lembrando que para f ser analitica nds devemos ter Vv Uy Vy Ux equagdes de CauchyRiemann seria natural definir xy vx vo f uydx uxdy 4 x00 onde os indices no simbolo da integral indicam que elaécal culada ao longo de qualquer caminho simples em D ligando o7 O xo Yo a x y veja slide sobre o Teorema de Green paraa rn aa definicdo precisa da integral em 4 Mas para que v esteja Gon bem definida é necessdrio garantir que a integral em 4 de aa fato independe do caminho simples que liga xo yo a x y Conforme visto na Funcoes analiticas e funcoes harm6nicas demonstraao do Corolario da Independéncia do Caminho isso equivale a mostrar que a integral em 4 se anula ao longo de qualquer caminho fechado simples C Cc D Mas isto 6 uma consequéncia do Teorema de Green 0 qual nos garante que se C é um tal caminho e R é a regiao interior a C entdo et i 1 uydx uxdy Jf os uydxdy 0 Cc R a wee sendo a ultima igualdade decorrente do fato de wu ser harmGnica Assim v realmente esta bem definida Usando mais uma vez a definicao da integral em 4 nds podemos verificar que v uy e vy uy em D ie as equacdes de CauchyRiemann sao satisfeitas em D Como essas derivadas parciais sdo continuas pois u é harmGnica segue que f u iv éanaliticaem D of Uma funcado v como no enunciado do teorema anterior é chamada de funcao harmOnica conjugada de u O procedimento para obter uma tal fundo é o descrito nos slides 5 e 6 Princıpio do Modulo Maximo Para fechar o capıtulo vamos provar alguns resultados importantes sobre valores maximo e mınimo do modulo de funcoes analıticas e de funcoes harmˆonicas Teorema Princıpio do Modulo Maximo 1ª Versao Seja f uma funcao analıtica em uma regiao D C Se f assume valor maximo em D entao f e constante em D Dem Suponha que f assume valor maximo diga mos M em z0 D Inicialmente vamos mostrar que f deve ser constante em DRz0 onde R 0 e tal que DRz0 D De fato suponha por absurdo que existe z1 DRz0 tal que f z1 M Escrevendo r z1 z0 R e lembrando que DRz0 e uma re giao simplesmente conexa nos obtemos pela Formula Integral de Cauchy que Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Funcoes Harmˆonicas Julho de 2021 9 17 Principio do Médulo Maximo 1 f 1 f M Fz aif FO gl HA a 2m zzr 40 Qn zzor z Zo af 5 fz dz 2nr zzor Como zt zo re 0 t 2m uma parametrizacdo do circulo de centro zp e raio r com zt ire a sequéncia de desigualdades anterior nos dé que 1 2Qr 1 an M fz re ire dt fz re dt 5 5 ff fetrefiretae 5 rlore ae 8 24 Escrevendo z z re a continuidade de f junto com o fato de termos fz1 M nos dd que FZ re M para todo t em um intervalo naodegenerado contendo ty Isso junto com o fato de também termos fzo re M para todo t 0 27 Principio do Médulo Maximo e com um argumento classico de integrais de fundes reais nos garante que 20 FZ re dt M2r 0 Mas esta ultima desigualdade combinada com 5 nos da que M M um absurdo Isso prova que se f assume maximo em Zp D entdo f é constante em qualquer disco DrZ C D Pelo Exercicio 10 da Lista 2 f também deve ser constante em DrzZ Como a fundo constante g fz é analitica em D e coincide com f em DprZo 0 teorema enunciado a seguir garante que f deve ser constante em toda a regiao D concluindo a demonstracao a Princıpio do Modulo Maximo Teorema Unicidade da Extensao Analıtica Sejam f e g funcoes analıticas em uma regiao D C e que coincidem em uma vizinhanca de z0 D Entao f e g coincidem em toda a regiao D O Teorema da Unicidade da Extensao Analıtica e na verdade ainda mais forte Se f e g funcoes analıticas em uma regiao D coincidi rem em um conjunto de pontos que acumulam em um mesmo ponto z0 D entao elas coin cidirao em D A sua demonstracao exige alem de requisitos topologicos o uso de series de po tˆencias topico do proximo capıtulo Por isso ele sera admitido aqui Uma consequˆencia imediata do Princıpio do Modulo Maximo PMM e que se f e analıtica e nao constante em uma regiao D e z0 D entao em qualquer vizinhanca de z0 existe um ponto z tal que f z f z0 Outra importante consequˆencia e o corolario a seguir Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Funcoes Harmˆonicas Julho de 