Comprimento do Arco e Superfícies de Revolução

Funções de uma variável Semana 12 Funções de uma variável Semana 12 Comprimento do Arco Exemplo Função Comprimentod e arco Exemplo Superfícies de Revolução Exemplo Integrais impróprias Intervalo infinito Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exercício Integrando descontínuo Exemplo Exercício Comprimento do Arco Gostaríamos de estabelecer usando as técnicas que vimos até agora uma forma de medir o comprimento de uma curva Como poderíamos fazer isso A pricípio poderíamos pensar em usar um pedaço de barbante sobre a curva e então medir o comprimento do barbante Mas além de pouco preciso isso não é nada prático Especialmente se estivermos lidando com uma curva complicada Veremos agora uma forma de definir o comprimento de arco de uma curva de maneira precisa Se a curva é uma poligonal podemos facilmente encontrar seu comprimento apenas somamos os comprimentos dos segmentos de reta que formam a poligonal Seguindo esta ideia iremos definir o comprimento de uma curva geral primeiro aproximandoa por uma poligonal e então tomando o limite quando o número de segmentos da poligonal aumenta Dada uma curva definida pela equação onde é continua no intervalo e diferenciável no intervalo dividimos o intervalo em subintervalos com extremos e com larguras iguais a Desta forma se então o ponto está na curva e a poligonal com vértices ilustrada na figura abaixo é uma aproximação para A aproximação do comprimento da curva pela poligonal fica cada vez melhor a medida que aumenta veja a animação abaixo Definição O comprimento L da curva C com equação é o limite da soma dos comprimentos das poligonais que aproximam de modo que Se o limite existir Reescrevendo a expressão acima obtemos A definição de comprimento de arco que acabamos de ver não é muito conveniente para propósitos computacionais mas podemos deduzir uma fórmula envolvendo uma integral para encontrar no caso em que tem uma derivada contínua Essa função é chamada lisa porque uma pequena mudança em produz uma pequena mudança em Se tomarmos então usando o Teorema do valor Médio Seção 22 das notas da semana 4 no intervalo sabemos que existe tal que Desta forma Emfim podemos enunciar o seguinte resultado Proposição Fórmula do comprimento de arco Se for uma função contínua em então o comprimento da curva é dado por Observemos que se a função é dada como basta trocar e na fórmula acima Ou seja Exemplo Calcule o comprimento de arco da curva dada 1 2 Soluções 1 Como então Assim Então 2 Como então e Contudo Então Função Comprimentod e arco É útil termos uma função que meça o comprimento de arco de uma curva a partir de um ponto fixo inicial até outro ponto qualquer na curva Deste modo se a curva tem equação seja a distância ao longo de do ponto inicial ao ponto Então é uma função chamada função comprimento de arco e é dada por Exemplo Encontre a função comprimento de no intervalo Solução Se então e Logo Neste exemplo por que é importante que Exercício Considere a função definida para 1Verifique que é da forma em que e são polinômios de segundo grau 2 Verifique que em que e são constantes 3 Calcule o comprimento de arco da função Superfícies de Revolução Uma superfície de revolução é uma superfície gerada pela rotação de uma curva plana em torno de um eixo que se situa no mesmo plano da curva Por exemplo a superfície lateral de um cilindro circular reto pode ser gerada pela rotação de um segmento de reta em torno de um eixo paralelo a ele Analogamente a superfície de um tronco de cone pode ser gerada ao se fazer girar um segmento de reta em torno de um eixo contido no plano do segmento como abaixo 1 Vamos agora determinar uma forma de calcular a área de superfícies desse tipo Denominaremos esse como o Problema da Área de Superfícies Problema da Área de Superfícies Suponha que seja uma função lisa e não negativa em e que uma superfície de revolução seja gerada pela rotação da parte da curva entre e em torno do eixo como na imagem acima Como podemos definir a área dessa superfície Como podemos calculála A estratégia para estabelecer uma definição apropriada para área de uma superfície de revolução é similar à que usamos para definir integrais Vamos decompor a superfície em pequenas seções cujas áreas possam ser aproximadas por objetos geométricos elementares e somando as aproximações das áreas dessas seções obteremos uma soma de Riemann que aproxima a área desejada Tomando o limite da soma de Riemann obtemos uma integral para o valor exato da área da superfície Para implementar essa ideia vamos dividir o intervalo em subintervalos inserindo os pontos entre e Assim como vimos na semana 10 os pontos correspondentes do gráfico de definem um caminho poligonal que aproxima a curva acima do intervalo Quando esse caminho poligonal gira em torno do eixo gera uma superfície que consiste em partes cada uma delas sendo um tronco de cone circular reto ver figura abaixo Assim a área de cada parte da superfície pode ser obtida a partir da a área da superfície de um tronco de cone com raios e comprimento lateral geratriz dada por O ésimo tronco de cone terá raios e e altura Seu comprimento lateral é dado por que é o comprimento do ésimo segmento de reta da poligonal que aproxima a curva Como vimos na seção anterior isso resulta em Assim a área lateral do ésimo tronco de cone será dada por Somando todas essas áreas obtemos uma aproximação para a área da superfície A próxima etapa é transformar essa expressão em uma soma de Riemman Para isso vamos aplicar o Teorema do Valor Médio Seção 22 das notas da semana 4 O teorema garante a existência de um ponto entre e tal que Por outro lado a continuidade de e o Teorema do Valor Intermediário que foi estudado na disciplina Bases Matemáticas garantem a existência de um ponto entre e de tal modo que Substituindo esses dois resultados na expressão para a aproximação da área segue Embora esteja próxima a última expressão não é exatamente uma soma de Riemann verdadeira pois envolve duas grandezas