Root Locus método do Lugar das Raízes -2023-2

“Controle 1” Emerson Ravazzi Pires da Silva UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 1 / 36 Resumo 1 Introdu¸c˜ao - Lugar das Ra´ızes 2 M´etodo do Lugar das Ra´ızes (Root-Locus) 3 As Regras do M´etodo do Lugar das Ra´ızes UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 2 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Ambos a estabilidade e o comportamento da resposta transit´oria em um sistema de controle em malha fechada est˜ao diretamente relacionadas com a localiza¸c˜ao das ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica. ´E frequentemente necess´ario ajustar um ou mais parˆametros para se obter a localiza¸c˜ao adequada das ra´ızes. ´E importante conhecer o local percorrido pelas ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica com a varia¸c˜ao dos parˆametros. O M´etodo do Lugar das Ra´ızes (root locus) ´e uma t´ecnica gr´afica para se determinar o caminho percorrido pelos polos de malha fechada com a varia¸c˜ao de parˆametros do sistema. ´E uma ferramenta muito usada tanto para an´alise de estabilidade quanto para projeto de sistemas de controle. UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 3 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Considere o sistema de controle abaixo. Os termos G(s) e H(s) podem ser representados por polinˆomios de s: G(s) = NG(s) DG(s), H(s) = NH(s) DH(s) Consequentemente, a fun¸c˜ao de transferˆencia de malha fechada ´e dada por: T(s) = Y (s) R(s) = KNG(s)DH(s) DG(s)DH(s) + KNG(s)NH(s) Os zeros de T(s) consistem nos zeros de G(s) e nos polos de H(s). Os polos de T(s) n˜ao s˜ao conhecidos e dependem de K. A resposta do sistema e a estabilidade dependem dos polos de T(s). Root locus apresenta a localiza¸c˜ao dos polos de T(s) em fun¸c˜ao de K. UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 4 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Exemplo Considere o sistema de controle abaixo. A fun¸c˜ao de transferˆencia de malha fechada ´e dada por: T(s) = K s2 + 10s + K com K = K1 · K2. A Tabela a seguir apresenta os valores dos polos de malha fechada com a varia¸c˜ao do ganho K. UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 5 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Exemplo K Polo 1 Polo 2 0 −10 0 5 −9, 47 −0, 53 10 −8, 87 −1, 13 15 −8, 16 −1, 84 20 −7, 24 −2, 76 25 −5 −5 30 −5 + j2, 34 −5 − j2, 34 35 −5 + j3, 16 −5 − j3, 16 40 −5 + j3, 87 −5 − j3, 87 45 −5 + j4, 47 −5 − j4, 47 50 −5 + j5 −5 − j5 Observe que, para K = 0, h´a um polo em −10 e outro em 0. `A medida em que K aumenta, o polo mais a esquerda se move para direita sobre o eixo real e o polo mais a direita se move para esquerda sobre o eixo real. Os polos se encontram sobre o eixo real no ponto −5. A partir da´ı um polo se move verticalmente para cima, enquanto o outro se move verticalmente para baixo. UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 6 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Para K < 25, os polos s˜ao reais e distintos, ou seja, o sistema ´e superamorte- cido. Para K = 25, os polos s˜ao reais e idˆenticos, e o sistema ´e criticamente amortecido. Para K > 25, o sistema ´e subamortecido. Para K > 25, com o aumento do ganho K, o coeficiente