Analise de Sinais e Sistemas - Sinais Exponenciais e Senoidais

1 ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS AULA 4 SINAIS EXPONENCIAIS SINAIS SENOIDAIS SINAIS SENOIDAIS AMORTECIDOS SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS 2 2 SINAIS EXPONECIAIS São sinais da forma t x t Ae em que A e são parâmetros reais A é a amplitude do sinal exponencial medido em t0 Se 0 o sinal é exponencial crescente Se 0 o sinal é exponencial decrescente t xt 0 A t xt 0 A 3 SINAIS EXPONECIAIS Para o tempo discreto o sinal exponencial é da forma n xn B r t xt r 1 t xt 0r 1 t xt 1r 0 t xt r 1 Neste caso as seguintes situações podem ocorrer B é a amplitude do sinal exponencial medido em n0 em que r pode ser escrito como r e obtendose n xn B e 4 SINAIS SENOIDAIS Para o tempo contínuo o sinal senoidal é da forma xt Acos t O período é dado por A é a amplitude do sinal senoidal ω é a frequência angular em rads ϕ é o ângulo de fase em que 2 2 T 2 f T 5 SINAIS SENOIDAIS Podemos verificar a periodicidade do sinal senoidal utilizando a definição de função periódica Se a função xt é periódica devese verificar que xtxt T Para a função senoidal temse que xt T Acos t T xt Acos t xt T Acos t T xt T Acos t 2 xt T Acos t xt T xt 6 SINAIS SENOIDAIS Para o tempo discreto o sinal senoidal é da forma xn Acos n Ω é a frequência angular dada por em que sendo N o período medido em amostras por ciclo 2 N Se o período é N então podese escrever xn xn N xn N Acos n N xn N Acos n N xn N Acos n 2 m xn N Acos n N 2 m com m inteiro 7 SINAIS SENOIDAIS 2 2 N N m m ou k k Dessa forma podese escrever m 2 N Assim temse que é um número racional Se isto não ocorre a senoide discreta não é periódica Exercício Verificar a periodicidade dos seguintes sinais a xn3cos02πn b xn2cos 5πn c xn5cos4n 8 SINAIS SENOIDAIS EXPONENCIALMENTE AMORTECIDOS para o tempo contínuo e São sinais da forma Observe que a senoide exponencialmente amortecida não é periódica xt Ae t cos t com 0 n xtBr cos n com 0 r 1 para o tempo discreto 9 RELAÇÃO ENTRE SINAIS SENOIDAIS E EXPONENCIAIS COMPLEXOS j t xt Ae Seja o sinal exponencial complexo Assim temse que Da identidade de Euler temse que je cos jsen Logo xt Acos t jAsen t Re xt Acos t Im xt Asen t Para j t xt Ae podese escrever xt Acos t jAsen t 10 RELAÇÃO ENTRE SINAIS SENOIDAIS E EXPONENCIAIS COMPLEXOS Analogamente para o tempo discreto podese escrever j n xn Ae Re xn Acos n Im xn Asen n xn Acos n jAsen n 11 SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS at xt Ce É o sinal da forma em que C e a em geral são números complexos Seja j 0 C C e e a r j então 0 0 r j t j t j rt xt C e e C e e que pode ser escrita como rt rt 0 0 xt C e cos t j C e sen t 12 SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS Observe que para r 0 a parte real e imaginária são sinais senoidais para r 0 a parte real e imaginária são sinais senoidais amortecidas para r 0 a parte real e imaginária são sinais senoidais crescentes Quando C é real e a é puramente imaginário então Para que xt seja periódica devese impor que Assim temse que Para que a igualdade se verifique é necessário que rt rt 0 0 xt C e cos t j C e sen t j t xt Ce 0 xtxt T j t j tT j t j T Ce Ce Ce e 0 0 0 0 j T e 1 0 13 SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS j t j tT j t j T j T xt Ce Ce Ce e e 1 0 0 0 0 0 Se ω0 0 então xt C que é periódico para qualquer valor de T Se ω0 é diferente de zero então lembrando que 0 0T 2 k 1 o período fundamental T0 é tal que j T 0 0 e cos T jsen T 0 o que resulta em 0 0 2 T Escrevendo os