Avaliação Calculo 3

A temperatura ºC em qualquer ponto xy de uma placa é dada por T 500 06x2 15y2 onde x e y são medidos em metros Determine a taxa de variação da temperatura com distância ao longo dos eixos x e y no ponto 23 A temperatura ºC em qualquer ponto xy de uma placa é dada por T 500 06x2 15y2 onde x e y são medidos em metros Determine a taxa de variação da temperatura com distância ao longo dos eixos x e y no ponto 23 Lista Z 4 ex²y³ u 39 Z 4 eu 50 Zy Zu uy Zy 4eu 3x2y2 12eu xy 12ex²y³ x²y³2 a Lista Z 4 ex²y³ u 39 Z 4 eu 50 Zx Zu ux Zx 4eu 2xy3 8eu xy3 8ex²y³ 11 b Z x3 ln1 xy35 ux v u vx u x3 ux 3x2 v ln1 xy35 a 1 xy35 v ln a va 1a vx va ax 1a γ 35 γ 35 a γ 35 1 xy35 ① b z x3 ln1 xy35 uv uv uv u x3 ux 3x2 v ln1 xy35 a a 1 xy35 ax y35 zx 3x2 ln 1 xy35 x3 y35 1 xy35 ① b z x3 ln 1 xy35 uy v u vy u x3 uy 0 v ln 1 x y35 a v ln a va 1a vy 1a ay 11 x y35 35 x y85 a 1 x y35 ay 35 x y85 vy 3 x y85 51 xy35 ① b z x3 ln 1 xy35 uy v u vy u x3 uy 0 zy 0 ln1 x y35 x3 3 x y85 5 1 x y35 13 zx e zy b x2 zsenxy³0 1 x² dx²dx 2x x² dx²dz 0 2 zsenxy³ μ μ xyz μ₃ xyz zx fxfz 2x 32 y cosxyz³ 0 xyz cosxyz³ zx 2x 32 y cosxyz³ xyz³ cosxyz³ zsen u dz sen udu zcos u xyzzcos u xyzcosxyz³ SOUZA Calcule a ünclinaçãu da reta tangente à in terseçãu da superfiue 2 42y xy³ com 3 plano y 2 no ponto 3 248 df8 4 xxxy³ 8xy 3 3 Reta yaxb 기 inctinaçãu dareta бx dx dz8xyy gx0 d tg 40 X 3 ey2 Inclinaçad 8322 3 d 8857 Coefcienk anguler 8xyy3 40 L Jnclınaçãu da reta L coel Linecr 2 Determine a inclinação da reta tangente a interseção da superfície z x³ y² 2xy com plano y 1 no ponto 1 1 4 x y z 1 fx x³ y² 2xyx 3x² 2y zx 3x² 2y 2 x 1 e y 1 Inclinação 31² 21 5 2 tg α 5 3 α tg¹ 5 α 787 3 Determine as derivadas parciais a fx y x² y³sen x μ v μ x² y³ v sen x fx μv μvx regra do produto μx 2x vx cos x fx 2xsen x x² y³cos x fy μv μvy μ x² y³ v sen x fy 3y²sen x x² y³0 μy 3y² vy 0 3y²sen x b fx y μx²y y²x μ v μ v Regra do Quociente μv μv v² fx 2xyy² y²x² 0x y²1x² μ x² v y μx 2x vx 0 μ y² v x μx 0 vx 1 ẏ y² y y¹ 1y fx 2xy y²x² c fx y sen2x 3y μ fx μx zμ μ 2x 3y μx 2 fx 2cos μ z sen μ 1zμ cos μ fx 2cos2x 3y c f x y Sen 2x 3y Mu 2x 3y mu y 3 f y mu y z mu z Sen mu z mu cos mu f y 3 cos mu f y 3 cos 2x 3y d f x y 2x2 3y33 Mu 2x2 3y3 mu x 4x z mu3 z mu 3 mu2 f x mu x z mu f x 4 x 3 mu2 f x 12 x 2x2 3y32 e f x y sqrt5 x6 y3 5 x6 y312 Mu 5 x6 y3 mu x 30 x5 y3 z mu12 z mu 12 mu12 f x mu x