de amortecimento diminui e o sobressinal aumenta. A frequˆencia de oscila¸c˜ao amortecida tamb´em aumenta. No entanto, o tempo de assentamento permanece sem altera¸c˜oes. Para K > 0, o sistema ´e sempre est´avel. UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 7 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Representa¸c˜ao Vetorial de N´umeros Complexos 8.1. Representa¸c˜ao Vetorial de N´umeros Complexos Qualquer n´umero complexo s = σ + jω pode ser representado graficamente por um vetor. Na forma polar, M ∠θ, tem-se amplitude M e ˆangulo θ. Quando s = σ + jω ´e usado em uma fun¸c˜ao complexa F(s), tem-se outro n´umero complexo. Por exemplo, substituindo-se s = σ + jω em F(s) = (s + a), tem-se F(s) = (σ + a) + jω. Observe que F(s) apresenta um zero em −a. Se o vetor for deslocado de a unidades `a esquerda, tem-se uma representa¸c˜ao alternativa do n´umero complexo, aonde o vetor se origina no zero de F(s) e termina no ponto s = σ + jω. UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 8 / 36 Root Locus (Método do Lugar das Rajizes) Representa¢ao Vetorial de Nimeros Complexos © Conclui-se que (s + a) €é um numero complexo que pode ser representado por um vetor tracgado a partir do zero da funcao F(s) até o ponto s. © Considere a funcdo complexa abaixo aonde cada fator do numerador e do deno- minador é um numero complexo que pode ser representado por um vetor. m I] (s+ 2) _ i=l F(s) ~~ on I] (s+) j=l o A magnitude de F(s) em qualquer ponto s é dada por: m I] \(s + 2/)| i=1 M= n IT \(s + a) j=l sendo |(s + z;)| 0 comprimento do /-ésimo zero, ou seja, a magnitude do vetor tracado a partir de —z; ao ponto s. UTFPR (CP) Universidade Tecnolégica Federal do Parana UTFPR-CP. 9 / 36 Root Locus (Método do Lugar das Rajizes) Representa¢ao Vetorial de Nimeros Complexos 2 O Angulo de F(s) em qualquer ponto s é dado por: m n 6=S°L(s+z)—- >> (s+ p)) i=1 j=l onde Z(s + z;) é 0 Angulo, medido no sentido antihordrio, a partir do eixo real, de um vetor tracado de —z; ao ponto s. Exemplo _ ‘ _ _s+1 Obtenha F(s) no ponto s = —3 + j4, sendo F(s) = s19)° | jw iM p (s +1) / gl (s +2) | 3 2 -1 0 0 | UTFPR (CP) Universidade Tecnolégica Federal do Parana UTFPR-CP. 10 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Representa¸c˜ao Vetorial de N´umeros Complexos Exemplo    (s) : 5 ∠126, 9◦ (s + 1) : √ 20 ∠116, 6◦ (s + 2) : √ 17 ∠104, 0◦ Portanto, F(s)|s=−3+j4 = √ 20 5 √ 17 ∠ (116, 6◦ − 126, 9◦ − 104, 0◦) = 0, 217 ∠ − 114, 3◦ UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 11 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Conceito do Lugar das Ra´ızes (Root Locus) Conceito do Lugar das Ra´ızes (Root Locus) O comportamento dinˆamico de um sistema ´e determinado pela fun¸c˜ao de transferˆen- cia de malha fechada, sendo: T(s) = Y (s) R(s) = KG(s) 1 + KG(s)H(s) A equa¸c˜ao caracter´ıstica ´e dada por: 1 + KG(s)H(s) = 0 ⇒ KG(s)H(s) = −1 Como G(s)H(s) ´e uma grandeza complexa, tem-se as condi¸c˜oes de m´odulo e fase: |KG(s)H(s)| = 1 ∠KG(s)H(s) = ±180◦(2k + 1), k = 0, 1, 2, . . . UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 12 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Conceito do Lugar das Ra´ızes (Root Locus) Os valores de s que satisfazem tanto a condi¸c˜ao de m´odulo