Lista de Exercícios Resolvidos - Série de Fourier Trigonométrica e Expansão de Termos

Curso de Engenharia Elétrica e Engenharia Mecatrônica Unidade Curricular Sinais e Sistemas Turma G4800207SEGNT Professora Róger Thomas Fontoura França Anosemestre 20231 Data 02072023 Alunoa Valor Total Componente de Lista de Exercícios 20 Lista 9 GRAU B Questão 1 Determine a série de Fourier Trigonométrica da função xt 4t no intervalo de 1 até 1 A plotagem do gráfico é opcional para comparar os valores Resposta Curso de Engenharia Elétrica e Engenharia Mecatrônica Questão 2 Determine a expansão dos termos da série de Fourier trigonométrica considerando as informações abaixo Resposta Curso de Engenharia Elétrica e Engenharia Mecatrônica Questão 3 Sabendo que Represente o espectro de magnitude e fase da série de Fourier trigonométrica abaixo Dica Ao aplicar a propriedade do cosseno a série de Fourier trigonométrica irá se transformar na série de Fourier compacta permitindo a geração do espectro de magnitude e fase Questão 1 Seja a seguinte função f x 4 x Aqui o período vale 2l2 logo l1 Assim temos a01 l l l f x dx a0 1 1 4 x dx a02 x 21 1 a02 x 21 1 a02 11 a00 Como a função f x é impar temos ak0 E os coeficientes bk são dados por bk1 l l l f x sin kπ l xdx bk 1 1 4 x sin kπxdx bk4 1 1 xsin kπxdx bk42 0 1 x sinkπx dx Integrando por partes temos ux dvsinkπx dx dudx vcoskπx kπ Logo a integral fica bk42x cos kπx kπ 0 1 0 1 cos kπx kπ dx bk8 cos kπ kπ 0 1 kπ 0 1 coskπx dx bk8 cos kπ kπ 1 kπ sin kπx kπ 0 1 bk8 cos kπ kπ 1 kπ sin kπ kπ 0 bk8 1 k kπ 1 kπ 00 bk8 1 k kπ Assim a série de Fourier fica f x 4 xa0 k1 ak cos kπ l xbksin kπ l x 4 x0 k1 0 8 1 k kπ sinkπx 4 x k1 8 1 k sinkπx kπ Questão 2 A série de Fourier é dada por x t a0 n1 ancos nπ l t bnsin nπ l t Substituindo valores temos x t 1 2 n1 2 nπ sin nπ 2 cos nπ π t 0sin nπ π t x t 1 2 2 π n1 1 n sin nπ 2 cos πt x t 1 2 2 π n par 1 n sin nπ 2 cos nt 2 π nimpar 1 n sin nπ 2 cosnt x t 1 2 2 π n1 1 2n sin 2nπ 2 cos2nt 2 π n1 1 2n1 sin 2n1π 2 cos2n1t x t 1 2 2 π n1 1 2n sin nπ cos2nt 2 π n1 cos 2n1t 2n1 sinnππ 2 x t 1 2 2 π n1 1 2n0cos 2nt 2 π n1 cos 2n1t 2n1 sin nπ cos π 2sin π 2cos nπ x t 1 20 2 π n1 cos2n1 t 2n1 0cos π 21cosnπ x t 1 2 2 π n1 cos 2n1t 2n1 011 n x t 1 2 2 π n1 1 n cos 2n1t 2n1 x t 1 2 2 π 1 1 cos 21t 21 1 2 cos 41t 41 1 3 cos61t 61 1 4 cos81t 81 x t 1 2 2 π cost 1 cos 