Introdução aos Sistemas de Controle Dinâmicos

CONTROLE DE SISTEMAS DINÂMICOS Márcio Belloni 2 1 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE Caro aluno este primeiro bloco trata a terminologia da área de sistemas de controle dinâmicos bem como das principais características destes sistemas Apresentaremos a análise da resposta temporal de sistemas sobre polos e zeros estabilidade para então definir as funções de transferência utilizadas na análise de sistemas em malha fechada Finalmente a partir da definição da malha fechada será apresentado um método o lugar das raízes que é utilizado no projeto de controladores 11 Sistemas de controle Iniciaremos os nossos estudos com a seguinte frase que nos acompanhará Dizer que a engenharia é uma ciência exata é uma afirmação não exata pois envolve decisões e necessita adequar as ciências exatas aos casos reais Certamente esta frase traz estranheza ao ser lida pela primeira vez mas se o aluno prestar mais atenção e isto irá se acontecer principalmente durante o exercício da profissão pois é exatamente como aplicar as ciências exatas aos casos concretos a finalidade primordial da engenharia Mais que isto é permear por conceitos de todas as ciências pois o projeto de engenharia vislumbra aspectos legais econômicos físicos químicos biológicos sociais éticos dentre outros O engenheiro é profissional multidisciplinar e polivalente que precisa caminhar pelas veredas da ciência Modelagem e sistemas de controle explana exatamente esta multidisciplinariedade e a necessidade de aplicar o conhecimento das ciências exatas aos casos concretos que por vezes não são nem ao menos apresentados nos cursos de graduação Um exemplo desta necessidade é o estudo de fatores climáticos O clima é um sistema complexo com agentes emergentes e um número imensurável de variáveis onde a modelagem deve buscar ferramentas de estudos de probabilidades para prever resultados e comportamentos 3 Os casos reais são complexos e tendemos a simplificar os mesmos de forma a encontrar resultados que se aproximem do real satisfazendo os requisitos dos projetos com certa margem de tolerância Ou seja quando usamos os conceitos das forças de Newton não consideramos todas as forças atuantes em um sistema O engenheiro deve ter isto em mente de forma a respeitar estas condições estas limitações dos modelos mesmo com coeficientes de segurança atuando matematicamente nos mesmos Lembrese caro aluno que os sistemas embora sejam observados de forma fechada e isolada formam uma cadeia de eventos sendo que uns influenciam e são influenciados por outros por meio de trocas energéticas Assim é impossível um modelo exatamente idêntico ao caso real Por isto temos as ferramentas de modelagem e controle de sistemas Terminologia e características da área de controle Para iniciar os estudos devemos compreender o que são sistemas A coleção de objetos envolvidos para a realização de uma função ou diversas funções especificamente na intenção de atingir resultados determinados por objetivos bem definidos forma é o que se denomina sistema Veja que sistemas podem ser definidos como algo abstrato e não necessariamente algo físico e material como por exemplo sistemas econômicos e sociais Desta forma podemos identificar que um sistema de controle é um conjunto de componentes conectados ou relacionados entre sim de tal maneira que consigam comandar dirigir regular outros sistemas ou a si mesmos Para que os sistemas de controle possam efetuar e cumprir com os seus objetivos eles devem atuar sobre o sistema em determinadas grandezas o que matematicamente pode ser identificado como variáveis controladas As variáveis controladas são grandezas ou condições de interesse do sistema de controle grandezas estas que são mediadas e controladas pelo sistema Contudo não há somente variáveis controladas mas também existem grandezas de interesse do sistema que devem ser alteradas de forma a garantir o controle de medição das variáveis controladas Estas variáveis que 4 são alteradas pelo controlador na intenção de afetar e alterar a variável controlada são denominadas variáveis manipuladas As variáveis controladas costumam ser a saída de um sistema de controle Assim controlar significa medir o valor da variável controlada de um sistema e aplicar alterações na variável manipulada para corrigir ou limitar os valores da variável controlada de forma que mantenha dentro das diretrizes do controle em si Os sistemas de controle podem atuar sobre processos que evoluem progressivamente e ainda caracterizam mudanças graduais possuindo finalidades específicas Exemplos de processos químicos físicos econômicos e biológicos Os processos industriais são essencialmente químicos e físicos mas a área de controle pode estudar a dinâmica do nível de açúcar no sangue a partir da variação da quantidade de insulina inserida ou mesmo o comportamento da inflação em função de variáveis de entrada Na indústria química petroquímica papel e celulose farmacêutica alimentícia automobilística siderúrgica enfim na maioria dos processos industriais existe uma área específica que cuida do controle e dos equipamentos pertinentes a área de instrumentação e controle ou simplesmente controle de processos Dois tipos de controle automático oposto a manual ocorrem o controle dinâmico a variáveis contínuas trabalhase principalmente com a realimentação da variável controlada para realizar a ação de controle e o controle de eventos discretos trabalhase com ações de lógica temporização contadores etc implementados através dos controladores lógicos programáveis CLP Para melhor compreender o objeto de estudo desta disciplina vejamos um exemplo de sistema de controle dinâmico a variáveis contínuas o sistema de controle de nível de um gerador de vapor GV O GV é utilizado em processos industriais para gerar vapor a partir da troca térmica entre dois fluídos Por exemplo utilizamos um GV para geração de vapor enviado para uma turbinagerador elétrico com intuito de gerar energia em usinas nucleares Para que o gerador de vapor cause um vapor de qualidade é necessário manter