Regra da Cadeia: Aplicações e Exemplos

REGRA DA CADEIA Equipe de Cálculo 2 Adilson Morais Eliza H Sadaike Eneida P Emery de Carvalho Luciana Chaves Barbosa Regra da cadeia Caso 1 Suponha que 𝑧 𝑓 𝑥 𝑦 seja uma função diferenciável de 𝑥 𝑒 𝑦 onde 𝑥 𝑔 𝑡 𝑒 𝑦 ℎ𝑡 são funções diferenciáveis de 𝑡 Então z é uma função diferenciável de 𝑡 e 𝑑𝑧 𝑑𝑡 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑓 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 EXEMPLO 1 Seja 𝑧 𝑥2𝑦 3𝑥𝑦4 onde 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑡 e 𝑦 cos𝑡 Determine 𝑑𝑧 𝑑𝑥 em 𝑡 0 𝑑𝑧 𝑑𝑡 𝑧 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑧 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 Se 𝑡 0 temos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 20 0 𝑒 𝑦 cos 0 1 𝑧 𝑥 2𝑥𝑦 3𝑦4 𝑡0 𝑧 𝑥 3 𝑧 𝑦 𝑥² 12𝑥𝑦³ 𝑡0 𝑧 𝑦 0 𝑑𝑥 𝑑𝑡 2 cos 2𝑡 𝑡0 𝑑𝑥 𝑑𝑡 2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑡0 𝑑𝑦 𝑑𝑡 0 Portanto 𝑑𝑧 𝑑𝑡 32 00 6 EXEMPLO 2 A pressão 𝑃 em 𝑘𝑃𝑎 o volume 𝑉em 𝑙 e a temperatura 𝑇 em 𝐾 de um mol de um gás ideal estão relacionados por meio da fórmula 𝑃𝑉 831 𝑇 Determine a taxa de variação da pressão quando a temperatura for 300𝐾 e está aumentando com uma taxa de variação de 01𝐾𝑠 e o volume for 100𝑙 e está diminuindo a uma taxa de 02 𝑙𝑠 𝑃𝑉 831 𝑇 𝑃 831𝑇 𝑉 Taxa de variação da pressão 𝑑𝑃 𝑑𝑡 𝑇 300𝐾 𝑉 100𝑙 𝑑𝑇 𝑑𝑡 01 𝐾 𝑠 e 𝑑𝑉 𝑑𝑡 02 𝑙 𝑠 𝑑𝑃 𝑑𝑡 𝑃 𝑇 𝑑𝑇 𝑑𝑡 𝑃 𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝑃 𝑇 831 𝑉 e 𝑃 𝑉 831𝑇 𝑉2 Logo 𝑑𝑃 𝑑𝑡 831 100 01 831300 1002 02 005819 𝑘𝑃𝑎 𝑠 Argumento análogo serve para z s e assim demonstramos a seguinte versão da Regra da Cadeia O Caso 2 da Regra da Cadeia contém três tipos de variáveis s e t são variáveis independentes x e y são chamadas de variáveis intermediárias e z é a variável dependente Regra da cadeia Caso 2 Suponha que 𝑧 𝑓 𝑥 𝑦 seja uma função diferenciável de 𝑥 𝑒 𝑦 onde 𝑥 𝑔 𝑠 𝑡 𝑒 𝑦 ℎ𝑠 𝑡 são funções diferenciáveis de s e 𝑡 𝐸𝑛𝑡ã𝑜 𝑧 𝑠 𝑧 𝑥 𝑥 𝑠 𝑧 𝑦 𝑦 𝑠 𝑧 𝑡 𝑧 𝑥 𝑥 𝑡 𝑧 𝑦 𝑦 𝑡 Observe que a Regra da Cadeia Caso 2 tem um termo para cada variável intermediária e que cada um desses termos se assemelha à Regra da Cadeia unidimensional Para lembrar a Regra da Cadeia é útil desenhar o diagrama em árvore ilustrado na Figura 2 Figura 2 EXEMPLO 1 Se 𝑢 𝑥4𝑦 𝑦2𝑧3onde 𝑥 𝑟𝑠 𝑒𝑡 𝑦 𝑟𝑠2𝑒𝑡𝑒 𝑧 𝑟2𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝑡 Pedese AEscreva a regra da cadeia monte o diagrama em árvore B Determine os valores 𝑢 𝑠 𝑢 𝑟 e 𝑢 𝑡 quando 𝑟 2 𝑠 1 𝑒 𝑡 0 B 𝑢 𝑠 𝑢 𝑥 𝑥 𝑠 𝑢 𝑦 𝑦 𝑠 𝑢 𝑧 𝑧 𝑠 𝑟 2 𝑠 1 𝑒 𝑡 0 𝑥 2 𝑦 2 𝑒 𝑧 0 𝑢 𝑥 4𝑥3𝑦 220 𝑢 𝑥 220 64 𝑢 𝑦 𝑥4 2𝑦𝑧3 220 𝑢 𝑦 220 16 𝑢 𝑧 3𝑦2𝑧2 220 𝑢 𝑧 220 0 𝑥 𝑠 𝑟 𝑒𝑡 𝑥 𝑠 210 2 𝑦 𝑠 2𝑟𝑠 𝑒𝑡 𝑦 𝑠 210 4 𝑧 𝑠 𝑟2𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑧 𝑠 210 0 𝑢 𝑠 642 164 0 192 REFERÊNCIAS STEWART J Cálculo 8 ed São Paulo Cengage Learning 2017 v2