Funções de Uma Variável: Esboçando Gráficos e Otimização

Funções de uma variável Semana 5 Funções de uma variável Semana 5 Esboçando gráficos Exemplo Exemplo Exemplo Problemas de Otimização Exemplo Exemplo Exemplo Método de Newton Esboçando gráficos Na semana anterior iniciamos o estudo de assíntotas e como elas podem ser usadas para determinar o comportamento de funções Agora podemos unir isso ao que aprendemos nas semanas anteriores para contruir o gráfico de funções de forma sistemática Para isso retomaremos o exemplo iniciado na semana anterior quando determinamos as assíntotas verticais e horizontais da função Exemplo Esboçar o gráfico de sendo ou seja esboçar a curva 1 Detectando assíntotas verticais Observemos que o domínio de é pois em o denominador de se anula Para saber como se comporta perto de calculamos os limites 2 Comportamento de quando e quando outras assíntotas e 3 Crescimento e decrescimento Temos que não está definida decrescente não está definida decrescente não está definida côncava p baixo não está definida côncava p cima Assim sendo para todo onde está definida Isto é para todo Esta função não pode ter nem máximos e mínimos locais por que Usando esta informação construímos a seguinte tabela que tem sinais de e intervalos de crescimento e decrescimento de Estamos quase lá e já podemos saber como será o gráfico Falta estudar a concavidade 4 Concavidade do gráfico Para obter informação sobre a concavidade do gráfico devemos calcular a derivada segunda de Temos o seguinte diagrama de sinais de e de concavidades do gráfico de Como não esta no domínio de então a nossa função não tem pontos de inflexão Usando as informações obtidas anteriormente podemos esboçar o gráfico como na figura abaixo Exemplo Esboçar o gráfico de 1 Detectando assíntotas verticais Observemos primeiro que está definida para qualquer número real exceto para onde o denominador de se anula Desta forma o domínio de é Para detectar as assíntotas verticais examinamos o comportamento de perto de calculando os limites laterais não está definida max local não está definida mín local Temos então que cresce em decresce em e em e cresce em e Com esta informação concluímos que a reta é uma assíntota vertical Pondo em palavras o que estes nos falam sobre o gráfico da curva é que quando está próximo de 1 pontos da curva sobem no plano aproximandose da assíntota à direita e descem aproximandose da assíntota à esquerda Tente esboçar as localizações aproximadas do gráfico da função aos lados da reta 2 Comportamento de quando e quando outras assíntotas Calculamos os limites e Assim a curva não tem assíntota horizontal 3 Crescimento e decrescimento Máximos e mínimos locais Temos que Verifique as contas Desta forma para e As raízes do numerador de são e enquanto que é raiz do denominador Além disso em cada um dos intervalos e a derivada mantémse positiva ou negativa Temos então o seguinte diagrama de sinais de e intervalos de crescimento e decrescimento de 4 Concavidades e pontos de inflexão Fazendo cuidadosamente as contas encontramos que não está definida côncava p baixo não está definida côncava p cima Com esta informação podemos construir a seguinte tabela Observemos que como não está definida em não há inflexão neste ponto Usando as informações obtidas até aqui podemos esboçar o gráfico de na figura embaixo 5 Assíntotas inclinadas Há algo mais que pode ser destacado no gráfico esboçado na figura acima a existência até aqui insuspeita de uma assíntota inclinada também chamada assíntota oblíqua Se para certos números reais e temos que a reta é uma assíntota inclinada do gráfico de se Neste caso à medida em que cresce tornandose muito grande com valores positivos tornase cada vez mais próximo da reta Por razões análogas a reta é uma assíntota inclinada do gráfico de quando Veja a fogura Abaixo de gráfico de e suas assíntota inclinada estão mostrados Como determinar os coeficientes e Para determinar note que se então Assim se a reta é uma assíntota inclinada do gráfico então Para determinar basta agora calcularmos No caso da curva que estamos estudando temos que e assim obtemos Além disso Assim obtemos que Portanto a reta é assíntota inclinada da curva Com base nos elementos coletados acima incluindo a informação adicional sobre a assíntota inclinada temos um novo esboço mais preciso da curva da figura abaixo Exercício Esboçar o gráfico de Sinal de Função indiferente decrescente indiferente crescente indiferente decrescente Exemplo Neste exemplo vamos estudar o problema