o nível em um valor fixo e prédefinido chamado de valor de referência também conhecido 5 setpoint ou valor desejado Se isto não for feito podemos gerar um vapor com água ou descobrir os tubos em U o que no exemplo da usina nuclear como em AngraBrasil pode danificar a turbina ou até gerar um acidente nuclear Assim utiliza se um sistema de controle de nível que possui um controlador um sensor ou elemento primário e um atuador para controlar alguma variável da planta que é o sistema ou objeto a ser controlado conforme representado na figura a seguir Fonte autor Figura 11 Sistema de controle de nível de um gerador de vapor GV Este sistema de controle de nível pode ser representado por um diagrama de blocos conforme representado na figura 12 com designação dos componentes genéricos e das variáveis utilizadas na teoria de controle Acrescentamse às variáveis manipuladas e controladas definidas anteriormente as variáveis de perturbação ou distúrbio No exemplo em questão temos as seguintes variáveis Variável manipulada que modifica a variável controlada de forma desejada No exemplo é a corrente de saída do controlador Podese entender que são variáveis manipuladas todas as variáveis até a entrada da planta no caso a abertura do orifício da válvula ou a vazão de água de alimentação Variável de Perturbação ou distúrbio que afetam a variável controlada de forma não desejada vazão de vapor 6 Variável controlada ou variável de saída variável que deve ser mantida no valor desejado nível no GV Variável de referência setpoint SP ou valor desejado é o valor onde a variável a ser controlada deve ser mantida sinal de tensão Variável da realimentação ou variável de processo PV variável de saída do sensor que está relacionado com o atuador Erro o cálculo desta variável é executado dentro do controlador e é dado pela diferença entre o valor de referência e a variável de processo O detector de erro gera uma saída que é dada pela diferença entre a variável de referencia e a variável de processo Fonte autor Figura 12 Diagrama de blocos do sistema de controle de nível de um gerador de vapor GV Sempre que o sistema de controle for realimentado terá um diagrama de blocos dado pelos componentes e as variáveis acima representadas Observação em processos industriais a variável de processo saída do sensor e a variável manipulada de saída do controlador são valores de corrente de 4 a 20 mA Com a utilização de sistemas digitais e redes de comunicação para a automação estas variáveis passaram a ser digitais isto é o sensor gera um sinal digital para ser enviado através de uma rede como a profinet profibus device net CAN AsI entre outras O Entrada valor de referência Variável controlada saída Controlador Erro Atuador Variável manipulada Planta Sensor Vazão de água Variável manipulada Variável de perturbação vazão de vapor Variável de processo Válvula GV Nível do GV Corrente Corrente 7 mesmo ocorre com os controladores que passaram a ser digitais e geram sinais por rede ou sinais de tensão analógica Em um processo caso a saída seja em corrente e o sinal é de tensão é necessário convertêlo através de um condicionar de sinais ou simplesmente um conversor de tensão para corrente Em sistemas de controle a necessidade de controlar como foi citada vem do fato que o equipamento pode não operar adequadamente se fosse mantido fixo o valor de suas variáveis No caso do GV não é possível ajustar a vazão de água em um único valor para manter o nível constante pois na primeira variação de vazão de vapor que ocorrer o nível será alterado Assim o engenheiro da área de controle deve propor um controle automático realimentado sempre que ocorre a um distúrbio ou perturbação no processo b mudanças nos parâmetros da planta ou c desejase alterar as características da resposta transitória do sistema ou o erro de regime permanente valor do erro quando a variável controlada fica constante O sistema de controle realimentado é conhecido também como malha fechada que como foi citado tem como principal característica medir o sinal da variável controlada e enviálo para o controlador onde é calculado o sinal de erro Este sinal é a entrada de um algoritmo de controle que pode ser dado por um circuito a amplificador operacional controle em tempo contínuo ou através de um sistema computacional controle em tempo discreto A saída do controlador é tratada por um condicionador de sinal e enviada para o atuador que altera uma variável de entrada da planta variável manipulada com o objetivo de ajustar a variável controlada Para controlar uma planta é necessário conhecer a sua dinâmica ou o seu comportamento no tempo como também propor o controlador mais adequado Assim procedese pelo estudo da dinâmica dos sistemas através do desenvolvimento de modelos matemáticos não somente da planta mas também do atuador e do sensor para então definir o controlador e os seus ganhos com o objetivo de o sistema de controle atingir as especificações de desempenho propostas transitório tempo de acomodação sobressinal tempo de subida e do regime erro de regime permanente ou erro do estado estacionário além do tipo de resposta esperada 8 Na indústria de processos os controladores mais utilizados são o PID Proporcional IntegralDerivativo e os compensadores de avanço atraso e avançoatraso Contrapondo ao sistema em malha fechada existem casos onde podemos utilizar a malha aberta Nesta situação a variável controlada não é enviada para o controlador sendo portanto uma situação especial onde o sistema não tem perturbações nem mudança de parâmetros e aceitase uma resposta razoável para o sistema Por exemplo imagine o ciclo de uma lavadora automática As operações de colocar de molho lavar e enxaguar em uma lavadora são executadas sequencialmente A lavadora não verifica a qualidade da limpeza nas roupas após o ciclo A malha aberta será utilizada quando o sistema é bem conhecido e não possui agentes de distúrbio interno ou externo que tragam perturbação na qualidade da saída Sistemas de malha aberta são reconhecidamente baseados no tempo Veja abaixo um exemplo de um diagrama de blocos