Cálculo de Limites e Continuidade de Função em Duas Variáveis

Exercício 7 Calcule lim xy12 x 2 y y 3 2 x 2 2 y 2 x 3 x y 2 x 2 y 2 Observe que se substituirmos xy por 1 2 obteremos 00 uma indeterminação Para tentar eliminála fatoramos numerador e denominador simplificando a fração Assim lim xy12 y2 x 2 y 2 x1 x 2 y 2 0 0 indeterminação Então aproximamos x y por retas que passam por 12 y y 1 mx x 1 y 2 mx 1 y mx m 2 Substituindo em lim xy12 y2 x1 temos lim xy12 y2 x1 lim xy12 mxm22 x1 lim xy12 mxm x1 lim xy12 m x 1 x1 m Como m pode assumir vários valores então lim xy 12 fxy 8 lim xy12 5 x 3 x 2 y 2 5 4 1 9 lim xy11 e xy cos xy ecos 0 e Relembrando Uma função f de duas variáveis é contínua em um ponto interior a b de seu domínio se lim xyab f xy fab 1 Dada a função f x y x 2 yxy6y x 2 x6 x y 2 3xy2x2 y 2 6y4 se xy32 3 2 se xy 32 a Verifique se a função é contínua em 32 Justifique sua resposta b Determine o domínio da função a Existe f a b Sim pois f32 3 2 Existe limite da função se x y 32 lim xy 32 x 2 yxy6y x 2 x6 x y 2 3xy2x2 y 2 6y4 Fatorando numerador e denominador temos lim xy 32 y1 x3 x2 y1 y2 x2 lim xy 32 y1 y1 lim xy 32 x3 y 2 3 lim xy 32 x3 y2 Então aproximamos x y por retas que passam por 32 y y 1 mx x 1 y 2 mx 3 y mx 3m 2 3 lim xy 32 x3 mx3x2 2 3 1 m Não existe o limite pois m pode assumir quaisquer valores diferentes de zero Logo a função não é contínua em 32 pois lim xyab f xy não existe b o denominador não pode ser nulo Logo x2 y1y2 0 ou seja D xy R 2 x 2 y 1 e y 2