distintas e que fazem o papel de pontos amostrais Entretanto em cursos mais avançados podese provar que devido à continuidade de isso não tem nenhum efeito sobre o limite Desse modo podemos supor que ao tomar o limite Com isso obtemos uma expressão para a área da superfície A animação abaixo ilustra a suavização da superfície ao se aumentar a quantidade de subdivisões do intervalo e consequentemente a melhor aproximação com mais laterais de troncos de cone Definição Se for uma função suave multiplamente diferenciável e não negativa em então a área da superfície de revolução gerada pela rotação da parte da curva entre e em torno do eixo será definida por Se for invertível e diferenciável então podemos obter como e construir uma superfície de revolução em torno de Nesse caso a área da superfície pode ser expressa como Note a semelhança não por acaso entre a expressão acima e a que foi obtida para o comprimento de arco de curvas Exemplo Vamos determinar a área da superfície gerada pela rotação da parte da curva determinada por entre e em torno do eixo Para determinar a área da superfície de revolução precisamos calcular a integral com e os limites de integração e Sabemos que logo o integrando pode ser escrito como Voltando à integral A superfície abaixo representa o sólido de revolução formado a partir de A faixa laranja representa uma das laterais de tronco de cone utilizadas para construir a soma de Riemann com e Exercícios 1 Calcule a área das superfícies de revolução das funções abaixo a b c Veja a superfície nesse link 2 Mostre que a área da superfície de uma esfera de raio é Dica Gire o semicírculo em torno do eixo e escolha os limites de integração adequados 3 Mostre que a área de superfície lateral de um cone circular reto de altura e raio de base é Integrais impróprias Nesta seção vamos introduzir as chamadas integrais impróprias Eles diferem das integrais que estudamos até aqui pelo comportamento do integrando nos limites de integração Existem dois tipos de integrais impróprias as integrais com intervalo infinito e integrais com integrando descontínuo Vamos começar com o caso de intervalo infinito Nesse tipo de integral um ou ambos os limites de integração são infinitos e portanto dizse que o intervalo de integração não é finito Intervalo infinito Antes de introduzir os conceitos necessários para lidar com este tipo de integral vejamos um exemplo que ilustrativo Exemplo Devemos calcular a integral Esta integral não parece muito difícil No entanto como o infinito não é um número real não podemos simplesmente integrar e depois substituir os limites de integração Para resolver o problema vamos pensar na integral como representando um problema de cálculo de área Assim trocamos o problema de calcular a integral pelo de determinar a área sob no intervalo onde e é finito Com isso podemos resolver essa integral Agora podemos obter a área sob no intervalo simplesmente tomando o limite de quando tende ao infinito Ou seja para calcular a integral imprópria fizemos Observe que a área sob uma curva em um intervalo infinito não necessáriamente é infinita como poderíamos ter suspeitado que fosse Na verdade foi um número surpreendentemente pequeno Claro esse nem sempre é o caso É importante saber que nem todas as áreas em um intervalo infinito produzirão áreas infinitas Isso nos leva à seguinte definição Definição Dizemos que uma integral impropria é convergente se o limite associado existir e for um número finito Dizemos que é divergente se o limite associado não existe ou for infinito positivo ou negativo Existem três método para para abordar integrais com intervalos infinitos 1 Se existe pata todo então desde que o limite exista e seja finito 2 Se existe pata todo então desde que o limite exista e seja finito 3 Se ambas as integrais e são convergentes então onde é um número real qualquer Exemplo Considere agora a integral Vamos escrever essa integral como um limite e depois resolver Então como o limite é infinito essa integral é divergente Os dois exemplos acima mostram que no mesmo intervalo as integrais de duas funções aparentemente similares são bastantes diferentes De fato temos o seguinte resultado sobre esse tipo de função Se então é convergente se e é divergente se Exemplo Vamos calcular a integral Então a integral divergente Exemplo Condidere agora Vamos escolher um ponto no intervalo e escrever a integral como soma de duas integrais Agora podemos verificar cada integral separadamente Para a segunda integral Como as duas integrais são convergentes Exemplo Vejamos a integral Como o limite não existe a integral é divergente Exercício Calcule as seguintes integrais 1 2 3 Integrando descontínuo Vejamos agora o segundo tipo de integrais impróprias as que possuem integrando descontínuo O processo aqui é basicamente o mesmo mas com uma diferença sutil Abaixo estão os casos gerais para essas integrais Se é contínuo no intervalo mas descontínuo em então desde que o limite exista e seja finito Observe que precisamos usar um limite à esquerda uma vez que o intervalo de integração está inteiramente no lado esquerdo do limite superior Se é contínuo no intervalo mas descontínuo em então desde que o limite exista e seja finito Neste caso precisamos usar um limite à direita uma vez que o intervalo de integração está inteiramente no lado direito do limite inferior Se não é contínuo em onde e ambos duas integrais e são convergentes então Se uma das integrais for divergente a integral também será 1 Para interagir com a superfície clique e arraste com o mouse para mudar o ângulo de visão e use o scroll pra controlar o zoom Você também pode pausar ou alterar a velocidade da animação usando os controles da parte superior Se não é contínuo em dois pontos e e as duas integrais e são convergentes onde é um numero real qualquer então Se uma das integrais for divergente a integral também será Exemplo Vejamos a integral Temos descontinuidade no ponto Isso é a integral é convergente Exercício Calcule as integrais 1 2 3 4 5