2021 12 17 Princıpio do Modulo Maximo Lembre que clD e frD denotam o fecho de D e a fronteira de D respectivamente Corolario Princıpio do Modulo Maximo 2ª Versao Seja f uma funcao analıtica em uma regiao limitada D C e contınua em clD Entao maxf z z clD maxf z z frD Dem Se f e constante o resultado e imediato Entao va mos supor f nao constante Como f e contınua em clD e este e um conjunto compacto pois D e limitada f assume valor maximo em clD resultado topologico Pela primeira versao do PMM f nao tem maximo em D Logo seu maxi mo em clD ocorre em algum ponto de frD Quando f nao se anula podemos substituir valor maximo por valor mınimo nas duas versoes do PMM De fato basta aplicar estes dois resultados a funcao g 1 f e notar a correspondˆencia entre valor mınimo de f e valor maximo de g Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Funcoes Harmˆonicas Julho de 2021 13 17 Princıpio do Maximo Note que nenhuma das versoes do PMM vale em R Por exemplo dado qualquer intervalo aberto contendo 0 o maximo de f x x2 neste inter valo ocorre em x 0 e apenas neste ponto As duas versoes do PMM implicam em resultados analogos para funcoes harmˆonicas Escreveremos mais uma vez ux iy ux y e vx iy vx y Teorema Princıpio do Maximo 1ª Versao Seja u uma funcao harmˆonica em uma regiao D R2 Se u assume valor maximo em D entao u e constante em D Dem Supondo que u assume valor maximo em D considere a funcao complexa f u iv onde v e uma conjugada harmˆonica de u Entao f e analıtica em D assim como a funcao F dada por Fz ef z Pelo Exercıcio 17b da Lista 1 Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Funcoes Harmˆonicas Julho de 2021 14 17 o Tar 7 8 Principio do Maximo Fz Jeo reo ely e como a fundo exponencial é crescente em R segue que F assume maximo em D Pela primeira versio do PMM F é constante o que implica que f e também u sao constantes 7 A demonstracao do corolario a seguir segue 0 mesmo procedimento da demons tracdo acima apenas substituindo a primeira pela segunda verso do PMM Corolario Principio do Maximo 2 Versao Seja u uma funado harménica em uma regiao limitada D C R e continua em clD Entdo maxux y xy clD maxux y x y frD Podemos substituir valor maximo por valor minimo nas duas versdes do Principio do Maximo De fato basta aplicar estes dois resultados 4 fundo u e notar a correspondéncia entre valor minimo de u e valor maximo de u Princıpio do Maximo Como exemplo de aplicacao considere o chamado pro blema de Dirichlet que consiste em obter uma funcao u D R2 R tal que u f em D e u g em frD 6 sendo D uma regiao e f D R e g frD R funcoes predeterminadas O problema de Dirichlet e um caso particular dos cha mados problemas de contorno os quais exigem que a solucao de uma equacao diferencial em D tambem satisfaca uma condicao na fronteira de D A equacao u f e chamada de equacao de Poisson Se o problema de Dirichlet tem solucao contınua ela e unica De fato supondo que u1 e u2 sao solucoes contınuas de 6 entao pondo u u1 u2 nos teremos u u1 u2 u1 u2 f f 0 em D Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Funcoes Harmˆonicas Julho de 2021 16 17 Princıpio do Maximo isto e u e solucao da equacao de Laplace 1 em D Alem disso em frD u u1 u2 g g 0 Como u e harmˆonica em D contınua em clD e que se anula frD segue do Prıncipio do Maximo 2ª Versao que u 0 em D Logo u1 u2 Outro problema de contorno importante e o chamado problema de Neumann onde se exige que a solucao da equacao de Poisson em D possua derivada normal coinci dindo com uma dada funcao em frD Seguindo o mesmo procedimento anterior podemos mostrar que se o problema de Neumann tem solucao contınua entao ela e unica O Princıpio do Maximo tambem pode ser usado para mostrar que tanto o problema de Dirichlet quanto o de Neumann possuem a chamada estabilidade com respeito a condicao na fronteira pequenas variacoes nos valores de g so podem acarretar pequenas variacoes nos valores de u Isso ocorre porque os valores de u em D nao podem variar mais que os seus valores na fronteira Daniel Reis de Oliveira UFRRJ Funcoes Harmˆonicas Julho de 2021 17 17