Multiplicadores de Lagrange: Método para Maximização de Funções com Restrições

OS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Equipe de Cálculo 2 Adilson Morais Eneida P Emery de Carvalho Luciana Chaves Barbosa MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Apresentamos o método de Lagrange para maximizar uma função genérica f x y z sujeita a uma restrição ou vínculo da forma gx y z k Em outras palavras queremos achar os valores extremos de f x y quando o ponto x y pertencer à curva de nível gx y k A Figura 1 mostra essa curva junto de diversas curvas de nível de f Estas têm as equações f x y c onde c 7 8 9 10 11 Figura 1 Para maximizar f x y sujeito a gx y k é preciso determinar o maior valor de c tal que a curva de nível f x y c intercepta gx y k Parece da Figura 1 que isso acontece quando essas curvas se tocam ou seja quando essas curvas têm uma reta tangente comum Caso contrário poderíamos aumentar o valor de c Isso significa que as retas normais ao ponto x0 y0 onde as duas curvas se tocam devem ser as mesmas Logo os vetores gradientes são paralelos ou seja f x0 y0 gx0 y0 para algum escalar Figura 1 Exemplo 1 Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m2 de papelão Determine o volume máximo dessa caixa Sejam x y e z o comprimento a largura e a altura respectivamente da caixa em metros Queremos maximizar V xyz sujeita à restrição gx y z 2xz 2yz xy 12 Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange olhamos para os x y z e tais que V g e gx y z 12 Isso gera as equações Vx gx Vy gy Vz gz 2xz 2yz xy 12 Não há regras gerais de como resolver esse sistema de equações Algumas vezes precisamos de certa engenhosidade No presente caso você pode observar que se multiplicarmos 2 por x 3 por y e 4 por z os lados esquerdos dessas equações serão idênticos Fazendo isso temos Observamos que 𝜆 0 pois se 𝜆 0 𝑦𝑧 𝑥𝑦 𝑥𝑧 0 contradiz 5 De 6 e 7 temos 2𝑥𝑧 𝑥𝑦 2𝑦𝑧 𝑥𝑦 𝑥𝑧 𝑦𝑧 𝑧0 𝑥 𝑦 De 7 e 8 temos 2𝑦𝑧 𝑥𝑦 2𝑥𝑧 2𝑦𝑧 2𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑥0 𝑦 2𝑧 Logo 𝑥 𝑦 2𝑧 em 5 obtemos 4𝑧2 4𝑧2 4𝑧2 12 𝑧 1 𝑥 2 𝑒 𝑦 2 Exemplo 3 Encontre as dimensões de uma caixa fechada com volume de 1000 cm3 que tenha a área de sua superfície mínima 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 2𝑥𝑦 2𝑥𝑧 2𝑦𝑥 Restrição 𝑥𝑦𝑧 1000 logo 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑦𝑧 1000 𝑓 𝑓𝑥 𝑓𝑦 𝑓𝑧 2 𝑦 𝑧 2 𝑥 𝑧 2𝑥 𝑦 𝑔 𝑔𝑥 𝑔𝑦 𝑔𝑧 𝑦𝑧 𝑥𝑧 𝑥𝑦 𝑓 𝜆𝑔 2 𝑦 𝑧 2 𝑥 𝑧 2𝑥 𝑦 𝜆 𝑦𝑧 𝑥𝑧 𝑥𝑦 ൞ 2 𝑦 𝑧 𝜆𝑦𝑧 2 𝑥 𝑧 𝜆𝑥𝑧 2 𝑥 𝑦 𝜆𝑥𝑦 𝜆 2 𝑦 𝑧 𝑦𝑧 2 𝑥 𝑧 𝑥𝑧 2 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑦𝑧 𝑦𝑧 𝑥𝑧 𝑥𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 0 𝑒 𝑥𝑧 𝑥𝑧 𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑦 𝑧 𝑥 0 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑥 𝑦 𝑧 Restrição 𝑥𝑦𝑧 1000 𝑥3 1000 𝑥 10 𝑦 𝑧