de um sistema de malha aberta Imagine um sistema formado por um aquecedor nele não se deseja que o sinal de saída mantenha uma temperatura ideal qualquer mas que apenas sofra a ação do aquecimento Assim o sinal de saída não influenciará o sinal de entrada e também não será medido Neste caso temos um sistema em malha aberta segundo a imagem abaixo Fonte autor Figura 13 Diagrama de blocos de um sistema em malha aberta Segundo Ogata 2010 as principais vantagens dos sistemas de controle em malha aberta são a Simples de ser construídos e tem fácil manutenção b Menos dispendiosos do que é um sistema correspondente em malha fechada c Não apresenta um problema de estabilidade 9 d São adequados quando existem dificuldades de medição de saída ou quando a medição precisa da saída não é economicamente possível E as principais desvantagens do sistema de controle de malha aberta são a Distúrbios e mudanças na calibração causam erros e a saída pode apresentar diferenças em relação ao padrão desejado b Para que a saída mantenha a qualidade requerida é necessária uma regulagem periódica Assim uma torradeira com uma temporização é um controle em malha aberta pois não existe um sensor para qualificar por exemplo a cor da torrada ou mesmo a característica ideal para a torrada Finalmente temos algumas definições e características que são utilizadas na área de controle Controle clássico e moderno no controle clássico são utilizadas as funções de transferência de cada elemento do sistema de controle enquanto no controle moderno utilizamos a representação por equações de estado e avaliamse os elementos variáveis de estado que são associadas aos fluxos de energia do sistema Em ambos os casos avaliase principalmente a questão da estabilidade relativa do sistema e sua robustez Controle em tempo contínuo e controle em tempo discreto quando utilizamos controladores analógicos implementados com amplificadores analógicos ou seja a saída do controlador é definida em cada instante de tempo e dizemos que o controle é dado em tempo contínuo Dizemos que a saída do controlador mt é definida para 𝒕 ℝ e é dada por 𝒎𝒕 𝑲𝒅𝒊𝒏 𝒆𝒕 onde 𝑲𝒅𝒊𝒏 representa um ganho dinâmico variável dependendo do controlador utilizado No controle em tempo discreto a saída m e a entrada e são dadas por sequências de valores que são estabelecidos em instantes bem definidos os instantes de amostragem onde 𝒎𝑲𝑻 𝑲𝒅𝒊𝒏 𝒆𝑲𝑻 assim teremos valores de saída de controle e erro definidos somente em 0T 1T 2T e assim por diante Então 𝒕𝒌 𝒌𝑻 com 𝑻 fixo e 𝒌 ℝ 10 Controle manual e controle automático no controle manual a ação sobre a saída do controlador é feita por um operador enquanto no controle automático o controle é feito por um circuito analógico ou um sistema digital Regulador ou Seguidor ou servossistema se o controle é do tipo regulador significa que o objetivo é manter uma variável de processo em um valor constante SP constante mesmo na presença de distúrbios enquanto o seguidor a variável de processo segue uma função do tempo prédeterminada Ação de controle onoff ligadesliga e ação de controle contínua na ação de controle onoff a saída do controlador assume dois valores 0 ou 100 do seu valor máximo isto é valores discretos Na ação de controle contínua a saída com controlador varia de 0 a 100 do seu valor máximo Análise temporal de sistemas dinâmicos No estudo de controle é necessário conhecer a dinâmica do processo a ser controlado e dos demais componentes do sistema de controle proposto Assim através do desenvolvimento de modelos matemáticos determinase uma equação que representa o comportamento das variáveis de entrada e saída de cada elemento Utilizando a transformada de Laplace gerase uma representação algébrica e a função de transferência que é utilizada para representar cada elemento do diagrama de blocos Estes elementos do sistema de controle podem ser representados por dinâmicas de primeira ordem ou segunda ordem ou até ordem superior O estudo da resposta temporal e da estabilidade é fundamental para se propor um controlador adequado para o sistema de controle Vamos colocar rapidamente estes conceitos Função de Transferência na visão clássica do controle um sistema é representado por uma equação diferencial que relaciona uma variável de saída com uma variável de entrada A função de tranrência é definida como a relação entre a transformada de Laplace da saída função de resposta response function e a transformada de Laplace da entrada função de excitação driving function admitindose todas as condições iniciais nulas OGATA 2010 11 A utilização da transformada de Laplace para definir a função de transferência é primordial para que consiga sim representar o sistema definido em função do tempo para equações no domínio da frequência Assim teremos a situação para a função de transferência Gs segundo o descrito abaixo 𝑭𝒖𝒏çã𝒐 𝒅𝒆 𝑻𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒆𝒓ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝑮𝒔 𝓛𝒔𝒂í𝒅𝒂 𝓛𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊çõ𝒆𝒔 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒊𝒔 𝒏𝒖𝒍𝒂𝒔 Suponha que o sinal de entrada seja definido pela função Us e que a saída seja representada como um sinal definido pela função Ys Então a função de transferência irá considerar esses sinais segundo descrito abaixo 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 Teremos então uma relação algébrica entre a entrada e a saída do sistema dada por Gs O bloco da figura 14 ilustra tal fato Fonte autor Figura 14 Bloco fundamental da função de transferência Polos e zeros de uma função de transferência estes valores da variável s são muito importantes na avaliação da resposta temporal de sistemas Eles estão associados às raízes do denominador polos e do numerador zeros de Gs Temos então a seguinte definição Polos p são os valores de s que anulam o denominador de Gs Assim são os valores de s que fazem Gs tender ao infinito Zerosz são os valores de s que anulam o numerador de Gs Assim são os valores de s que fazem Gs tender a zero Gs Us Ys 12 Podem existir zeros no infinito o número de