Lista de Exercícios Resolvidos Calculo 2 Fatec Integrais Definidas

FATEC MIGUEL REALE CÁLCULO II prof dr HENRIQUE FURIA SILVA BIMESTRE 1 20092023 MCA019 MANUTENÇÃO INDUSTRIAL httpwwwfatecitaqueraedubr Av Miguel Ignácio Curi 360 São Paulo SP 011 20564347 2 Integrais definidas Calcule as seguintes integrais definidas a 3 𝑥 112 𝑑𝑥 7 1 b sin3 𝑥 𝑑𝑥 𝜋3 0 c 𝑥 2 3 𝑥2 𝑑𝑥 7 2 d 1 𝑥 3 𝑑𝑥 7 2 LISTA DE EXERCÍCIOS CÁLCULO 2 Integrais definidas Calcule as seguintes integrais definidas a 7 1 3 𝑥 112 𝑑𝑥 b 𝜋3 0 sin3 𝑥 𝑑𝑥 c 7 2 𝑥 2 3 𝑥2 𝑑𝑥 d 7 2 1 𝑥 3 𝑑𝑥 Solução a Começaremos reescrevendo o termo dentro dos parênteses 3𝑥 112 9𝑥2 66𝑥 121 Logo temos que 7 1 3𝑥 112 𝑑𝑥 7 1 9𝑥2 66𝑥 121 𝑑𝑥 9 𝑥3 3 66 𝑥2 2 121 𝑥 7 1 3𝑥3 33𝑥2 121𝑥 7 1 3 73 33 72 121 7 3 13 33 12 121 1 4 1331 3 26 121 1859 4 27 3 26 9 507 3 343 33 49 847 3 1 33 1 121 1029 1617 847 3 33 121 3493 157 3336 b Para calcular a integral definida deveremos realizar uma substituição de variável Seja 𝑢 3𝑥 então 𝑑𝑢 𝑑𝑥 3 e consequentemente 𝑑𝑥 1 3𝑑𝑢 Se 𝑥 0 então 𝑢 3 0 0 Se 𝑥 𝜋 3 então 𝑢 3 𝜋 3 𝜋 Substituindo os valores encontrados na integral definida temos que 𝜋3 0 sin3 𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 sin𝑢 1 3 𝑑𝑢 1 3 𝜋 0 sin𝑢 𝑑𝑢 1 3 sen𝑢 𝜋 0 1 3 cos𝜋 cos0 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 2 2 3 c Para calcular a integral definida deveremos realizar uma substituição de variável Seja 𝑢 2 3𝑥2 então 𝑑𝑢 𝑑𝑥 6𝑥 e consequentemente 𝑑𝑥 1 6𝑥 𝑑𝑢 Se 𝑥 2 então 𝑢 2 3 22 2 12 14 Se 𝑥 7 então 𝑢 2 3 72 2 147 149 Substituindo os valores encontrados na integral definida temos que 7 2 𝑥 2 3 𝑥2 𝑑𝑥 149 14 𝑢 1 6 𝑑𝑢 1 6 149 14 𝑢 12 𝑑𝑢 1 6 𝑢 32 32 149 14 1 6 2 3 𝑢 32 149 14 1 6 2 3 𝑢 32149 14 1 9 149 32 14 32 1 9 149 149 14 14 149 149 14 14 9 d Para calcular a integral definida deveremos realizar uma substituição de variável Seja 𝑢 𝑥 3 então 𝑑𝑢 𝑑𝑥 1 e consequentemente 𝑑𝑥 𝑑𝑢 Se 𝑥 2 então 𝑢 2 3 5 Se 𝑥 7 então 𝑢 7 3 10 Substituindo os valores encontrados na integral definida temos que 7 2 1 𝑥 3 𝑑𝑥 10 5 1 𝑢 𝑑𝑢 ln 𝑢 10 5 ln10 ln5 ln2 5 ln5 ln2 ln5 ln5 ln2 Técnicas de Integração Utilizadas Método da substituição para Integrais Definidas Se 𝑔 é contínua em 𝑎 𝑏 e 𝑓 é contínua no intervalo de 𝑢 𝑔𝑥 então 𝑏 𝑎 𝑓 𝑔𝑥 𝑔𝑥𝑑𝑥 𝑔𝑎 𝑔𝑏 𝑓 𝑢𝑑𝑢 Exemplo 4 0 2𝑥 1𝑑𝑥 Utilizando o método da substituição temos 𝑢 2𝑥 1 e 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 1 2𝑑𝑢 Para achar os novos limites de integração notamos que quando 𝑥 0 𝑢 2 0 1 1 quando 𝑥 4 𝑢 2 4 1 9 Portanto 4 0 2𝑥 1𝑑𝑥 9 1 1 2 𝑢𝑑𝑢 1 2 𝑢 32 32 9 1 1 2 2 3 𝑢 329 1 1 3 9 32 1 32 26 3 Perceba que não retornamos para a variável 𝑥 após integrarmos Simplesmente avaliamos a expressão em 𝑢 obtendo os valores apropriados de 𝑢 Fórmulas de integração 𝑥𝑛𝑑𝑥 𝑥𝑛1 𝑛 1 𝑛 1 1 𝑥 𝑑𝑥 ln 𝑥 sin𝑥𝑑𝑥 cos𝑥