Lista de Exercícios Resolvidos: Vetores Velocidade e Aceleração - Cálculo Vetorial

8 Determinar os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante t Determinar ainda o módulo desses vetores no instante dado a rt 2cost i 5 sent j 3 k t π4 b rt et i e2t j t ln2 9 A posição de uma partícula em movimento no plano no tempo t é dado por xt 12 t 1 e yt 14 t2 2t 1 a Escrever a função vetorial rt que descreve o movimento dessa partícula b Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração c Esboçar a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração no instante t 5 10 No instante t a posição de uma partícula no espaço é dada por xt t2 yt 2t e zt 4 t3 a Escrever a função vetorial que nos dá a trajetória da partícula b Determinar um vetor tangente à trajetória da partícula no ponto P124 c Determinar a posição a velocidade e a aceleração da partícula para t 4 11 Se rt é o vetor posição de uma partícula em movimento mostrar que o vetor velocidade da partícula é perpendicular a rt a rt cost sent b rt cos 3t sen 3t 12 Dados ft t j t2 k e gt t2 j t k determinar a ft x gt b ft gt c ft x ft d gt gt Nas questões que seguem determinaremos os vetores velocidade e por vezes o vetor aceleração os quais serão denotados respectivamente por v e a e esses são obtidos através das relações v t ddt xt a t d²dt² xt ddt v t onde xt é uma função posição De posse disso temos as questões 8 a r t 2cos t i 5 sen t j 3 k t π4 O vetor velocidade é v t ddt r t ddt 2 cos t i 5 sen t j 3 k ddt 2 cos t i ddt 5 sen t j ddt 3 k 2 sen t i 5 cos t j v t 2 sen t i 5 cos t j A aceleração é a t ddt v t ddt 2 sen t i 15 cos t j ddt 2 sen t i ddt 5 cos t j 2 cos t i 5 cos t j a t 2 cos t i 5 cos t j Em t π4 temos cos π4 22 sen π4 logo v t t π4 2 22 i 5 22 j 2 i 5 22 j a t t π4 2 22 i 5 22 j 2 i 5 22 j b n t et i e2t j t ln2 O vetor velocidade é v t ddt n t ddt et i e2t j et i 2 e2t j v t et i 2 e2t j O vetor aceleração é a t ddt v t ddt et i 2 e2t j et i 4 e2t j a t et i 4 e2t j Agora explicitaremos os valores de v t e a t em t ln2 usando a identidade e lna a temos v ln2 eln2 i 2 e2 ln2 j 2 i 2 eln 14 j 2 i 2 1 4 j 2 i 12 j e a ln2 eln 2 i 4 eln 14 j 2 i 4 17 j 2 i j Portanto v ln2 2 i 12 j e a ln2 2 i j a xt 12 t1 yt 14 t2 2t 1 Note que y 14 t12 Portanto y 14 2x2 y x2 a A função ft é ft xt î yt ĵ 12 t1 î 14 t2 2t 1 ĵ ft t12 î t2 2t 14 ĵ é a função procurada b Os vetores velocidade e aceleração são obtidos fazendo vt ddt ft ddt t12 î t2 2t 14 ĵ 12 î 2t 24 ĵ 12 î t12 ĵ vt 12 î t12 ĵ Já o vetor aceleração é at ddt vt ddt 12 î t12 ĵ 0 î 12 ĵ 12 ĵ at 12 ĵ c Em t 5 temos vt 12 2 at 0 12 10 xt t2 yt 2 t zt 4 t3 a A função trajetória é dada por ft t2 î 2t ĵ 4t3 k b O vetor tangente a curva ft é dado por ft ddt t2 î 2t ĵ 4t3 k 2t î 2 12 t12 ĵ 4 13 t23 k 2t î 22t ĵ 43 t23 k 2t î 1t ĵ 43 t23 k ft 2t î 1t ĵ 43 t23 k que é vetor tangente a curva ft No ponto p124 temos 1 t2 t 1 2 2t t 1 4 4t3 t 1 Logo o parâmetro associado ao ponto P é t 1 Então o vetor tangente é obtido em t 1 como ft1 2 î 1 ĵ 43 k 2 1 43 e 2 1 43 é um dos vetores tangentes à trajetória ft associada ao ponto P1 2 4 c O vetor velocidade é vt ddt ft ft 2t î 1t ĵ 43 t23 k ccd em t 4 temos vt4 8 î 12 ĵ 43 423 k 8 î 12 ĵ 43 316 k Ou seja vt4 8 î 12 ĵ 43 316 k Já o vetor aceleração é at ddt vt ccd ddt 2t î 1t ĵ 43 t23 k 2 î 12 t32 ĵ 43 23 t53 k 2 î 12 t32 ĵ 89 t53 k Para t 4 obtemos at4 2 î 12 1316 ĵ 89 123 1024 k at4 2 î 12 316 ĵ 89 31024 k 11 a rt cos t sen t O vetor velocidade é rt vt ddt cos t sent sent cos t Mostraremos que rt é perpendicular ao vetor vt ou seja r vt 0 t R onde denota o produto escalar euclidiano usual Então temos r v²t cos t sent sen t cos t cos t sen t sen t cos t 0 t R Logo r v 0 rt vt que prova o desejado b rt cos 3t sen 3t O vetor velocidade é vt ddt rt ddt cos 3t sen 3t ddt cos 3t ddt sen 3t 3 sen3t 3 cos3t vt 3 sen3t 3 cos3t Agora verificaremos a condição anterior para a perpendicularidade de rt e vt Com efeito r vt cos 3t sen 3t 3 sen 3t 3 cos 3t 3 sen 3t cos 3t 3 cos 3t sen 3t 0 t R Logo r v 0 rt vt provando o desejado 12 ft ti t² j e gt t² j tk a Vamos determinar f x g com efeito ft x gt i j k 0 t t² 0 t² t i t² t⁴ j 0 k 0 t² 1 t² i t² t⁴ i Logo f x g ddt f x g ddt t² t⁴ i 2t 4t³ i f x g 2t 4t³ i b Calcularemos ft gt com efeito ft gt 0 t t² 0 t² t t³ t³ 0 Logo ft gt 0 Com isso é imediato que ft gt 0 c Determinaremos ft x ft com efeito ft x ft i j k 0 t t² 0 t² t² i t³ t³ j 0 k 0 0 Logo f x ft 0 f x f² 0 d Calcularemos gt gt com efeito gt gt 0 t² t 0 t² t t⁴ t² gt gt t⁴ t² Então temos que gt gt ddt gt gt ddt t⁴ t² 4t³ 2t gt gt 4t³ 2t