zeros no infinito corresponde à diferença entre os polos finitos e os zeros finitos isto é 𝑵𝒐 𝒛 𝒏 𝒎 Onde n representa o número de polos finitos e m representa o número de zeros finitos Exemplo Determine os polos e zeros da função Gs abaixo 𝑮𝒔 𝟗 𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟗 Veja que o numerador não possui um valor que consiga zerar Gs Deste modo pode se dizer que a função de transferência apresentada não possui zeros finitos mas sim dois zeros no infinito Para que Gs devese encontrar os polos que serão dois pois tratase de um polinômio de segunda ordem ou um trinômio de segundo grau 𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟗 𝟎 As raízes serão 𝒑𝟏 𝟏 𝟐 𝟖𝟐𝟏 𝟏 𝒋𝟐 𝟖𝟐 e 𝒑𝟐 𝟏 𝒋𝟐 𝟖𝟐 Resposta de sistemas de primeira ordem estes sistemas são representados por equações diferenciais com derivadas de primeira ordem Ao obter a função de transferência trabalhase com dois parâmetros o ganho do sistema e a constante de tempo sendo dada por 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑲 𝒔𝑻 𝟏 A resposta para uma entrada degrau ut A1t será dada por 𝒚𝒕 𝑲𝑨𝟏𝒕 𝒆𝟏 𝑻𝒕 Na figura 15 representase a resposta do sistema a saída yt em função de uma entrada ut do tipo degrau 13 Fonte autor Fonte Autor Figura 15 Gráfico da resposta ao degrau para um sistema de primeira ordem genérico Os parâmetros da resposta ao degrau são o ganho K que representa o valor da função de transferência quando o sistema entra em regime a constante de tempo que representa o valor do tempo onde a amplitude atinge 63 do valor final Além destes temos que o valor final é dado por 𝒗𝒇 𝑲𝑨 O valor do polo do sistema está relacionado com a constante de tempo sendo 𝒑 𝟏 𝑻 Temos ainda os parâmetros de tempo dados pelo tempo de subida e tempo de acomodação Tempo de subida ou Rise Time Tr Por definição o tempo necessário para que a resposta ao degrau passe de 10 até 90 de seu valor final Tomemos o tempo t1 onde a amplitude é 10 de vf e o tempo t2 onde ela é 90 de vf Vale então que 𝑻𝒓 𝒕𝟐 𝒕𝟏 1T 2T 3T 4T 𝟎 𝟔𝟑𝒗𝒇 𝟎 𝟖𝟔𝒗𝒇 𝟎 𝟗𝟓𝒗𝒇 𝟎 𝟗𝟖𝟏𝒗𝒇 14 O gráfico da figura 16 apresenta o tempo de subida de um sistema de primeira ordem Tempo de Acomodação Assentamento ou Estabilização ou Settling Time Ts Por definição é o tempo necessário para o sistema variar dentro de uma faixa de 2 do valor final O seu cálculo pode ser dado de forma aproximada em função da constante de tempo 𝑻𝒔 𝟒𝑻 No gráfico da resposta temporal da figura 16 indicase que quando o tempo corresponder às quatro constantes de tempo a saída será 981 de vf Ou seja está acima de 98 o que equivale a dizer dentro da faixa de 2 do valor final Fonte autor Figura 16 Gráfico da resposta temporal para a entrada degrau de um sistema de primeira ordem com Tr e Ts indicados Resposta de sistemas de segunda ordem estes sistemas são representados por equações diferenciais com derivadas de segunda ordem Ao obter a função de transferência trabalhase com três parâmetros o ganho do sistema a frequência natural ωn e o fator de amortecimento 𝝃 A função de transferência é dada por 15 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑲 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝜻𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 A resposta ao degrau dependerá do valor do fator de amortecimento ou dos polos do sistema sendo dados por 𝒑𝟏𝟐 𝜻𝝎𝒏 𝝎𝒏𝜻𝟐 𝟏 Definemse dois novos parâmetros a frequência amortecida e a constante de atenuação sendo dadas por 𝝎𝒅 𝝎𝒏𝟏 𝜻𝟐 e 𝝈 𝝎𝒏𝜻 Estes valores podem ser associados com a resposta de sistemas de segunda ordem A constante de atenuação fornece o grau de decaimento da resposta do sistema e a frequência de amortecimento fornece o período de oscilação do sistema principalmente quando a resposta é do tipo oscilatória Temos então as seguintes respostas para um sistema de segunda ordem Resposta superamortecida se 𝜻 𝟏 os polos são reais e distintos Resposta criticamente amortecida se 𝜻 𝟏 os polos são reais e iguais Resposta subamortecida se 𝟎 𝜻 𝟏 os polos são complexos com parte real e imaginária Resposta oscilatório pura se 𝜻 𝟎 os polos são imaginários puros Os gráficos da resposta temporal para uma entrada degrau da figura 17 ilustram os tipos de respostas de um sistema de segunda ordem em função dos polos e do valor do coeficiente de amortecimento 16 Fonte autor Figura 17 Respostas de sistemas de segunda ordem em função dos polos e do fator de amortecimento As características de desempenho podem ser apresentadas ao analisar a resposta transitória aquela que antecede o regime permanente como abaixo 17 Fonte FELICIO2010 Figura 18 Especificação de parâmetros para a resposta do sistema de segunda ordem subamortecido à entrada degrau O tempo onde ocorre o valor de pico qotp pode ser encontrado ao se analisar o máximo da função Este valor máximo pode ser encontrado quando a taxa de variação instantânea de qo no tempo resulta nula Ogata2010 nos apresenta que a Tempo de atraso td se trata do tempo requerido para que a resposta alcance metade de seu valor final pela primeira vez b Tempo de subida tr é o tempo requerido para que a resposta passe de 10 a 90 ou de 5 a 95 ou de 0 a 100 do valor final Para sistemas de segunda ordem subamortecidos o tempo de subida de 0 a 100 é o normalmente utilizado Para os sistemas superamortecidos o tempo de subida de 10 a 90 é o mais comumente utilizado c Tempo de pico tp é o tempo para que a resposta atinja o primeiro pico de sobressinal 18 d Máximo sobressinal em porcentagem Mp é o valor máximo de pico da curva de resposta medido a partir da unidade Se o valor final da resposta em regime permanente diferir da unidade então é comum utilizar porcentagem máxima de sobressinal ou máximo sobressinal 𝑴𝒑 definida por 𝑴𝒑 𝒄𝒕𝒑 𝒄 𝒄 𝒙𝟏𝟎𝟎 e Tempo de acomodação ts é o tempo necessário para que a curva de resposta alcance valores em uma faixa geralmente de 2 ou 5 em torno do valor final aí permanecendo indefinidamente O tempo de acomodação está relacionado à maior constante de tempo do sistema de controle Podese determinar qual porcentagem deve ser utilizada no critério de erro a partir dos objetivos do projeto do sistema em