quanto a condi¸c˜ao angular s˜ao as ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica (polos de malha fechada). O lugar das ra´ızes ´e o caminho das ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica no plano s quando se varia um parˆametro do sistema, como o ganho K. Um ponto no plano-s est´a sobre o LR para um valor particular de K, se os ˆangulos dos zeros menos os ˆangulos dos polos de G(s)H(s), todos em rela¸c˜ao ao ponto s, somam um valor m´ultiplo ´ımpar de 180◦. Exemplo Determine se o ponto −2 + j3 est´a sobre o LR do sistema abaixo. UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 13 / 36 Root Locus (Método do Lugar das Raizes) | Conceito do Lugar das Raizes (Root Locus) Exemplo je A soma dos angulos dos ze- 3 ps ros menos os dangulos dos ‘9 polos é dada por: L, L, / jl Z G(s)H(s) = 01 + 62 — 63 — O4 fer ie Lo WX = 56,31° + 71,57° — 90° — 108, 43° -4 -3 -2 —l 0 a = —70,55° Portanto, —2 + j3 ndo é um ponto sobre o LR, ou seja, nio é um polo de malha_ fechada para algum valor de K. Entretanto, o ponto —2 + / (2/2) esta no LR, pois seus angulos somam 180°. O | valor de K para esse ponto é: K ieee D _ tole _ (V2/2) (1,22) _ 9 gg \(s + 3)||(s + 4)| s=-2+(V3/2) LiLo (2,12) (1, 22) ’ | re et UTFPR (CP) Universidade Tecnolégica Federal do Parana UTFPR-CP. 14 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Esbo¸co do Lugar das Ra´ızes Esbo¸co do Lugar das Ra´ızes Considerando-se os polos e zeros infinitos, toda F(s) tem um n´umero igual de polos e zeros. Se F(s) → ∞ quando s → ∞, ent˜ao F(s) tem um polo no infinito. Se F(s) → 0 quando s → ∞, ent˜ao F(s) tem um zero no infinito. Para se realizar um esbo¸co aproximado do lugar das ra´ızes, considera-se: (a) N´umero de ramos: igual ao n´umero de polos de malha fechada. (b) Simetria: o LR ´e sim´etrico em rela¸c˜ao ao eixo real negativo. (c) Segmentos sobre o eixo real: para K > 0, o LR existe `a esquerda de um n´umero ´ımpar de polos e/ou zeros finitos de malha aberta sobre o eixo real. (d) Pontos de entrada e de sa´ıda: o LR se inicia nos polos da fun¸c˜ao de transfe- rˆencia de malha aberta, G(s)H(s), e termina em seus zeros. UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 15 / 36 Root Locus (Método do Lugar das Rajizes) Esboco do Lugar das Raizes (e) Comportamento no infinito: o LR tende a retas assintotas quando o mesmo tende ao infinito. A equacao das assintotas é dada pelo ponto de intersecdo sobre o eixo real, 73, com angulo 6,, onde k = 0, +1, +2, +3, ..., eo Angulo em radianos, no sentido anti-hordrio, a partir do eixo real positivo. Y= polos finitos — 5> zeros finitos * ~~ n° polos finitos — n° zeros finitos 9 (2k + 1)r Qa ee n° polos finitos — n° zeros finitos Sendo a funcdo de transferéncia de malha aberta: K KG(s)H(s) = ———_——_ s(s+1)(s +2) Ha polos finitos em s = 0, —1, —2 e nao ha zeros finitos. Ha trés zeros infinitos, pois, para s muito grande, tem-se: K KG(s)H(s) = ——— S:S:S Logo, o LR se inicia nos polos finitos e termina nos zeros infinitos. UTFPR (CP) Universidade Tecnolégica Federal do Parana UTFPR-CP. 16 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Esbo¸co do Lugar das Ra´ızes Exemplo Esboce a forma do lugar das ra´ızes do sistema abaixo. σa = (−1 − 2 − 4) − (−3) 4 − 1 = −4 3 θa = (2k + 