z mu 30 x5 y3 12 5 x6 y312 f x 15 x5 y3 1sqrt5 x6 y3 15 x5 y3 sqrt5 x6 y3 e f x y sqrt5 x6 y3 5 x6 y312 Mu 5 x6 y3 mu y 15 x6 y2 z mu12 z mu 12 mu12 f y mu y z mu 15 x6 y2 12 mu12 f y 152 x6 y2 5 x6 y312 152 x6 y2 1sqrt5 x6 y3 A área de um triângulo é dada por K 12 a b sen C para a 20 b 30 e C 30 Determine a a taxa de variação de K em relação a quando b e C forem constantes dKda d12 a b senCda 12 b sen C dKda 12 30 sen 30 12 30 12 304 152 b a taxa de variação de C quando a e b forem constantes K 12 a b sen C dKdC 12 a b cos C dKdC 12 20 30 cos 30 dKdC 300 3 2 1503 a a taxa de variação de b em relação a quando K e C são constantes K 12 a b senC 2K a b sen C 2K a sen C b b 2K μ a sen C ν b 2K μ a sen C μ a v μ v a v² regra do quociente b 2K μ a v 1 senC dbda 0 a 2K 1 a² 1 senC dbda 2K a² senC 212 a b senC a² senC dbda a b a² b a dbda b a 30 20 32 2 Encontre a inclinação das curvas de interseção da superficie z 3x² 4y² 6 com os planos que passam pelo ponto 1 1 1 e são paralelos aos planos de coordenadas xOz e yOz 1 xOz z 3x² 4y² 6 zx 6x no plano x 6 1 6 2 yOz z 3x² 4y² 6 zy 8y Sendo y 1 no plano y 8 1 8 inclinação yOz Diferencial Total de uma função de 2 ou mais variáveis A condição para que a função seja diferencial é que suas derivadas parciais existam Assim sendo z fxy seu diferencial total é dz fx dx fy dy Ex z 3x³y² 2xy³ xy 1 fx 9x²y² 2y³ y fy 6x³y 6xy² x² dz 9x²y² 2y³ y dx 6x³y 6xy² x² dy 2 fxy 1xy determine dz fx 0xy 1yxy² yxy² yx²y² 1x²y μ 1 υ xy μₓ 0 υ y fy 0xy 1xxy² xx²y² 1xy² υ xy μ 1 μᵧ 0 υᵧ x dz 1x y₂ dx 1xy² dy y¹ 1y 2 Se fxy xcosy yex determine dz ① fx xcosy yexx 1cosy yex ② fy xcosy yexy xseny 1ex dz cosy yex dx x seny ex dy Diferencial total de várias variáveis L₁ as derivadas parciais devem ser contínuas Ex determine o diferencial total Fxyz 2x 3xy 2zy dF Fx dx Fy dy Fz dz dF 2 3y dx 3x 2z dy 2y dz Derivada de Funções Compostas Seja a função fxy onde por sua vez x xt e y yt A derivada desta função em relação a t é dfdt fx dxdt fy dydt y dudx dydu Regra de cadeia Ex Calcule a derivada de Fxy x2 3y 5 onde xt et e yt t3 Se a função tiver mais de 2 variáveis fx1x2xn onde x1t x2t xnt são funções de t então a derivada em relação a t é dada pela regra da cadeia dfdt Σ i1n fxi dxdt fx1 dx1dt fx2 dx2dt fxn dxndt 1 Dada a função fxyz 2x 3y 2z onde x sent y et e z t2 dFdt fx dxdt fy dydt fz dzdt fxyz 2x 3y 2z fx 2 fy 3 fz 2 x sent