Lista 2 - Funções Analíticas - Variáveis Complexas 2021 1

1 Funcoes de Variavel Complexa IC 260 Lista 2 Funcoes Analıticas Prof Daniel Oliveira 1 Determine as partes real e imaginaria das seguintes funcoes a fz z2 5z 3 b fz z 2 z 2 c fz ezz i 2 Determine o domınio maximo de cada uma das seguintes funcoes a fz 1 z2 2z 2 b fz z z i sen y c fz z2 z 13 ez 1 cosy 3 Estabeleca os seguintes limites utilizando a definicao a lim z2i 2z 5 4i 5 b lim z3i z2 5z 9 15i c lim zi 5z i z i 2 d lim zi 7 z2 1 4 Prove que se lim zz0 fz L entao lim zz0 fz L 5 Prove utilizando a definicao que fz 1 z e contınua em C 0 6 Usando as propriedades adequadas obtenha os limites indicados Nas letras c d e e os limites se referem a um dos ramos da funcao raiz a lim zi z2 9 z 3 b lim z2i z3 8i z 2i c lim z0 1 z 1 z d lim z0 1 z 1 4 1 z e lim z0 1 z 1 3 1 z 1 3 z 7 Considere duas funcoes polinomiais pz anzn a1z a0 e qz bmzm b1z b0 onde n m N 0 aj bk C j 0 n e k 0 m an 0 e bm 0 Mostre que a lim z pz se n 1 b lim z pz qz 0 se n m an bm se n m se n m 8 Prove que se n Z 0 entao zn nzn1 para todo z C 9 Usando as regras de derivacao adequadas obtenha as derivadas das seguintes funcoes a fz 1 z2 4iz5 b fz z2 i3iz 12 c fz z 3i z 3i 10 Seja f D C C uma funcao analıtica onde D C e uma regiao Prove que f e constante em D se uma das seguintes condicoes for satisfeita a f 0 em D b fD R c f for constante em D 2 11 Use as equacgoes de CauchyRiemann para determinar o conjunto dos pontos onde as funcoes a seguir sao derivdveis Explicite a derivada fz neste conjunto Lembre que a derivada quando existe satisfaz que fe 4 120 a f2 2 b Fz 2 0 fe d Fz 2 e fx iy e e sen x e coszr f fa iy ecosx 7sen x g fz Vz Vrcos isen 2 onde r z e 6 argzcom 0 0 2r 12 Mostre que a fungao fz e é injetiva em qualquer faixa horizontal do plano complexo dada por aiyeC By8 27 onde GER 13 Determine os dominios mdximos das fungdes tangente cotangente secante e cossecante em C 14 Mostre que em C as fungoes seno e cosseno sao periddicas de periodo 27 e as funcgoes seno hiperbdlico e cosseno hiperbdlico sao periddicas de periodo 277 15 Prove que para todos z 21z2 Ce xy R vale que a senz cosz 1 b sen z senz e cosz cosz c sen z1 22 senz1 cosz2 sen 22 cos21 d cosz1 22 cosz1 cosz2 sen 21 sen 21 e sen z cos 5 2 e cosz sen 5 2 f sen tz isenhz e cosiz coshz g coshz senhz 1 h senhz z2 senhz coshz2 senhz2 coshz1 i coshz z2 coshz coshz2 senhz senhz j senhz iz senhz e coshz im coshz k tghz iz tghz 1 senha cosha iy coshz 16 Mostre que log logz1 logz2 Vz1 z2 C 0 no sentido da igualdade de conjuntos 17 Mostre que log1 2k 1mi k Z e logt ta Ke Z 18 Determine as raizes das seguintes equacoes ae V3 431 b 34 1 c e 6e 5 d logz 19 Mostre que uma vez fixado o argumento da constante c 0 a fungao fz c é analitica com derivada c c logc 20 Mostre que 22 zz g e z7 2 onde z 0 e ab sao complexos quaisquer 21 Mostre que 7 é sempre real e obtenha todos os seus possiveis valores 3 22 Determine 1 ii e 3 ii 23 Determine todas as raızes das equacoes cosz 3 e sen z 3 Gabarito 1a ux y x2 y2 5x 3 e vx y 2xy 5y b ux y x2 y2 4 x 22 y2 e vx y 4y x 22 y2 c ux y exx cosy y 1 sen y e vx y exx sen y y 1 cosy 2a C 1 i 1 i b z x iy C z i e y kπ k Z c z x iy C z 2kπi k Z e y π 2 kπ k Z 3b Dica Opcao 1 Some e subtraia uma constante adequada em fz L z2 5z 9 15i para escrever esse polinˆomio na forma z 3i Opcao 2 Escreva fz L z2 5z 9 15i z 3iz α onde α pode ser encontrado usando a formula de Bhaskara ou divisao de polinˆomios 4 Dica Use a desigualdade triangular 6a i 3 b 12 c 1 2 para o ramo correspondente a k 0 e para o ramo correspondente a k 1 d 1 4 para o ramo correspondente a k 0 e para os demais ramos e 2 3 para o ramo correspondente a k 0 1 3 i 3 3 para o ramo correspondente a k 1 e 1 3 i 3 3 para o ramo correspondente a k 2 9a f z 2z 20iz4 z C b f z 2z2 i2iz 14iz2 3z 1 z C c f z 6i z 3i2 z C z 3i 10a Dica Mostre inicialmente que f e constante ao longo de segmentos de reta Para tal use a expressao para f z dada em funcao das derivadas parciais de u e v e o Teorema do Valor Medio b Dica Use o item a c Dica Use as equacoes de CauchyRiemann em coordenadas polares e o item a 11a f e analıtica em C com f z 3z2 b f nao e derivavel em nenhum ponto de C c f nao e derivavel em nenhum ponto de C d f e analıtica em C 0 com f z 1 z2 4 e f é derivdvel apenas nos pontos z aiyEeCtqyNer kxk Z Nestes pontos fz 0 f f é analitica em C com fx iy esen x i cosx g f é analitica em C 0 com fz ae 13a Tangente e secante C 5 k ke zh b Cotangente e cossecante C k7k Z 15c d h e i Dica Desenvolva o membro do lado direito da igualdade 1 Dica Escreva e ecosbisen b para os termos que aparecem em coshaziy e calcule o médulo 16 Dica Use a propriedade ja provada para o produto 18a z log2V3 2 2km eZ b z in eZ c z log2 2knik Z ou z log3 2k7ik Z d z i 21 e 27 EZ 22 1i e 7 Ar ti loslv2 KEZ ce V3i e7bA4 tiles f EZ 23 cosz 3 tem como solucdes z 2km ilog3 2V2k Z senz 3 tem como solucdes z 2km ilog3 2V2k Z