1)π 3 =    π/3, k = 0 π, k = 1 5π/3, k = 2 At´e o momento, apenas os segmentos sobre o eixo real e as ass´ıntotas s˜ao poss´ıveis de serem representados. UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 17 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Esbo¸co do Lugar das Ra´ızes Exemplo (Continua¸c˜ao) UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 18 / 36 Root Locus (Método do Lugar das Rajizes) Esboco do Lugar das Raizes (f) Ponto de saida e de chegada sobre o eixo real: O ganho K deve ser maximo no eixo real no ponto onde ocorre a saida e deve ser minimo no ponto de chegada sobre 0 eixo real. Em varios casos, o LR sai do eixo real quando os polos se tornam complexos. Em outros casos, o LR retorna ao eixo real quando os polos se tornam reais. Nesses pontos, um par de ramos do LR se funde no eixo real quando K aumenta. Pode-se encontrar o ponto de saida de duas formas: o Primeira: derivando-se a equac¢ao caracteristica e igualando-a a zero. eo Segunda: utilizando-se o método de transi¢ao. Os pontos de saida e de entrada satisfazem a relacdo abaixo, sendo z; e pi, respectivamente, os negativos dos zeros e dos polos de G(s)H(s). m n Ya Ls = —, TOT TOTP UTFPR (CP) Universidade Tecnolégica Federal do Parana UTFPR-CP. 19 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Esbo¸co do Lugar das Ra´ızes Exemplo Para o exemplo anterior, obtenha o pontos de sa´ıda do eixo real. Utilizando a regra de transi¸c˜ao, tem-se: 1 σ + 3 = 1 σ + 1 σ + 1 + 1 σ + 2 + 1 σ + 4 1 σ + 3 = 4σ3 + 21σ2 + 28σ + 8 σ4 + 7σ3 + 14σ2 + 8σ 3σ4+ 26σ3 +77σ2 + 84σ + 24 = 0 As ra´ızes da equa¸c˜ao s˜ao dadas por:        σ1 = −3, 3110 + j0, 6812 σ2 = −3, 3110 − j0, 6812 σ3 = −1, 6097 σ4 = −0, 4349 Como o ponto de sa´ıda est´a entre 0 e −1, tem-se que σ = −0, 4349. UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 20 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Esbo¸co do Lugar das Ra´ızes (g) Pontos de intersec¸c˜ao no eixo jω: de acordo com o crit´erio de Routh-Hurwitz, ra´ızes sobre o eixo jω s´o podem ocorrer quando h´a uma linha com todos os elementos nulos no arranjo de Routh. Exemplo (Continua¸c˜ao) Para o exemplo anterior, a fun¸c˜ao de transferˆencia de malha fechada ´e dada por: T(s) = K(s + 3) s4 + 7s3 + 14s2 + (8 + K)s + 3K Aplicando o crit´erio de estabilidade de Routh-Hurwitz, tem-se: s4 1 14 3K s3 7 8 + K s2 90−K 7 3K s1 720−65K−K 2 90−K s0 3K Para valores positivos de ganho, uma linha completa de zeros s´o pode ser obtida na linha s1 do arranjo, ent˜ao: K 2 + 65K − 720 = 0 UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 21 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Esbo¸co do Lugar das Ra´ızes Exemplo (Continua¸c˜ao) As ra´ızes s˜ao K = 9, 65 e K = −74, 65. Para ganhos positivos, tem-se K = 9, 65. Nessa situa¸c˜ao, os elementos da linha s1 resultam em zero e, portanto, o polinˆomio auxiliar da linha s2 ´e um fator do polinˆomio original. Assim, 90 − 9, 65 7 s2 + 3 × 9, 65 = 0 ⇒ 80, 35s2 + 202, 65 = 0. Resolvendo para s, encontra-se s = ±j1, 59. Dessa forma, o LR cruza o eixo jω em ±j1, 59, com ganho de 9, 65. O sistema ´e ent˜ao est´avel para 0 ≤ K ≤ 9, 65. (h) ˆAngulos de partida e de chegada: O LR se inicia nos polos e termina nos zeros de malha aberta. Quando h´a