Lista 7 - Funções de Uma Variável e Integrais

a ae TRO DE MATEMATICA COMPUTACGCAO E COGNIGAO Universidade Federal do ABC Lista 7 Funcoes de Uma Variavel Integral k k1 n 2 1 Ache os valores numéricos das seguintes so b kth Dica Use 0 item anterior mas k1 a nmonvion a ra Cc Y Kh 55 2 Dica Bk1P r0 ae 3 2 6 6 3k 3k 1 b 2i1 2 re now ow i0 44 5 4 2 4 c gn2 n2 4 Usando as figuras abaixo ache estimativas in feriores e superiores para a area abaixo do grafico 2 Prove por inducdo as seguintes propriedades de fx para 0 x 10 usando primeiramente 5 do somatorio retangulos e posteriormente 10 retangulos n n n a Vx bi Datd by aditivi TTT k1 k1 k1 dade st Teri Lf I Me PERE PEE EE b ca c a homogeneidade PELL el kel YT tt tt tt tt PTET ttt tt tty c ax An1 An ag telescdpica 0 5 10 x k1 a ATT TT TTT TT TTT d ln WCORECCCCECCC k1 ef SE bt PEERS EEE 7 EEO TEN TY 3 Use as propriedades do exercicio anterior PET Tt tT tT RAT 2a ek n 5 Hf JIL a 2k1 n Dica Use que 2k 1 0 4 8 12 x i b 5 b a x dx a Defina precisamente particdéo de um inter a valo 1 b Defina precisamente soma de Riemann b I 2x dx 1 2 c dx 6 Use uma soma de Riemann com extremos a direita e n 8 para achar uma aproximacao da in d be dx tegral 0 5 5 2 x 3x e xt dx 0 0 3 f x xdx 7 Use uma soma de Riemann centrado no 0 ponto médio para achar aproximac6es da integrais 2 x2 x dx a senxdx n4 h e dx b 2dx n10 0 10 Expresse as seguintes integrais como limite 8 O grafico de g consiste de dois segmentos de de somatério retas e um semicirculo conforme figura abaixo Calcule a I cosx dx 2 d a I glx dx b eX dx 6 0 b x dx 5 2 9 c cosxe dx 6 0 c 90 ax 0 tT tt 11 O grafico abaixo representa a velocidade de KE Pte T yi um carro em funcdo do tempo Esboce o grafico da osicdo do carro em funcao do tempo BACT tse P P PAT TT ty YT sd fe le Wa e be fe oe OL A 7 cE 9 Calcule a partir da definicdo as seguintes in tegrais t 2 Respostas dos Exercicios 1 a 170b 49 15 8 52 55 57 2 5 k 3k5S 555 e kJ ks ep scala Le sh 2 c Base de inducao n 1 Dd ax ax1 dd k 2 275 8 8 Portanto o fato é valido para a base de inducao Pro 52 5 3 525 975 vemos a tese de indugao g28 X kK 3 X k 32 374 336 128 Hipotese de inducao ay An1 An1 do n kel 8 c Note que Tese ax Ay1 An1 do kel 2x 4 seeOQx2 Note que gx 4 4x4 se2x6 n n1 x 6 se6x7 ax ax1 ax Ax1 Gn An1 k1 k1 Ainda Usando a hipotese de inducao temos que 6 6 P n1 gxdx gxdx gxdx 2e4ax 4 D ax ax1 an On1 n1 0 Gn On1 an ag k 2 2 Como queriamos demonstrar ox Ax 2m 4 2 6 3 a Como sugere o enunciado Nota 4x42dx 27 por se tratar da me n n 2 2k1 k k1 tade da area do circulo de raio 2 k k Mas poderiamos fazer pela substituicdo x 4 2 Assim dx dy Logo Note que se tomarmos ax k podemos usar a soma seny Assim dx cosydy Logo telescdpica item c do exercicio 5 para obtermos a se arcsen1 guinte igualdade 44 x42dx 44sen2y cosydy n 2 arcsen1 kk1 n 0 n k1 2 2 z 2 2 cos ydy 2 1cos2ydy 2 Ly 5 sen2u 4 Aresposta nao é unica Uma resposta a Inferior 3 F 2 3 14243434444454546639 9 a Superior Vamos comegar subdividindo o intervalo ab em n 243444545464647474752 subintervalos de tamanho 6 Particionando o intervalo de modo a obter 8 su Ax ba ae 5 x bintervalos de tamanhos iguais ie Ax 3 temos n ue os pontos da particao séo dados por xp 0 d 5 P P 5 S P 0 Desta forma os pontos da partiao sao X1 Brees Xk keg X83 5 Como utiliza remos 0 extremo direito para a aproximagao a al tura do iésimo retangulo é dada por fx Assim ba ba a soma de Riemann em questao é dada por MoS a X at xX2at2 8 8 55 fx JAx fkc b a x a 38 x ak Lee Xn b k1 k1 Tl 3 Agora escolheremos Cc como 0 extremo direito do su bintervalo isto 6 c xx E logo 1 1 1 1 b n 2th énz In 3 I xdx lim fcxAx v1 k1 6 TL ba ba im fee ES d n Vamos comegar subdividindo o intervalo 0a em n b im subintervalos de tamanho ba lim fark b los d nh noo nN to TN 1ie bay Ax croan eetat Ea k k ba ti 1 bann1 Desta forma os pontos da partiao sao a noe n na nN 2 bann1 0 2 2a ba lim fay Sone Xo xX nm X2 n see b ba fas 2 tim 2 no0 TL ka b Xk a wee Xn a ora escolheremos cy como 0 extremo direito do su 9 Ag lh direito d zb a bintervalo isto 6 cx xx1 E logo c Vamos comegar subdividindo o intervalo 01 em n subintervalos de tamanho ob n x dx lim fc JAx A 1 a noo kel x n Tkalea Desta forma os pontos da partiado sao Jim a Ks 1 1 1 4 on xo 0 xy x2 2 wee ya Ga 3 1a n tim na DK aK I lim at 1 2mn4172 n noo nt 4 Agora escolheremos cx como o extremo esquerdo do 4 subintervalo isto 6 cy xx1 E logo lim aln It n00 4n2 4 b 2 n o x fcx Say EK 4 I z de him a 2 i 2 1724 h 5 Jim tk 14 n Vamos comegar subdividindo o intervalo ab em n k1 subintervalos de tamanho 1 iT 9 tim 5s 211 ba kl Ax lim K25 k5 1 2 n n3 a a Desta forma os pontos da partigdo sao x a kAx 1 171 Agora escolheremos c como 0 extremo direito do su 35 Jim no grin N2n1nn1n intervalo isto 6 cx xx E logo 4 10 a e dx lim fcAx lim cos k a nco nco Tt TL k1 k1 b lim ear tkax ny n k1 lim evn lim eAx lim Ax n 00 n0o c kel n 5 55 ex ea 1 lim cos 2 ekn lim eAx no n n ne eAx k1 ba F ane 1 fim 80x a tim ae Ax30 e4 1 Ax e et 5