Exercícios de Cálculo 3

Seja S a superfície de equação paramétrica ruv uvu2 v2 Determine a equação do plano tangente a S no ponto P0 r20 Escolha uma opção 4x z 2 0 4x z 4 0 4x z 4 0 2x z 4 0 2x z 2 0 Seja S a parte do plano z 2y interior ao paraboloide z x2 y2 orientada de modo que n k 0 Seja F z z y yx2 y3 O valor da integral S rot F n dS é Escolha uma opção π π 2π 2π 0 Seja S a parte do elipsoide 4x2 y2 z2 1 que está acima do plano z 0 O valor da integral S z12x2 1 dS é Escolha uma opção 7π8 5π4 π 11π4 4π Seja S a superfície cônica x² y² z² com 0 z 2 Usando o Teorema de Gauss calcule a integral S xxy yyz z² z dS Escolha uma opção 162π 163 2π 122π 323 2π 62π Seja dado o campo Fx y z xx² y² z²32 i yx² y² z²32 j zx² y² z²32 k e seja S S₁ S₂ onde S₁ é a porção do cilindro x² y² 4 entre os planos z 0 e x z 3 com normal apontando para fora e S₂ é a porção do plano x z 3 interna ao cilindro x² y² 4 com normal n tal que n k 0 Calcule S F ndS Escolha uma opção π 2π 0 4π 3π Considere o campo vetorial Fx y z x z² y z² 12 x² y² e seja S a porção do hiperboloide de uma folha de equação x² y² z² 1 entre os planos z 3 e z 22 Calcule S F ndS Escolha uma opção 193 π 6π 134 π 193 π 134 π A área da superfície do cilindro x 4 y2 que está acima do plano z0 e abaixo do plano zx é Escolha uma opção 2 integral04 4t sqrt1 4 t2 dt 2 integral02 4 t2 sqrt1 4 t2 dt 2 integral02 2 t2 sqrt4 t2 dt 2 integral02 t sqrt1 4 t2 dt 2 integral02 2t sqrt1 4 t2 dt Seja Fxyz sinx2z 2yz i 2xz siny2 z j sinx2y2 k e seja gamma a curva interseção do cilindro x2 y2 1 com o plano z 3 percorrida de maneira tal que sua projeção no plano xy rode em sentido horária Calcule integralgamma F dr Escolha uma opção 16pi 12pi 16pi 12pi 0 x2 y2 z2 x r cos theta y r sen theta z r dS partial r partial z partial r partial theta dz dtheta determinant matrix with rows ijk and entries cos theta sen theta 1 sen theta z cos theta 0 d z dtheta sqrt2 z dz dtheta xxyyyzz2 z z2 cos theta cos theta sen theta z2 sen theta sen theta 1 z2 z z2 2 sen theta cos theta 1 z double integral from theta 0 to 2pi and z 0 to 2pi fz theta sqrt2 z dz dtheta 2 ₀²π ₀² z3 dz dθ 2 ₀²π ₀² z3 seno θ₀1 dz dθ 2 ₀²π ₀² z2 dz dθ 3 1 ₀²π 2 ₀² z3 dz dθ ₀²π 2 z44 ₀² dθ ₀²π 2 164 dθ16π 2 ₀²π ₀² z3 seno θ₀1 dz dθ ₀² z3 dz ₀²π seno θ₀1 dθ integral num periodo0 14 0 0 ₀²π ₀² z2 dz dθ ₀² z2 dz ₀²π dθ z33 ₀² 2π 16π3 Resultado 16π 16π3 2 323 2 π d 2 Fn ds 4π campo radial Svs₃ F n ds 0 S₃ Roio F xyz xx²y²³2 yx²y²³2 0 F ẑ 0 Fn ds 4π 0 4π 3 F xyz x z² y z² 12 x²y² F x x z² y y z² z 12 x² y² z² z² 0 Fn ds 0 divergência nula Fechado F ds F ds F ds S topo S sot Fluwo nos tampos Lampa superior z3 r 2 Fxy3 3x 3y 12 x² y² F n 12 x2 y2 F ds 12 r2 dr dθ 12 03 r2 dr 2π 8π3 Limape inferior z 22 r 3 F ds 12 r2 dr dθ 12 9 2π 9π ω F ds 8π3 9π 19π3 Parametrizando xt cos t yt sin t zt 3 rt sin t cos t 0 Fcos t sin t 3 sin cos2 3 6 sin t 6cos t sin sin2 3 2 sin t F rt 6 sin t sen cos2 3 cos t sen sin2 3 de 0 a 2π os funções são periódicas sobrando apenas 02π 6 dt 12π 5 No ponto 20 P0 20 22 02 204 ruu 0 xu yu zu 102u rvu v xv yv zv 012v h n120 x n220 i j k 1 0 4 0 1 0 401 Equação 4x2 0y0 1z4 0 4x z 4 0 VxFndS Fd r atéres 2y x2 y2 x2 y12 1 xt cos t yt 1 sen t zt 21 sen t 2 2 sen t F1 2 2 sen t F2 1 sen t F3 1 sen t cos2 t 1 sen t3 02π Futut dt 2π z 1 2x2 1 dS 1 12x2 dxdy 4x2 y2 4 x2 r24 cosθ 1 12x2 r2 dr dθ 02π 01 1 12x2 r2 dr dθ 02π 14 38 cos2 θ dθ 02π 14 dθ 38 02π cos2 θ dθ π2 3π8 7π8 2 y 2 0 z 4 y2 Γy z 4 y2 y z Γyz 2y 1 0 Γz 0 0 1 Γy x Γz i j k 2y 1 0 0 0 1 1 2y 0 dS sqrt1 4y2 dy dz Area from y2 to 2 from z0 to 4y2 sqrt1 4y2 dz dy from 2 to 2 4 y2 sqrt1 4y2 dy 2 from 0 to 2 4 y2 sqrt1 4y2 dy