de duas partículas carregdas com carga unitária e positiva fixadas num eixo perpendicular a uma parede como na figura abaixo O potencial elétrico gerado por essas duas partículas num ponto ao longo desse eixo é dado em unidades convenientes pela seguinte função Usando a definição da função módulo podemos reescrever o potencial como No que se segue vamos fazer um estudo do sinal das derivadas de primeira e segunda ordem da função Vamos inicialmente observar que a derivada de não está definida em mas existe no conjunto Para determinála basta derivar cada expressão algébrica Desta forma Os eventuais pontos críticos da função são aqueles nos quais a derivada se anula Note que no intervalo a derivada se anula somente no ponto No outro intervalo ela é sempre negativa Portanto o único ponto crítico da função é o ponto Para estudar o sinal de observamos que além do ponto crítico temos ainda que considerar os extremos dos subintervalos do domínio Deste modo temos três intervalos a serem considerados e Uma observação que facilita a análise do sinal da derivada é notar que o denominador das duas expressões é sempre positivo e numerador de uma expressão é sempre nagative Assim o sinal de uma expressão é sempre negative e o sinal de outro vai ser determinado pelo numerador Temos então a seguinte configuração Sinal de Função indiferente concavidade p cima indiferente concavidade p cima indiferente concavidade p cima O quadro nos permite concluir que o ponto crítico é um ponto de mínimo local Observe que ainda que antes do ponto a derivada seja positiva e depois negativa não podemos afirmar que este ponto é um ponto de máximo local De fato esta análise não se aplica neste ponto porque ele nem pertence ao domínio da função Passemos agora a estudar a segunda derivada lembrando que o seu sinal nos fornece informações sobre a concavidade do gráfico A concavidade é voltada para cima onde é positiva e para baixo onde é negativa O cálculo da segunda derivada pode ser feito como antes De modo que Note que a segunda derivada nunca se anula no intervalo porque o numerador é sempre negativo Também no intervalo ela não se anula De fato o numerador se anularia somente se mas este ponto não pertence ao intervalo Assim a derivada segunda tem sinal constante em cada um dos seus intervalos de definição No primeiro intervalo este sinal é o mesmo de por exemplo e no segundo o mesmo de e portanto o gráfico é sempre côncavo para cima Esta conclusão poderia também ser obtida a partir do quadro abaixo O próximo passo para o esboço do gráfico é estudar o comportamento da função nas vizinhanças de e quando Vejamos Deste modo as retas e são assíntotas verticais e a reta é uma assíntota horizontal Utilizando essas informações podemos esboçar o gráfico de como ilustrado abaixo Exercício Considere duas cargas elétricas a primeira com carga unitária positiva e a segunda com carga unitária negativa fixadas num eixo perpendicular a uma parede como na figura abaixo O potencial elétrico gerado por essas duas partículas num ponto ao longo desse eixo é dado em unidades convenientes pela seguinte função O objetivo desta tarefa e fazer um esboço da gráfico da função acima 1 Lembrando que se e se verifique que a função pode ser reescrita na forma 2 Calcule a derivada de e determine seus possíveis extremos locais e seus intervalos de crescimento e decrescimento 3 Calcule a derivada segunda e determine intervalos de concavidade para cima e para baixo 4 Determine as assíntotas verticais e horizontais de 5 Utilizando as informações acima esboce o gráfico de Problemas de Otimização Na semana 3 aprendemos sobre valores extremos locais e globais de funções Agora utilizaremos as técnicas que aprendemos para atacar problemas que envolvam encontrar uma solução ótima isto é uma solução máxima ou mínima para uma dada quantidade descrita por uma função Essa é uma importante classe de problemas resolvidos com as técnicas que vimos até então Os tópicos da estratégia de solução de problemas das Notas da semana 3 também serão úteis aqui Vejamos alguns exemplos Exemplo Um homem tem 30 metros de cerca um quintal grande e um cachorro pequeno Ele quer criar um espaço retangular para seu cão ficar enquanto faz uma reforma no quintal com a cerca que fornece o máximo área Quais devem ser as dimensões dessa região retangular de modo que os 30 metros de cerca delimitem a maior área possível Solução Denotaremos por e os lados da região retangular delimitada pela cerca e a sua área de modo que Como o perímetro