Lista de Exercícios Resolvidos: Transformada de Fourier e Séries de Fourier

Obtenha a transformada de Fourier do sinal ft cosω0 t a Xω eπω b Xω πδω ω0 c Xω πδω ω0 d Xω ω 1 ω0 e Xω πδω ω0 δω ω0 Determine a representação da série de Fourier para o sinal periódico com período 2 e fn sen πt 0 t 2 0 2 t 4 a ak 2ejπk3 πk sen2πk3 ejπkπk b an 2n2 π cosnπ c an 23nπ cosnπ d an 2nπ cos5nπ e an 5nπ cosnπ Obtenha a transformada de Fourier do sinal ft 1 eatut no limite 0 a Xω sincω2 b Xω a jωa jω c Xω sincω3 ej5ω d Xω senω ej5ω e Xs senω2 ej5ω Obtenha a transformada de Fourier do sinal ft eatut a Xω 1ajω2 b Xω 1aω c Xω 3ajω d Xω 1ajω e Xω 12ajω Obtenha a transformada de Fourier do sinal ft senω0t a Xω 1j δωω0 δωω0 b Xω πj δωω0 δωω0 c Xω π2j δωω0 δωω0 d Xω πj δωω0 δωω0 e Xω πj δωω0 δωω0 1 Determine a representação da série de Fourier para o sinal periódico com período 2 e 𝑓𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑡 0 𝑡 2 0 2 𝑡 4 Resolução Observação Acredito que a questão será anulada pois o resultado é muito diferente das alternativas 𝑎𝑛 1 𝜋 𝑓𝑥 cos𝑛𝜋 𝑑𝑡 Substituindo os valores do enunciado 𝑎𝑛 1 𝜋 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑡 cos𝑛𝑡 2 0 𝑑𝑡 Usando propriedade trigonométrica 𝑠𝑒𝑛𝛼 cos𝛽 12𝑠𝑒𝑛𝛼 𝛽 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝛽 𝑎𝑛 1 2𝜋 𝑠𝑒𝑛𝑛 𝜋𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑛 𝜋𝑡 2 0 𝑑𝑡 𝑎𝑛 1 2𝜋 𝑠𝑒𝑛𝑛 𝜋𝑡 2 0 𝑑𝑡 1 2𝜋 𝑠𝑒𝑛𝑛 𝜋𝑡 2 0 𝑑𝑡 Resolvendo a integral e simplificando 𝑎𝑛 2 𝑠𝑒𝑛2𝑛 𝜋2 𝑛2 Para encontrar 𝑎𝑘 temos o seguinte 𝑎𝑘 1 2 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑡𝑒𝑗𝑘𝜋2𝑡𝑑𝑡 2 0 Substituindo por equivalente 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑡 𝑒𝑗𝜋𝑡𝑒𝑗𝜋𝑡 2𝑗 𝑎𝑘 1 2 𝑒𝑗𝜋𝑡 𝑒𝑗𝜋𝑡 2𝑗 𝑒𝑗𝑘𝜋2𝑡𝑑𝑡 2 0 Simplificando e integrando encontramos 𝑎𝑘 21𝑘 1 𝜋𝑘2 4 2 Obtenha a transformada de Fourier do sinal 𝑓𝑡 1 𝑒𝑎𝑡𝑢𝑡 no limite 0 Resolução Para calcular a transformada de Fourier usamos a seguinte fórmula 𝑋𝜔 𝑓𝑡𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 Substituindo a função e o intervalo do enunciado 𝑋𝜔 1 𝑒𝑎𝑡𝑒𝑗𝜔𝑡 0 𝑑𝑡 Distribuindo a multiplicação 