zeros e/ou polos complexos finitos, os ˆangulos de partida e de chegada devem ser determinados. Para isso, deve-se escolher um ponto de teste ϵ em uma regi˜ao do LR muito pr´oximo a um polo ou zero complexo. A soma dos ˆangulos dos polos e zeros finitos at´e este ponto ´e um m´ultiplo ´ımpar de 180◦. UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 22 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Esbo¸co do Lugar das Ra´ızes Pode-se concluir que o ˆangulo de partida do LR a partir do polo p3 ´e dado por: ϕ1 − θ1 − θ2 − θ3 − θ4 = (2k + 1) 180◦ ⇒ θ3 = ϕ1 − θ1 − θ2 − θ4 − (2k + 1) 180◦ UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 23 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Esbo¸co do Lugar das Ra´ızes Da mesma forma, admitindo um ponto ϵ sobre o LR pr´oximo ao zero complexo z2, tem-se: ϕ1 + ϕ2 − θ1 − θ2 − θ3 = (2k + 1) 180◦ ⇒ ϕ2 = θ1 + θ2 + θ3 − ϕ1 + (2k + 1) 180◦ UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 24 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Esbo¸co do Lugar das Ra´ızes Exemplo Encontre o ˆangulo de partida dos polos complexos e esboce o LR do sistema abaixo. Ass´ıntotas: σa = (−1 + j1) + (−1 − j1) + (−3) − (−2) 3 − 1 = −1, 5 θa = (2k + 1) π 3 − 1 = π 2 ; 3π 2 UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 25 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Esbo¸co do Lugar das Ra´ızes Exemplo (Continua¸c˜ao) ˆAngulos de partida: o ˆangulo de partida do polo p3 ´e 0◦. Para o polo p2, tem-se: ⇒ θ2 = ϕ1 − θ1 − θ3 − (2k + 1) π ⇒ θ2 = 45◦ − 90◦ − 26, 6◦ − 180◦ ⇒ θ2 = −251, 6◦ = 108, 4◦ Devido `a simetria em rela¸c˜ao ao eixo real, o ˆan- gulo de partida do polo p1 ´e dado por 251, 6◦. UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 26 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Esbo¸co do Lugar das Ra´ızes Exemplo Esboce o lugar das ra´ızes do sistema abaixo. Procedimento: (a) Determinar o ponto de sa´ıda do eixo real; (b) Determinar para quais valores do ganho K o sistema ´e est´avel; (c) Determinar o ponto de interse¸c˜ao com o eixo imagin´ario; (d) Determinar o ponto onde o LR cruza a reta de rela¸c˜ao de amortecimento ζ = 0, 45. Neste ponto o ganho ´e K = 0, 417; (e) Determinar o ˆangulo de chegada nos zeros de malha aberta. (f) Esbocar o LR com as informa¸c˜oes obtidas nos itens anteriores. UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 27 / 36 Root Locus (Método do Lugar das Rajizes) Esboco do Lugar das Raizes Exemplo (Continua¢ao) | (a) Dae 1 lt o+2 c04+4 o-2-45 o-244j (0? + 60 + 8) (20 — 4) = (0? — 40 + 20) (20 + 6) 2 ons o1 = —2,88 _ 100° — 240 152-0 | A Oe =>o = —2,88 (b) T(s) = G(s) | K(s* — 4s + 20) 7 14G(s) (K+1)s2+ (6 —4K)s+ (8+ 20K) s?| (K+1) (8+20kK) s' | (6—4k) 5° | (8 + 20K) | Portanto, o sistema é estavel para 0 < K < 1,5. UTFPR (CP) Universidade Tecnolégica Federal do Parana UTFPR-CP. 28 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Esbo¸co do Lugar das Ra´ızes Exemplo (Continua¸c˜ao) (c) Substituindo K = 1, 5 na equa¸c˜ao caracter´ıstica do sistema, tem-se: 2, 5s2 + 38 = 0 ⇒ s = ±j3, 9 (d) Sabe-se que K = 0, 417 no ponto de interesse. Logo, substituindo K = 0, 417 na equa¸c˜ao caracter´ıstica do sistema, tem-se: (K + 1) s2 + (6 − 4K) s + (8 + 20K) = 0 s = 3, 4 ∠116, 7◦ = −1, 