questão Existem algumas fórmulas para os parâmetros definidos para o sistema de segunda ordem O tempo de subida tr é dado por 𝒕𝒓 𝟏 𝝎𝒅 𝒕𝒈𝟏 𝝎𝒅 𝝈 O tempo de pico tp corresponde ao primeiro pico do sobressinal assim 𝒕𝒑 𝝅 𝝎𝒅 Uma vez conhecido o tempo de pico o sobressinal Mp ocorrerá no tempo de pico então fácil entender que 𝑴𝒑 𝒆 𝜻 𝟏𝜻𝟐 𝝅 ou 𝑴𝒑 𝒆 𝝈 𝝎𝒅𝝅 𝟏𝟎𝟎 O tempo de acomodação ts irá ser definido considerando a tolerância que geralmente é entre 𝟓 e 𝟐 Segundo Ogata 2002 para 2 o valor de ts será de quatro 19 vezes a constante de tempo e para 5 será de três vezes a constante de tempo Iremos trabalhar com a variação de 𝟐 Logo 𝒕𝒔 𝟒𝑻 𝟒 𝜻𝝎𝒏 𝟒 𝝈 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟐 Exemplo Determine o tipo de resposta do sistema dado a seguir 𝑮𝒔 𝟗 𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟗 Polos raízes de 𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟗 𝟎 𝒑𝟏𝟐 𝟏 𝟐 𝟖𝟐𝟏 Por ter raízes complexas o sistema será subamortecido Verificando o valor do fator de amortecimento 𝟐𝛚𝐧𝛇 𝟐 𝛚𝐧 𝟐 𝟗 Então 𝟐𝛇𝟗 𝟐 𝛇 𝟎 𝟑𝟑𝟒 𝟏 O que confirma que o sistema é subamortecido O gráfico da resposta ao degrau está apresentado na figura 19 20 Fonte autor Figura 19 Raízes complexas apresentam um sistema subamortecido Sistemas de terceira ordem em diante têm respostas ao degrau dadas por combinações de respostas de sistemas de primeira e segunda ordem Estabilidade quanto ao aspecto de estabilidade existem duas definições a estabilidade absoluta que diz que um sistema é estável se todos os seus polos estiverem do lado esquerdo estrito não inclui o eixo imaginário do plano s Em outras palavras os polos devem ter parte real negativa Já a estabilidade relativa diz respeito a quanto um sistema pode ser estável ou seja podemos tomar uma planta propor um controlador e definir seus ganhos polos e zeros para obter uma resposta mais rápida não oscilatória e com outras especificações que são mais adequadas para a planta em questão Nessa situação ser mais rápido significa ser mais estável que o sistema sem controle ou com ganhos definidos de forma inadequada Exemplo de avaliação de estabilidade o sistema dado pela função de transferência abaixo será estável Justifique 𝑮𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟒𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟓 21 Solução para verificar se será estável devemos determinar os polos Lembrando que o polo é o valor de s que anula o denominador de Gs e portanto faz Gs tender ao infinito teremos o primeiro polo como raiz da equação 𝒔 𝟒 𝟎 𝒔 𝟒 ou 𝒑𝟏 𝟒 Os demais polos serão raízes de 𝟏𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟓 𝟎 Então 𝒔𝟐𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟒 𝟏 𝟓 𝟐 𝟏 𝟐 𝟒 𝟐𝟎 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟐 𝟏𝟏𝟔 𝟐 𝟐 𝟒𝒋 𝟐 Finalmente 𝒔𝟐𝟑 𝟏 𝟐𝒋 𝒐𝒖 𝒑𝟐𝟑 𝟏 𝟐𝒋 O sistema será estável pois todos os polos têm parte real negativa Assim estão à esquerda do eixo imaginário conforme representado no plano s da figura 110 Fonte autor Figura 110 Plano s com a representação dos polos da função de transferência dada Plano s jω estável instável 2j σ 1 4 2j Marginalmente estável polos no eixo imaginário 22 12 A malha fechada Como foi apresentado no diagrama de blocos do sistema de controle de nível realimentado ou malha fechada normalmente temos uma interconexão entre os blocos em um ramo que relaciona a entrada e saída de forma direta que é o ramo que inclui controlador atuador e planta e o ramo de realimentação e possui o bloco do sensor Podemos determinar as funções de transferência de cada elemento e analisar o diagrama de blocos para realizarmos o projeto do controlador que como foi citado possui funções de transferência conhecidas bastando definir o melhor controlador e seus ganhos a fim de obter uma resposta adequada para o sistema em malha fechada Normalmente empregamse algumas ferramentas de projeto como os métodos lugar das raízes Nyquist diagramas de Bode dentre outros O estudo da resposta temporal do sistema em malha fechada é fundamental para podermos aplicar os métodos e determinar o controlador adequado Assim avaliar a estabilidade a resposta do sistema em malha fechada frente às especificações de desempenho desejado é de suma importância Neste estudo trabalhase com as funções de transferência de malha aberta e de malha fechada que são obtidas a partir da simplificação do diagrama de blocos do sistema de controle realimentado As notações aqui adotadas para os nomes das variáveis de entrada e saída dos blocos bem como as funções de transferência dos blocos obedecem a um critério para facilitar o entendimento rápido da variável e do bloco sendo adotado em alguns dos livros da área de controle Utilizemos então um exemplo de um sistema de controle para apresentar o diagrama de blocos com as funções de transferência de cada bloco Tratase do sistema de controle de controle de temperatura de um forno 23 Fonte autor Figura 111 Sistema físico de controle de temperatura de um forno Este sistema possui um sensor de temperatura o termopar que mede temperatura gerando um sinal de tensão da ordem de milivolts que será amplificado e transformado em um sinal de corrente PV variável de processo para ser enviado para o controlador Este elemento é normalmente associado ao bloco do sensor No controlador o sinal do sensor é comparado com o valor desejado SP Set Point gerando um erro que entra em um algoritmo de controle para gerar uma saída do controlador Este sinal de saída é enviado para um circuito de potência que gera um nível de corrente e tensão adequados para acionar as resistências elétricas O circuito de potência e as resistências podem ser agrupados em um único bloco Cada componente isto é o atuador o sensor e a planta podem ser modeladas segundo as variáveis de entrada e saída consideradas para obter seus blocos de função de transferência O controlador já tem um bloco conhecido uma vez que é definido previamente Assim ao final teremos a representação através do diagrama de blocos da figura 112 Forno elétrico Resistência Termopar Circuito de condicionamento de sinal Corrente 4 a 20mA