últimos resultados j T e para que e 1 devemos ter T 2k sendo k inteiro 0 0 14 SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS Um sinal senoidal pode ser escrito na forma de exponenciais complexas Seja xt Acos t Pela identidade de Euler temse que j j e cos jsen e cos jsen Somandose esta duas expressões obtémse j j 1 1 cos e e 2 2 Assim xt pode ser escrito na seguinte forma j t j t A A xt e e 2 2 0 0 Ou ainda j t j t j j A A xt e e e e 2 2 0 0 15 SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS j t j t j j A A xt e e e e 2 2 0 0 Fazendo j j 1 2 A A B e e B e 2 2 obtémse j t j t 1 2 xt B e B e 0 0 Observe que B1 e B2 são números complexos conjugados Obtenha a forma exponencial complexa do sinal xt Ae t cos t 16 SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS Para o tempo discreto temse n xn C sendo que em geral C e α são números complexos Fazendo j j C C e e e temse que n n j j j xn C e e C e n n ou ainda n n xn C cos n j C sen n para α1 a parte real e imaginária são sequências senoidais para α1 a parte real e imaginária são senoides amortecidas para α1 a parte real e imaginária são senoides decrescentes 17 SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS Analogamente ao caso contínuo um sinal senoidal de tempo discreto pode ser escrito na forma de exponenciais complexas xn Acos n j j n j j n A A xn e e e e 2 2 Seja Com o mesmo desenvolvimento utilizado para o caso contínuo podese obter a forma exponencial complexa para a senoide discreta 18 PROPRIEDADES DE PERIODICIDADE DOS SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS DE TEMPO DISCRETO Seja j j 2 1 2 x n Ae e x n Ae n n Desenvolvendo a expressão de x2n obtemos j 2 j j2 2x n Ae Ae e n n n n Observe que j2 j2 e cos2 n j sen2 n 1 j0 e 1 n n Portanto j 2 1 x n Ae x n n Isto significa que quando a frequência passou de Ω para Ω 2π o sinal não se modificou Sua frequência é a mesma 19 No tempo discreto sinais com frequência Ω e Ω 2kπ k inteiro são idênticos A frequência varia apenas num intervalo de 2π Especificamente se Ω 0 ou Ω 2π temse j0 1 j2 x n Ae A constante ou Ae A partir de zero a taxa de oscilação aumenta atingindo a seu valor máximo em π A partir de π a taxa de oscilação diminui e volta a zero em 2π n j n j 1 Em x n e e 1 n que oscila a cada amostra PROPRIEDADES DE PERIODICIDADE DOS SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS DE TEMPO DISCRETO 20 PROPRIEDADES DE PERIODICIDADE DOS SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS DE TEMPO DISCRETO 21 PROPRIEDADES DE PERIODICIDADE DOS SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS DE TEMPO DISCRETO Sinais harmonicamente relacionados são aqueles que possuem frequência múltipla da fundamental Em tempo contínuo todas as exponenciais complexas harmonicamente relacionadas são distintas 0 jk t jk2 T t kt Ae Ae com k 0 1 2 3 0 22 Em tempo discreto os sinais harmonicamente relacionados são aqueles que possuem frequência múltipla de Ω2πN jk n jk2 N n k jkN2 N n jk2 N n j2 n kN k Seja n e e com k 0 1 2 3 Observe que n e e e n 0 1 2 N1 n n n n Isto implica que há somente N exponenciais periódicas distintas harmonicamente relacionadas com isto é n ej n PROPRIEDADES DE PERIODICIDADE DOS SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS DE TEMPO DISCRETO 23 Livro do Haykin 110 111 112 116 a c 118 b d g k 119 120 121 a b c g i 122 125 EXERCÍCIOS Verifique quantas exponenciais complexas harmonicamente relacionadas existem em xn ej3 4 n Resposta 8 Determine o período fundamental do sinal xt2cos10t 1 sen4t 1 Resposta π