53 + j3, 04 UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 29 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Esbo¸co do Lugar das Ra´ızes Exemplo (Continua¸c˜ao) (e) O ˆangulo de chegada ao zero z1 ´e dado por: ϕc1 = tan−1(4/6) + tan−1(1/1) −90◦ + 180◦ = 168, 7◦ Por simetria, o ˆangulo de chegada ao zero z2 ´e igual a 191, 3◦. (f) O esbo¸co do root locus ´e apresen- tado ao lado. UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 30 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Esbo¸co do Lugar das Ra´ızes A seguir alguns exemplos t´ıpicos de Root Locus. UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 31 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Esbo¸co do Lugar das Ra´ızes UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 32 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Lugar das Ra´ızes com Matlab Exerc´ıcio Trace o root locus de um sistema de controle com realimenta¸c˜ao sendo que: KG(s) = K s3 + 3s2 + 2s , H(s) = 1. UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 33 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Lugar das Ra´ızes com Matlab Lugar das Ra´ızes com Matlab Na constru¸c˜ao do gr´afico do lugar das ra´ızes com o MATLAB, a equa¸c˜ao caracter´ıstica 1 + KG(s)H(s) = 0 ´e apresentada na forma abaixo, aonde num e den representam, respectivamente, o numerador e o denominador de G(s)H(s). 1 + K num den = 0, Um comando em MATLAB para desenhar o gr´afico do root locus ´e dado abaixo, sendo o vetor de ganho K determinado automaticamente. rlocus(num, den); Pode-se ainda utilizar o comando rlocus da seguinte forma: rlocus(sys); %onde sys é o systema definido por num e den rlocus(A,B,C,D); %sistema está representado no espaço de estados Caso seja desejado informar o vetor de ganhos K, pode-se usar: rlocus(num,den,K); rlocus(sys,K); rlocus(A,B,C,D,K); UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 34 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Lugar das Ra´ızes com Matlab Uma fun¸c˜ao em MATLAB para encontrar o ganho K associado a um conjunto de polos de malha fechada no root locus ´e o rlocfind(num,den). Exemplo: Para G(s)H(s) = s + 0, 5 (s − 0, 5)s . num=[1 0.5]; den=conv([1 −0.5],[1 0]); rlocus(num,den); [k,polo]=rlocfind(num,den) A fun¸c˜ao rltool abaixo ´e um ambiente gr´afico completo para a an´alise e projeto de sistemas de controle empregando o m´etodo do Lugar das Ra´ızes (root locus). Exemplo: Para G(s)H(s) = s + 1 s3 + 5s2 + 6s . rltool(ta), sendo ta=tf(num,den); num=[1 1]; num=[1 1]; den=[1 5 6 0]; den=[1 5 6 0]; [A,B,C,D]=tf2ss(num,den); ou sys=tf(num,den); sys=ss(A,B,C,D); rltool(sys) rltool(sys) UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 35 / 36 Root Locus (M´etodo do Lugar das Ra´ızes) Lugar das Ra´ızes com Matlab O comando sgrid mostra linhas radias (grades) com ζ constante e circunferˆencias concˆentricos com wn constante. Se forem desejadas apenas determinadas linhas com ζ constante, como ζ = 0.5 e ζ = 0.707, e determinadas circunferˆencias com ωn constante, como ωn = 0, 5, ωn = 1 e ωn = 2, pode-se fazer: sgrid([0.5 0.707],[0.5 1 2]); Exemplo Esboce a forma do lugar das ra´ızes dos sistemas abaixo. UTFPR (CP) Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a UTFPR-CP 36 / 36