Temperatura Circuito de Potência Controlador Valor de referência Corrente 4 a 20mA Potência Térmica 24 Fonte autor Figura 112 Diagrama de blocos do sistema de controle de temperatura do forno Por questão de compreensão do diagrama vamos definir as funções de transferência verificando quem é cada variável e fornecer a variável do exemplo ao invés de representar no diagrama de blocos Temos as seguintes funções de transferência Hs FT do sensor no exemplo é a função de transferência do termopar associado ao circuito de condicionamento de sinal GAs FT do atuador no exemplo é a função de transferência da resistência associada ao circuito de potência GPs FT da planta no exemplo é a função de transferência do forno elétrico GCs FT do controlador no exemplo pode ser a função de transferência de um PID ou de um compensador de avanço etc Se a implementação for feita com um amplificador operacional devemos associar este componente com um conversor de tensão para corrente As variáveis indicas são descritas por rt valor de referência ou valor desejado ou set point SP No exemplo é um sinal de tensão por exemplo se o controlador está utilizando um amplificador operacional Controlador GCs Rs Ms Cs GAs Atuador Planta GPs Us Es et rt mt ut ct Bs bt Hs Sensor 25 et é o sinal de erro e é dado por et rt bt No exemplo é um sinal de tensão bt é o sinal de saída do sensor No exemplo é a corrente de saída do circuito de condicionamento de sinal mt é o sinal de saída do controlador variável manipulada No exemplo é a corrente de saída do controlador ut é o sinal de saída do atuador também é uma variável manipulada No exemplo é a potência térmica produzida pela resistência ct é o sinal de saída da planta que representa a variável controlada No exemplo é a temperatura do forno Assim as funções de transferência para cada bloco devem ser obtidas a partir da relação entre as variáveis de entrada e saída de cada bloco Para efeito do projeto do controlador definemse as seguintes funções de transferência Função de transferência do ramo direto 𝑮𝑹𝑫𝒔 𝑪𝒔 𝑬𝒔 𝑮𝑪𝒔𝑮𝑨𝒔𝑮𝑷𝒔 É obtida a partir dos blocos dados no ramo direto que estão em cascata conforme representado na figura 113 equivale a Fonte autor Figura 113 Representação do ramo direto para definição da GRDs GCs Ms Cs GAs GPs Us Es GRDs Cs Es 26 Função de transferência de malha aberta é obtida pela relação entre Rs e Bs supondo que se abre a malha fechada na entrada negativa do detector de erro A figura 114 representa esta situação onde se trabalha com dois blocos em cascata o GRDs e o Hs A função de transferência de malha aberta será dada por 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝑩𝒔 𝑹𝒔 𝑮𝑹𝑫𝒔𝑯𝒔 equivale a Fonte autor Figura 114 Diagrama de blocos da função de transferência de malha aberta Observando o diagrama de blocos a esquerda da figura 114 verificase que os dois blocos estão em cascata e que RsEs uma vez que o sinal Bs foi desacoplado do detector de erro Assim a função de transferência de malha aberta Gmas será dada por 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝑩𝒔 𝑹𝒔 𝑮𝑹𝑫𝒔𝑯𝒔 Função de transferência de malha fechada ela é a relação entre a entrada Rs e a saída do sistema Cs para o sistema em malha fechada representado na figura 115 Ponto onde a malha é aberta GRDs Rs Cs Es ct Bs Hs Gmas Bs Rs 27 equivale a Fonte autor Figura 115 Diagrama de blocos da função de transferência de malha fechada Através de cálculos chegase no seguinte valor para a função de transferência de malha fechada Gmfs 𝑮𝒎𝒇𝒔 𝑪𝒔 𝑹𝒔 𝑮𝑹𝑫𝒔 𝟏 𝑮𝑹𝑫𝒔𝑯𝒔 Como GRDsHs Gmas a função de transferência de malha fechada é também dada por 𝑮𝒎𝒇𝒔 𝑪𝒔 𝑹𝒔 𝑮𝑹𝑫𝒔 𝟏 𝑮𝒎𝒂𝒔 Em Ogata 2010 é feita a dedução da fórmula Gmfs A partir do seu cálculo podemos verificar a resposta temporal do sistema e os parâmetros da resposta transitória apresentados anteriormente tipo de resposta sobressinal tempo de subida e tempo de acomodação Quando se fala em malha fechada podemos também analisar o erro Es e seu valor quando o sistema entra em regime isto é o Erro de Regime Permanente Este valor é também um parâmetro de desempenho mas para a parte em regime permanente da resposta utilizado no projeto de controladores e deve estar relacionado apenas com a variável de entrada Rs Assim o erro de regime será igual a Gmfs Cs Rs Rs Es GRDs Cs ct Bs Hs 28 𝒆 𝐥𝐢𝐦 𝒕 𝒆𝒕 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔𝑬𝒔 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔 𝑹𝒔 𝟏 𝑮𝒎𝒂𝒔 O valor do erro é calculado a partir da entrada Rs e da função de transferência de malha aberta A dedução desta fórmula pode ser encontrada em Ogata 2010 Existe ainda uma simplificação no cálculo deste erro para as entradas degrau rampa e parábola Finalmente outro estudo importante é sobre a estabilidade em malha fechada Como foi citado podemos determinar a estabilidade verificando a posição dos polos no eixo imaginário No entanto por vezes o sistema pode ter um denominador de terceira ordem em diante ou ainda podemos ter um sistema em malha fechada onde queremos determinar para que valores de um ganho do sistema em malha fechada ele será estável Nesta situação utilizamos o critério de Routh que será apresentado a seguir Critério de Routh para estabilidade O critério não informa quais são os valores dos polos mas fornece a informação se o sistema é estável ou não não informa se é instável ou marginalmente estável Dado um sistema qualquer representado por uma FT Gs onde GskNsDs Igualando Ds0 denominamos a equação obtida como equação característica que genericamente é dada por 𝒂𝟎𝒔𝒏 𝒂𝟏𝒔𝒏𝟏 𝒂𝟐𝒔𝒏𝟐 𝒂𝒏𝟏𝒔𝟏 𝒂𝒏 𝟎 Este sistema será ESTÁVEL se e somente se obedecer às seguintes condições Condição 1 Necessária Todos os coeficientes a0 a1 a2 an devem ter o mesmo sinal e serem nãonulos 29 Condição 2 Suficiente Todos os termos da série de Routh devem ter o mesmo sinal e serem nãonulos A série de Routh 2ª coluna da tabela a seguir é obtida a partir do seguinte algoritmo Tabela 11 Algoritmo utilizado para calcular a série de Routh Fonte autor Exemplos de aplicação do critério podem ser encontrados em Ogata 2010 13 Métodos de análise de sistemas dinâmicos no tempo