dxdt cost y et dydt et z t2 dzdt 2t dFdt 2cost 3et 22t 2cost 3et 4t 3 fxyz exyz onde xt t2 yt t3 zt t 1 fxyz eu u x y z em relação x ux 1 fu eu fu eu fx 1eu exyz Em relação a y uy 1 fu eu fu eu fy 1eu exyz 2 xt t2 dxdt 2t 2 yt t3 dydt 3t2 dFdt exyz2t exyz3t2 exyz1 exyz2 3t2 1 u x y z em relação z uz 1 fu eu fu eu fz 1eu exyz 2 zt t 1 dzdt 1 fx dxdx fy dydx 0 fx 1 fy dydx 0 fy dydx fx dydx fx fy dydx fxfy Ex ① Seja x² y³z 0 determine zx fxfz 2x1 2x zy fyfz 3y²1 3y² ② x² xy² xy³ 3 0 Determine zx e zy ③ zx fxfz 2x y² y³ 3xy³² 2x y² y³ 3xy³² fxfz 2x y² y³ 3xy³² fx 2x y² y³ fy 0 2xy x y³ fz 0 0 3xy³² ② x² xy² xy³ 3 0 Determine zx e zy ② zy fyfz 2xy x³ 3xy³² fyfz 2xy x³ 3xy³² fx 2x y² y³ fy 0 2xy x³ fz 0 0 3xy³² Derivadas Parciais de Segunda Ordem Se f é uma função de duas variáveis x e y suas derivadas parciais são fx fx e fy fy Se derivarmos essas derivadas mais de uma vez obtemos as derivadas parciais de segunda ordem que são representadas por fxx ²fx² fy y ²fy² fxy ²fxy fyx ²fyx ① fxy 4x² 3y² 6xy a fx 8x 0 6y 8x 6y b fxx 8 c fxy ⁰fy 0 6y 6x 6y 6x d fy 6y 6x e fyy ⁰²fyy 6 f fyx 6 ¹ºfx 8x 6y ²ºf yx 6 Derivada de Funções Compostas Seja a função fxy onde por sua vez x xt e y yt A derivada desta função em relação a t é dfdt fx dxdt fy dydt Ex Calcule a derivada de Fxy x2 3y 5 onde xt et e yt t3 y dudx dydu Regra da cadeia Se a função tiver mais de 2 variáveis fx1x2xn onde x1t x2t xnt são funções de t então a derivada em relação a t é dada pela regra da cadeia dFdt Σ i1 to n fxi dxidt Dada a função fxyz 2x 3y 2z onde x sen t y et e z t2 dFdt fx dxdt fy dydt fz dzdt fxyz 2x 3y 2z 1 fx 2 2 x sen t dxdt cos t 3 fy 3 y et dydt et 4 fz 2 z t2 dzdt 2t dFdt 2 cos t 3 et 2 2t 2 cos t 3 et 4 t 3 fxyz exyz onde xt t2 ytt3 zt t1 fxyz eu u x y z em relação a x ux 1 fu eu fu eu 1 fx 1 eu exyz Em relação a y u x y z uy 1 fu eu fu eu 1 fy 1 eu exyz 2 yt t3 dydt 3 t2 dFdt exyz 2t exyz 3 t2 exyz 1 exyz 2 3 t2 1 u x y z em relação a z u 1 fu eu fu eu 1 fz 1 eu exyz 2 zt t 1 dzdt 1 Lista de exercícios TDE 1 seja fxy x²y 1 determine a f21 x²y 1 2²1 1 5 b f12 x²y 1 1²2 1 3 c f00 x²y 1 0²0 1 1 d f13 x²y 1 1²3 1 2 1 1 e f3a0 x²y 1 3a²0 1 9a²0 1 9a³ 1 9a³ 1 a³ 19 1 fabab x²y 1 ab²ab 1 a²b²ab 1 2 SEJA fxy xy 3 determine a fxyxy xyxy 3 x² xy xy y² 3 x² y² 3 FORONI 3 Determine fgx hx se fxyxexy gxx3 hx3x1 b tx t yt 1 x 3X2 y 2 8 estga z2 sqrt log y determine 9 Seja tf xy 3 