𝑋𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡 0 𝑑𝑡 𝑒𝑎𝑡𝑒𝑗𝜔𝑡 0 𝑑𝑡 𝑋𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡 0 𝑑𝑡 𝑒𝑎𝑗𝜔𝑡 0 𝑑𝑡 𝑋𝜔 1 𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡0 1 𝑎 𝑗𝜔 𝑒𝑎𝑗𝜔𝑡0 𝑋𝜔 1 𝑗𝜔 𝑒 𝑒0 1 𝑎 𝑗𝜔 𝑒 𝑒0 Qualquer número elevado a é 0 e elevado a 0 é 1 𝑋𝜔 1 𝑗𝜔 1 𝑎 𝑗𝜔 Tirando o mínimo múltiplo comum 𝑋𝜔 𝑎 𝑗𝜔 𝑗𝜔 𝑗𝜔𝑎 𝑗𝜔 𝑋𝜔 𝑎 𝑗𝜔𝑎 𝑗𝜔 Letra b 3 Obtenha a transformada de Fourier do sinal 𝑓𝑡 𝑒𝑎𝑡𝑢𝑡 Resolução Para calcular a transformada de Fourier usamos a seguinte fórmula 𝑋𝜔 𝑓𝑡𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 Aplicando os dados do enunciado 𝑋𝜔 𝑒𝑎𝑡𝑒𝑗𝜔𝑡 0 𝑑𝑡 𝑋𝜔 𝑒𝑎𝑗𝜔𝑡 0 𝑑𝑡 𝑋𝜔 1 𝑎 𝑗𝜔 𝑒𝑎𝑗𝜔𝑡0 𝑋𝜔 1 𝑎 𝑗𝜔 𝑒 𝑒0 Qualquer número elevado a é 0 e elevado a 0 é 1 𝑋𝜔 1 𝑎 𝑗𝜔 Letra d 4 Obtenha a transformada de Fourier do sinal 𝑓𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 Resolução Nós temos que a função dada no enunciado é equivalente a 𝑓𝑡 cos𝜔0𝑡 𝑒𝑖𝜔0𝑡 𝑒𝑖𝜔0𝑡 2 Logo podemos calcular a transformada de Fourier com a seguinte equação 𝑋𝜔 𝑓𝑡𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡 1 2 𝑒𝑖𝜔0𝑡𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑒𝑖𝜔0𝑡𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡 1 2 𝑒𝑖𝜔𝜔0𝑡 𝑑𝑡 𝑒𝑖𝜔𝜔0𝑡 𝑑𝑡 Aqui nós temos pela tabela de transformada de Fourier que se 𝑓𝑡 𝑒𝑖𝜔0𝑡 a transformada é 𝑋𝜔 2𝜋𝛿𝜔 𝜔0 Sendo assim a transformada de Fourier de cos 𝜔0𝑡 fica 𝑋𝜔 1 2 2𝜋𝛿𝜔 𝜔0 2𝜋𝛿𝜔 𝜔0 𝑋𝜔 𝜋𝛿𝜔 𝜔0 𝛿𝜔 𝜔0 Letra e 5 Obtenha a transformada de Fourier do sinal 𝑓𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜔0𝑡 Resolução Nós temos que a função dada no enunciado é equivalente a 𝑓𝑡 sen𝜔0𝑡 𝑒𝑗𝜔0𝑡 𝑒𝑗𝜔0𝑡 2𝑗 Logo podemos calcular a transformada de Fourier com a seguinte equação 𝑋𝜔 𝑓𝑡𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡 1 2𝑗 𝑒𝑖𝜔0𝑡𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑒𝑖𝜔0𝑡𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡 1 2𝑗 𝑒𝑖𝜔𝜔0𝑡 𝑑𝑡 𝑒𝑖𝜔𝜔0𝑡 𝑑𝑡 Aqui nós temos pela tabela de transformada de Fourier que se 𝑓𝑡 𝑒𝑖𝜔0𝑡 a transformada é 𝑋𝜔 2𝜋𝛿𝜔 𝜔0 Sendo assim a transformada de Fourier de cos 𝜔0𝑡 fica 𝑋𝜔 1 2𝑗 2𝜋𝛿𝜔 𝜔0 2𝜋𝛿𝜔 𝜔0 𝑋𝜔 𝜋 𝑗 𝛿𝜔 𝜔0 𝛿𝜔 𝜔0 Letra e