desse retângulo deve coincidir com o comprimento da cerca teremos Podemos então usar essa expressão para representar como uma função de tal que Substituindo na área obtemos Podemos agora encontrar qual é o valor de que maximiza a a área Ou seja o valor tal que Para isso resolvemos a equação que resulta em Logo Como podemos garantir que essa área é de fato máxima Exemplo Um barco deixa o porto às 12h e viaja na direção norte com velocidade de 12 kmh Também às 12h um outro barco estava viajando na direção oeste em direção ao mesmo porto a 15 kmh ver imagem abaixo Ele chega ao porto às 19 h Em qual instante a distância entre os barcos é mínima Solução Distância do barco 2 até o porto no instante Distância do barco 1 até o portono instante Distância entre os barcos Basta então derivar e igualar a zero para encontrar a distância mínima Logo Como podemos garantir que essa distância é de fato mínima Exemplo Uma lata cilíndrica é deve ser produzida para receber um 1 litro de determinada substância Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata considerando que o mesmo material será utilizado no corpo e nas tampas da lata A animação abaixo mostra diferentes configurações para a lata todas com o mesmo volume Solução A área total da lata é dada pela área lateral a área das tampas onde é a altura da lata e seu raio O volume da lata dado por deve ser de 1 litro 1000 cm Logo podemos escrever a altura da lata como Substituindo na expressão para a área Derivando e igualando a zero encontramos a solução Método de Newton Vejamos agora como derivadas e retas tangentes podem nos ajudar a resolver ao menos aproximadamente equações não solúveis usando operações algébricas como as que encontramos no ensino médio Resolver equações é uma das coisas mais importantes que fazemos em matemática Contudo nossa capacidade de resolver equações analiticamente é bastante limitada Por exemplo equações simples como ou não podem ser resolvidas por métodos algébricos em termos de funções familiares Nestes casos usamos métodos que nos dão soluções aproximadas para as equações Frequentemente esses métodos podem dar aproximações com tantas casas decimais quantas quisermos Introduziremos agora uma dessas técnicas chamada Método de Newton ou Método de NewtonRaphson O Método de Newton é construído com base em retas tangentes A ideia principal é que se um ponto estiver suficientemente perto de uma raiz de então a reta tangente ao gráfico em cruzará o eixo em um ponto que deve estar mais próximo da raiz do que Aplicamos então o Método de Newton partindo de ponto inicial próximo da raiz que queremos encontrar Traçamos a reta tangente ao gráfico em e vemos onde ela cruza o eixo que chamaremos Em seguida repetimos o processo traçamos a reta tangente ao gráfico em e vemos onde ela se encontra o eixo que chamaremos 0 099 75851 102 09156 1 09156 53039 138533 05327 2 05327 28265 41403 01499 3 01499 05605 28696 03452 4 03452 00130 27434 03499 5 03499 61674 27408 03499 Repetindo o processo novamente para obtemos etc Esta sequência de pontos frequentemente convergirá rapidamente para um raiz de como na figura abaixo Podemos usar esse processo geométrico para encontrar expressões algébricas para as raízes em termos dos pontos onde as tangentes cruzam o eixo Vejamos como encontramos Começamos com a reta tangente ao gráfico em Sabemos que a inclinação desta reta tangente é e a equação da reta é Essa reta cruza o eixo quando e o valor onde ela cruza é o que chamamos Portanto tomando e substituindo por encontramos Ao repetirmos o mesmo processo para encontrar a partir de obtemos Em geral dada uma aproximação em podemos encontrar a próxima aproximação de modo análogo Exemplo Usaremos o método de Newton para encontrar uma aproximação para a raiz da função Primeiramente encontramos a derivada Com isso partindo de calculamos as sucessivas aproximações conforme tabela abaixo Um gráfico de com as sucessivas tangente é apresentado abaixo Nele podemos ver que a nossa aproximação inicial de não era particularmente precisa Isso mostra que o Método de Newton pode ser robusto o suficiente para que não necessariamente devamos partir de uma aproximação inicial muito precisa Vale mencionar que apesar de muito útil em aplicações o Método de Newton não é infalível A sequência de valores aproximados pode não convergir ou pode convergir tão lentamente que nos faria pensar que uma certa aproximação é melhor do que realmente é Essas e outras questões serão discutidas em outras disciplinas como em cálculo numérico