3t 3 cos5t 5 cos7t 7 Cη 05 37 1 2 3 4 5 η 0 318 0 η 0 1 2 3 4 5 η Questão 3 Do exercício anterior sabemos que Para calcular a compacta fazemos c0a01 2 cnan 2bn 2 2 nπ sin nπ 2 2 0 2 nπ sin nπ 2 θnarctan bn an arctan 00 Assim a série compacta é dada por x t c0 n1 cncosnω0tθn x t 1 2 n1 2 nπ sin nπ 2 cosnt Assim temos a seguinte tabela n cn θn 1 0637 0 2 0 0 3 0318 0 4 0 0 Assim os espectros ficam Questão 1 Seja a seguinte função 𝑓𝑥 4𝑥 Aqui o período vale 2𝑙 2 logo 𝑙 1 Assim temos 𝑎0 1 𝑙 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑙 𝑙 𝑎0 4𝑥𝑑𝑥 1 1 𝑎0 2𝑥21 1 𝑎0 2𝑥21 1 𝑎0 21 1 𝒂𝟎 𝟎 Como a função 𝑓𝑥 é impar temos 𝑎𝑘 0 E os coeficientes 𝑏𝑘 são dados por 𝑏𝑘 1 𝑙 𝑓𝑥sin 𝑘𝜋 𝑙 𝑥 𝑑𝑥 𝑙 𝑙 𝑏𝑘 4𝑥sin 𝑘𝜋𝑥 𝑑𝑥 1 1 𝑏𝑘 4 𝑥 sin 𝑘𝜋𝑥 𝑑𝑥 1 1 𝑏𝑘 4 2 𝑥 sin 𝑘𝜋𝑥 𝑑𝑥 1 0 Integrando por partes temos 𝑢 𝑥 𝑑𝑣 sin 𝑘𝜋𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑣 cos 𝑘𝜋𝑥 𝑘𝜋 Logo a integral fica 𝑏𝑘 4 2 𝑥 cos 𝑘𝜋𝑥 𝑘𝜋 0 1 cos 𝑘𝜋𝑥 𝑘𝜋 𝑑𝑥 1 0 𝑏𝑘 8 cos 𝑘𝜋 𝑘𝜋 0 1 𝑘𝜋 cos 𝑘𝜋𝑥 𝑑𝑥 1 0 𝑏𝑘 8 cos 𝑘𝜋 𝑘𝜋 1 𝑘𝜋 sin 𝑘𝜋𝑥 𝑘𝜋 0 1 𝑏𝑘 8 cos 𝑘𝜋 𝑘𝜋 1 𝑘𝜋 sin 𝑘𝜋 𝑘𝜋 0 𝑏𝑘 8 1𝑘 𝑘𝜋 1 𝑘𝜋 0 0 𝒃𝒌 𝟖𝟏𝒌 𝒌𝝅 Assim a série de Fourier fica 𝑓𝑥 4𝑥 𝑎0 𝑎𝑘 cos 𝑘𝜋 𝑙 𝑥 𝑏𝑘 sin 𝑘𝜋 𝑙 𝑥 𝑘1 4𝑥 0 0 81𝑘 𝑘𝜋 sin 𝑘𝜋𝑥 𝑘1 𝟒𝒙 𝟖𝟏𝒌 𝐬𝐢𝐧 𝒌𝝅𝒙 𝒌𝝅 𝒌𝟏 Questão 2 A série de Fourier é dada por 𝑥𝑡 𝑎0 𝑎𝑛 cos 𝑛𝜋 𝑙 𝑡 𝑏𝑛 sin 𝑛𝜋 𝑙 𝑡 𝑛1 Substituindo valores temos 𝑥𝑡 1 2 2 𝑛𝜋 sin 𝑛𝜋 2 cos 𝑛𝜋 𝜋 𝑡 0 sin 𝑛𝜋 𝜋 𝑡 𝑛1 𝑥𝑡 1 2 2 𝜋 1 𝑛 sin 𝑛𝜋 2 cos 𝜋𝑡 𝑛1 𝑥𝑡 1 2 2 𝜋 1 𝑛 sin 𝑛𝜋 2 cos 𝑛𝑡 𝑛 𝑝𝑎𝑟 2 𝜋 1 𝑛 sin 𝑛𝜋 2 cos 𝑛𝑡 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑥𝑡 1 2 2 𝜋 1 2𝑛 sin 2𝑛𝜋 2 cos 2𝑛𝑡 𝑛1 2 𝜋 1 2𝑛 1 sin 2𝑛 1𝜋 2 cos2𝑛 1𝑡 𝑛1 𝑥𝑡 1 2 2 𝜋 1 2𝑛 sin𝑛𝜋cos 2𝑛𝑡 𝑛1 2 𝜋 cos2𝑛 1𝑡 2𝑛 1 sin 𝑛𝜋 𝜋 2 𝑛1 𝑥𝑡 1 2 2 𝜋 1 2𝑛 0 cos 2𝑛𝑡 𝑛1 2 𝜋 cos2𝑛 1𝑡 2𝑛 1 sin𝑛𝜋cos 𝜋 2 sin 𝜋 2cos𝑛𝜋 𝑛1 𝑥𝑡 1 2 0 2 𝜋 cos2𝑛 1𝑡 2𝑛 1 0 cos 𝜋 2 1 cos𝑛𝜋 𝑛1 𝑥𝑡 1 2 2 𝜋 cos2𝑛 1𝑡 2𝑛 1 0 1 1𝑛 𝑛1 𝑥𝑡 1 2 2 𝜋 1𝑛 cos2𝑛 1𝑡 2𝑛 1 𝑛1 𝑥𝑡 1 2 2 𝜋 11 cos2 1𝑡 2 1 12 cos4 1𝑡 4 1 13 cos6 1𝑡 6 1 14 cos8 1𝑡 8 1 𝒙𝒕 𝟏 𝟐 𝟐 𝝅 𝐜𝐨𝐬 𝒕 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒕 𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝟓𝒕 𝟓 𝐜𝐨𝐬 𝟕𝒕 𝟕 Questão 3 Do exercício anterior sabemos que Para calcular a compacta fazemos 𝑐0 𝑎0 1 2 𝑐𝑛 𝑎𝑛 2 𝑏𝑛 2 2 𝑛𝜋sin 𝑛𝜋 2 2 0 2 𝑛𝜋sin 𝑛𝜋 2 𝜃𝑛 arctan 𝑏𝑛 𝑎𝑛 arctan0 0 Assim a série compacta é dada por 𝑥𝑡 𝑐0 𝑐𝑛 cos𝑛𝜔0𝑡 𝜃𝑛 𝑛1 𝑥𝑡 1 2 2 𝑛𝜋 sin 𝑛𝜋 2 cos𝑛𝑡 𝑛1 Assim temos a seguinte tabela 𝑛 𝑐𝑛 𝜃𝑛 1 0637 0 2 0 0 3 0318 0 4 0 0 Assim os espectros ficam