contínuo Os métodos de análise permitem definir o comportamento da dinâmica e da estabilidade de sistemas em malha fechada permitindo projetar o controlador do sistema Veremos aqui somente o método do lugar das raízes Existem outras ferramentas de projeto como o diagrama de Nyquist a carta de Nichols e os diagramas de bode Método do Lugar das Raízes O método do lugar das raízes é uma representação gráfica no plano s dos polos de malha fechada de um sistema de controle realimentado quando se varia um ganho específico do sistema Normalmente utilizase o ganho do controlador como se verificará adiante 2ª coluna 30 No caso do controlador PID utilizase o ganho proporcional Este ganho normalmente é positivo isto é 𝒌 𝟎 com 𝒌 ℝ Como foi determinado anteriormente a função de transferência de malha fechada é dada por 𝑮𝒎𝒇𝒔 𝑪𝒔 𝑹𝒔 𝑮𝑹𝑫𝒔 𝟏 𝑮𝒎𝒂𝒔 Os polos de malha fechada são as raízes da equação característica isto é 𝟏 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝟎 Podemos dizer que o Lugar das Raízes é um conjunto de curvas do plano s onde estão localizados os polos de malha fechada A condição para um polo pertencer ao lugar das raízes implica que 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝟏 Como sabemos essa função de transferência é um número complexo assim podemos avaliála na frequência e definir duas condições para que essa função seja igual a 1 Condição do módulo 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝟏 Condição da fase ou ângulo 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝟏𝟖𝟎𝒐 𝒓 𝟑𝟔𝟎𝒐 𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒓 𝟎 𝟏 𝟐 Lembrando que 𝑮𝒎𝒂𝒔 pode ser escrito na forma de produto de zeros dividido por produtos de polos incluindo o ganho isto é 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝒌 𝒔 𝒛𝟏𝒔 𝒛𝟐 𝒔 𝒛𝒎 𝒔 𝒑𝟏𝒔 𝒑𝟐 𝒔 𝒑𝒏 31 Aplicando as duas condições determinase o ganho k da malha aberta inclui o ganho do sistema e do controlador e a relação de fase ou ângulo entre os ângulos dos binômios dos polos e dos zeros do sistema em malha aberta isto é 𝒌 𝒔 𝒛𝟏𝒔 𝒛𝟐 𝒔 𝒛𝒎 𝒔 𝒑𝟏𝒔 𝒑𝟐 𝒔 𝒑𝒏 Para os ângulos vale 𝒔 𝒛𝟏 𝒔 𝒛𝟐 𝒔 𝒛𝒎 𝒔 𝒑𝟏 𝒔 𝒑𝟐 𝒔 𝒑𝒏 𝟏𝟖𝟎𝒐 𝒓 𝟑𝟔𝟎𝒐 Esta condição de fase permite avaliar se um polo de malha fechada pertence ou não ao lugar das raízes Para entender qual é o ângulo veja a figura 116 dada a seguir Fonte autor Figura 116 Representação do vetor de um polo com o seu ângulo ou fase indicado Existem duas formas de se determinar o lugar das raízes LGR a por cálculo analítico utilizando o denominador de Gmfs ou b através de esboço baseado em regras básicas a Cálculo analítico do LGR Exemplo 1 Determinar o LGR do sistema dado na figura 117 p jω σ s θ 32 Fonte autor Figura 117 Representação de um sistema em malha fechada Observação Note que BsCs pois Hs1 realimentação unitária Solução para determinar o lugar das raízes devemos calcular o valor do denominador de Gmfs e impor que ele vale zero 𝑮𝒎𝒇𝒔 𝑪𝒔 𝑹𝒔 𝑮𝑹𝑫𝒔 𝟏 𝑮𝒎𝒂𝒔 Calculando GRDs 𝑮𝑹𝑫𝒔 𝑮𝑪𝒔𝑮𝑨𝒔𝑮𝑷𝒔 𝒌𝒑𝟓 𝟐 𝒔 𝟒 𝟏𝟎𝒌𝒑 𝒔 𝟒 Podemos agora calcular Gmfs 𝑮𝒎𝒇𝒔 𝟏𝟎𝒌𝒑 𝒔 𝟒 𝟏 𝟏𝟎𝒌𝒑 𝒔 𝟒 𝟏 𝟏𝟎𝒌𝒑 𝒔 𝟒 𝒔 𝟒 𝟏𝟎𝒌𝒑 𝒔 𝟒 𝟏𝟎𝒌𝒑 𝒔 𝟒 𝟏𝟎𝒌𝒑 O valor dos polos é obtido através da equação característica da malha fechada isto é 𝒔 𝟒 𝟏𝟎𝒌𝒑 𝟎 𝒔 𝟒 𝟏𝟎𝒌𝒑 𝒐𝒖 𝒑 𝟒 𝟏𝟎𝒌𝒑 Tratase de uma equação de primeiro grau portanto teremos apenas um único polo que irá variar em função da variação do ganho do controlador em questão 4 2 s Kp Rs Es Ms Cs 5 Bs Us 33 Fornecendo alguns valores para kP chegamos no valor dos polos de malha fechada p apresentados na tabela 12 dada seguir Tabela 12 valores dos polos de malha fechada em função do ganho do controlador Fonte autor Note que os polos de malha fechada devem ser definidos para KP0 e variando de forma contínua Na tabela foi colocado o valor de KP 0 a fim de chamar a atenção pois quando este valor for nulo estaremos calculando o polo de malha aberta Calculando Gmas 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝟏𝟎𝒌𝒑 𝒔 𝟒 𝟏 Polo de Gmas 𝒔 𝟒 𝟎 𝒑 𝟒 Zero de Gmas não existe um numerador em s logo não existe zero finito No entanto existe um zero no infinito O polo de Gmas é 4 Isso não ocorre por acaso pois dizemos que o LGR começa nos polos de malha aberta e termina nos zeros de malha fechada quando o ganho tende ao infinito o polo de malha fechada será Plotandose no plano s os valores dos polos de malha fechada com a variação contínua do ganho KP obtemos o LGR apresentado na figura 118 Fonte autor Figura 118 Lugar das raízes do sistema do exemplo KP 0 01 05 1 10 100 p 4 5 9 14 104 1004 4 σ jω 34 O Lugar das Raízes neste caso é uma reta que sai do 4 e conforme aumentase o ganho temos valores negativos cada vez maiores para os polos Assim o LGR representa a evolução dos polos de malha fechada com o aumento do ganho do controlador Ao aumentar o ganho o polo fica cada vez mais negativo o que implica em respostas ao degrau com menor tempo de acomodação portanto o sistema em malha fechada fica mais estável Observação é possível determinar o lugar das raízes utilizando o octave com os comandos dados a seguir a Entrar com a função de transferência de malha aberta sem o ganho KP isto é 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟒 Comandos n 10 d 1 4 gmatfnd b Determinação do lugar das raízes Comando rlocusgma Ao fornecer o último comando obtemos o LGR representado na figura 119 35 Fonte autor Figura 119 Lugar das raízes do sistema do exemplo 1 obtido no Octave Exemplo 2 Determine o LGR do sistema dado na figura 120 Note que a função de transferência do sensor Hs não foi representada o que implica que Hs1 e foi dada apenas a função do ramo direto GRDs Fonte autor Figura 120 Diagrama de blocos do sistema em malha fechada do exemplo 2 Solução podemos fazer o mesmo procedimento Calcular Gmfs e determinar os seus polos em função do ganho K 𝑮𝒎𝒇𝒔 𝑪𝒔 𝑹𝒔 𝑮𝑹𝑫𝒔 𝟏 𝑮𝑹𝑫𝒔𝑯𝒔 𝑮𝒎𝒇𝒔 𝑲𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟏 𝑲𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟏 36 Simplificando iremos obter para a função de transferência de malha fechada o seguinte valor 𝑮𝒎𝒇𝒔 𝑲𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝑲𝒔 𝑲 Equação característica 𝒔𝟐 𝑲𝒔 𝑲 𝟎 Determinação dos