x 2 y b Determinar a inclinação da superfície zfxy na direção y no ponto 42 b Determinar a taxa de variação de z em relação a y no ponto 42 com x fixo By z x3 y 1 x y35 yx 1 x y35 zy 3 x2 y2 12 x2 y x2 y2 zx 3x2 y2 x3 y2 zx y3 1 x y35 1 zy 3 x2 y3 1 x y25 x y 0 zx y3 1 x y25 x3 y2 1 x y25 α0 1 x y35 v0 ln y a0 dy y35 dy y35 α0 α0 1 x y35 2x α0 2x x α0 1 x y35 y35 y35 α v α 1 x y35 v x3 y 0 dx v x3 v 0 v x y z v x y z α0 1 x y35 dy y35 y35 α0 dy y35 1 x y35 d2 3 x2 ln 1 x y35 x3 y35 α0 d y d y v ln α0 v ln α0 v ln 1 x y35 α0 1 x y35 dy 3 x y y35 0 v dy y35 v 1 α0 dy 1 x y35 0 v 1 x 3 x y dy v 1 x y35 v dy 3 x y35 5 1 x y35 ddp 4 cos mx2 y2 d p dz 4 cos m 3 x2 y2 p 1 x y35 x3 3 x y35 5 1 x y35 dpdy and dz dx 0 1 ddp x2 p 2 x ddp 0 w2 x w1 x y z w1 x y z p x2 p 2 x dzdp 0 ddp dx d x sin m Z cos m d m d m X p dp dx p dzdp 0 ddp Wx 2y 2 2 ddp 0 ddp cos m 1 x y35 1 x y35 2 px py pz 2 cos m x y z x y z z sin m 0 x y z 2 cos m x y z x y z 2 cos m x y z x y z 2 cos m x y z z sin m 0 2 x y z x y z 2 z sin m 0 x y z 2 x y z x y z 2 x y z 2 z cos m 2 x y z 2 z cos m 2 x y z x y z 2 z cos m 2 x y z 2 z cos m 2 x y z 2 z cos m dx 2 x y z 2 z cos m x y z cos a X x2 y2 z2 1 x2 y2 z2 12 21 5474 Z e1 xy x t13 y t3 Z e1 t43 Z e1 t43 w 1 t43 u 10 t73 3 Z eu Z eu dZ Zu u dt eu 10 t73 3 10 t73 t73 3 6 Funções de Várias Variáveis Seja D um subconjunto região do espaço IR2 chamase função f de D toda a região que associa a cada par x y D um único no real fx y fx y Z fx y D é domínio da função IR2 fx y é o valor da função calculado em x y Se fx y 3x y12 f1 2 31 212 512 5 Dominio fx y y x y x 0 D x y IR2 y x 0 Dominio fx y x3 3x y 3x y 0 D x y IR2 3x y 0 Dominio fx y x2 2x y 2x y 0 D x y IR2 2x y 0 Dominio fx y 4x2 9y2 D x y IR2 x y IR Dominio fx y ln x2 y2 x2 y2 0 D x y IR2 x2 y2 0 Derivadas Parciais A definição de derivadas parciais de uma função de 2 variáveis é a mesma que a de funções de uma variável a diferença é que com 2 variáveis uma delas deve ser mantida fixa fx fxxy Derivada parcial em x fy fy xy Derivada parcial em y 1 fxy 3x³y² fx fx 33x²y² 9x²y² fy fy 3x³2y 6x³y 2 fxy x² y² fx 2x 0 2x fy 2y 3 fxy x u x² y² v fx ux v u vx v² u x ux 1 fx 1x² y² x 2x x² y²² fx x² y² 2x² x² y²² x² y² x² y²² 3 fxy x u x² y² v fy uy v u vy v² u x uy 0 fy 0x² y² x 2y x² y²² fy 2xy x² y²² 4 fxy 3x³y² 2xy³ xy 1 fx 33x²y² 21y³ 1y 0 9x²y² 2y³ y fy 3x³2y 2x3y² x1 0 6x³y 6xy² x