polos de malha fechada 𝒑𝟏𝟐 𝑲 𝑲𝟐 𝟒𝑲 𝟐 𝟏 𝑲 𝑲𝟐 𝟒𝑲 𝟐 Temos então dois polos de malha fechada que variam com o valor de K Dependendo do valor de K podemos ter polos de malha fechada complexos e reais Observando a raiz podemos concluir que dependendo do radicando da raiz podemos ter polos reais e distintos polos reais e iguais e polos complexos Se 𝑲𝟐 𝟒𝑲 𝟎 os polos de malha fechada serão reais e iguais Isto ocorre para K0 e K4 pois são os valores que anulam o radicando da raiz 𝑲𝟐 𝟒𝑲 𝟎 𝑲 𝑲 𝟒 𝟎 E os polos serão iguais a 𝑲 𝟎 𝒑𝟏𝟐 𝟎 𝑲 𝟒 𝒑𝟏𝟐 𝟐 Note que K deve ser maior que zero Para K0 estamos calculando na verdade os polos de malha aberta Se 𝑲𝟐 𝟒𝑲 𝟎 os polos serão complexos Isso ocorre para 𝟎 𝑲 𝟒 Se 𝑲𝟐 𝟒𝑲 𝟎 os polos serão reais e distintos Como K deve sempre ser maior que zero isto ocorre se 𝑲 𝟒 Com isto podemos determinar a tabela 13 que apresenta os valores dos polos de malha fechada em função do ganho K e daí traçar o lugar das raízes 37 Tabela 13 valores dos dois polos de malha fechada em função do ganho do controlador K 0 05 1 2 3 4 5 10 100 p1 0 025066j 05086j 11j 15086j 2 138 112 101 p2 0 025066j 05086j 11j 15086j 2 361 887 9898 Fonte Autor Com esta tabela é possível observar que inicialmente os dois polos de malha fechada são complexos com parte real negativa Isso ocorre até K4 quando ficam reais negativos e iguais a 2 Posteriormente observase que um dos polos tende a 1 e o outro para Estes valores representam os zeros de malha aberta assim dizemos que os polos de malha fechada iniciam a partir dos polos de malha aberta e terminam nos zeros de malha aberta que é uma das regras para se fazer o esboço do LGR 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝑲𝒔 𝟏 𝒔𝟐 Polos de Gmas 𝒔𝟐 𝟎 𝒑𝟏𝟐 𝟎 Note que temos dois polos n2 Zero de Gmas 𝒔 𝟏 𝟎 𝒛𝟏 𝟏 Temos um único zero finito m1 O número de zeros no infinito vale 𝑵𝒐 𝒛 𝒏 𝒎 𝟐 𝟏 𝟏 Assim existe um zero no infinito 𝒛𝟐 Obviamente para se ter um gráfico mais preciso do lugar das raízes quando os polos são complexos é necessário fornecer mais pontos No entanto podemos utilizar o Octave e obter o LGR da figura 21 conforme os comandos n 1 1 d 1 0 0 gmatfnd 38 rlocusgma Fonte autor Figura 121 Lugar das raízes do sistema do exemplo 2 obtido no Octave O método do lugar das raízes pode ser obtido através de regras básicas obtendose um esboço Isto pode ser interessante quando se deseja avaliar rapidamente o comportamento do sistema sem utilizar um programa como o Octave Estas regras estão apresentadas em Castrucci 2018 e podem ser simplificadas para gerar quatro regras que facilitam a elaboração do lugar das raízes Estas regras estão apresentadas a seguir Regras Básicas para elaboração do LGR 1 O lugar das raízes começa nos polos de malha aberta e termina nos zeros de malha aberta O número de polos de malha aberta será igual a n e o número de zeros finitos será igual a m Podem existir zeros no infinito 𝑵𝒐 𝒛 𝒏 𝒎 Onde n representa o número de polos finitos e m representa o número de zeros finitos 39 2 O número de ramos corresponde ao número de polos de malha aberta Nramosn 3 Ramos no eixo real existem ramos ou parte de ramos no eixo real Os ramos no eixo real estão à esquerda de um número ímpar que representa a soma de polos e zeros de malha aberta contados da direita para a esquerda 4 Assíntotas são retas que saem do eixo real a partir do Centro das Assíntotas σC formando um ângulo com o eixo real βl Os ramos que vão para o infinito tendem ou estão apoioados nas assíntotas Fórmulas para cálculo das assíntotas No de assíntotas Nanm Centro das assíntotas σC 𝝈𝑪 𝒑𝒊 𝒏 𝒊𝟏 𝒛𝒋 𝒎 𝒋𝟏 𝒏 𝒎 Ângulo das Assíntotas com o eixo real 𝜷𝒍 𝟐𝒍 𝟏 𝒏 𝒎 𝟏𝟖𝟎𝒐 Onde l varia de 0zero a nm1 Observação estas regras são básicas e suficientes para determinar um esboço rápido do LGR Podemos utilizar uma regra que exige mais cálculos que trata dos pontos em que os ramos saem e retornam para o eixo real que são os pontos de partida e chagada sobre o eixo real Dado que 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝑲 𝑵𝒔 𝑫𝒔 com 𝑫𝒔 𝟎 Sabemos que temos um polo de malha fechada quando 40 𝟏 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝟎 𝟏 𝑲 𝑵𝒔 𝑫𝒔 𝟎 Com isto podemos determinar o valor de k 𝑲 𝑫𝒔 𝑵𝒔 Provase que os pontos de partida e chegada são calculados fazendo 𝒅𝑲 𝒅𝒔 𝟎 𝒅𝑲 𝒅𝒔 𝑫𝒔 𝑵𝒔 𝑫𝒔𝑵𝒔 𝑵𝒔𝟐 No último exemplo de cálculo analítico podemos determinar os pontos de saída e chegada já que 𝑮𝒎𝒂𝒔 𝑲𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝒌 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 Logo 𝒅𝑲 𝒅𝒔 𝟐𝒔 𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟏 𝒔 𝟏𝟐 𝟎 A derivada será zero se o numerador for nulo Assim 𝟐𝒔 𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟏 𝟎 𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟎 Isso ocorre se 𝒔 𝟐 𝒔 𝟎 Se ao substituir as raízes s e s no ganho K resultar um número real e positivo teremos essas raízes como pontos de chegada ou partida 𝑲 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟐𝟐 𝟐 𝟏 𝟒 𝑲 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟎𝟐 𝟎 𝟏 𝟎 41 Então o ponto de partida dos polos de malha fechada é em zero 0 e o ponto de chegada é em 2 Nestes valores é importante ressaltar que K é nulo no ponto de partida o que implica que os polos são de malha aberta A partir daí teremos polos complexos de malha fechada até que K seja igual a 4 quando os polos de malha fechada passam a ser reais e negativos Conclusão Neste bloco foram apresentados os conceitos básicos da área de controle sobre a estratégia da realimentação de sistemas ou malha fechada que é muito utilizada na indústria A partir daí utilizandose das funções de transferência dos componentes de malha fechada podemos projetar o controlador para um sistema dinâmico qualquer Para tanto apresentamos o método do lugar das raízes e os parâmetros da resposta temporal Bibliografia Consultada OGATA K Engenharia de controle moderno 5ª ed Pearson Prentice Hall São Paulo 2010 FELÍCIO L C Modelagem da dinâmica de sistemas e estudo da resposta 2ª Edição Editora RiMa São Carlos 2010 CASTRUCCI P L BITTAR A SALES R M Controle automático 2ª ed Rio de Janeiro LTC 2018