Apostila Calc4 Félix Gomes Utfpr-2022 1

Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 38 onde d é qualquer número real. Quando d = −L é substituído em (1.53) e (1.54) então resulta em (1.51) e (1.52). Esses resultados se seguem quando lembramos que a função f é uma função periódica que se estende de menos infinito a mais infinito. Os resultados devem permanecer inalterados, portanto, quando passamos do intervalo [−L, L] para o novo intervalo [d, d + 2L]. Observação 4: O termo a₀ significa a média da função f sobre o período. Quando L = π a série (1.51) e (1.52) e os coeficientes (1.53) e (1.54) são muito simples e a função f possui período 2π. Como cada termo tem um período de 2L, a soma da série também tem o mesmo período. O fundamental da função periódica f é o termo quando n = 1, enquanto os harmônicos são os termos restantes cujas frequências são múltiplos inteiros do fundamental. Como em qualquer série de funções, duas perguntas sobre séries de Fourier surgem: para que valores da variável x a série (1.50) converge? Caso a série (1.50) represente a função f, qual a relação que existe entre f e os coeficientes a₀, aₙ e bₙ? Agora, precisamos encontrar um método fácil para calcular os coeficientes a₀, aₙ e bₙ para uma determinada função f. Procedendo formalmente, supomos que a série (1.50) represente uma função integrável f : [−L, L] → R e o nosso objetivo seja obter as relações entre a função f e os coeficientes da série, ou seja, suponhamos que, f(x) = a₀ + ∑(aₙ cos( nπx / L ) + bₙ sen( nπx / L )) Como primeira tentativa, integramos a Equação (1.55) termo por termo de −L a L. No lado direito, todas as integrais multiplicadas por aₙ e bₙ desaparecem porque ∫_{−L}^{L} cos( nπx / L ) dx = 0 e ∫_{−L}^{L} sen( nπx / L ) dx = 0, portanto, após esses resultados obtemos a₀ = 1 / 2L ∫_{-L}^{L} f(x) dx Assumimos que a integração das séries pode ser realizada termo a termo. Às vezes é difícil justificar, mas fazemos isto num primeiro momento. Em seguida, multiplicamos cada lado da Equação (1.55) por cos(mπx/L), onde m é um número Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 36 estendê-la usando os limites direito ou esquerdo, ou mesmo definindo a função nos pontos x_{j} (onde não é definida) como a média dos limites esquerdo e direito naquele ponto. Observe também que P_{Cper}([-L, L]) é um espaço vetorial complexo (ou espaço linear) sob as operações pontuais usuais. Funções Absolutamente Integráveis Uma função f é absolutamente integrável num intervalo [a, b] se ela é contínua nele exceto num número finito de pontos e, ∫_{a}^{b} |f(x)| dx < ∞ existe, (às vezes como integral imprópria). Nota. Uma função contínua por partes é absolutamente integrável, isto resulta da interpretação geométrica da integral definida. Porém existe funções absolutamente integráveis que não são contínuas por partes. Finalmente se a função f é absolutamente integrável então ela é integrável, isto é, se ∫_{a}^{b} |f(x)| dx < ∞ existe ⇒ ∫_{a}^{b} f(x) dx < ∞ existe. Para funções absolutamente integráveis a soma e a diferença produzem funções absolutamente integráveis, porém o produto delas não funciona, como mostra o seguinte exemplo, Exemplo 29: Considere a função f(x) = 1/√{x} definida no intervalo [0, 1]. Verificar que o produto f(x)f(x) não é absolutamente integrável. Solução. Temos pela hipótese que 1/x = f(x)f(x) = 1 /√{x} 1 /√{x} Portanto a integral da função resultante no intervalo [0, 1], ∫_{0}^{1} f(x)f(x) dx = ∫_{1}^{ε} 1/x dx = ln x |_{1}^{ε} = ln(1) - ln(ε) = - ln(ε), 1 > ε > > 0, não existe, quando ε ↑ 0. Se alteramos alguma condição no produto de funções, por exemplo fazemos a seguinte escolha, uma função absolutamente integrável e a outra limitada então o resultado é uma outra função absolutamente integrável. Observação 3: As definições anteriores foram feitas para funções definidas em intervalos finitos. Uma função definida num intervalo infinito, em particular uma função periódica, será chamada de contínua por partes ou regular por partes se possui ditas propriedades em cada intervalo finito. A definição de função absolutamente integrável no caso de um intervalo infinito é a mesma do intervalo finito. 1.6 Séries Trigonométricas: Séries de Fourier As séries de Fourier surgiram durante o século XVIII como uma solução formal para a equação clássica das ondas. Posteriormente, foi utilizado para descrever processos físicos nos quais os eventos ocorrem regularmente. Por exemplo, uma nota musical geralmente consiste em uma nota simples, chamada fundamental, e uma série de vibrações auxiliares, chamadas harmônicas. O teorema de Fourier fornece a linguagem matemática que nos permite descrever com precisão essa estrutura complexa. Uma afirmação importante da matemática do século XIX foi a descoberta de que as séries trigonométricas infinitas, f(x) = a₀ + ∞∑_{n=1} ( aₙ cos( nπx / L ) + bₙ sen( nπx / L ) ) (1.49) pode representar uma função f sob certas condições gerais. Essa série, chamada de série de Fourier, converge para o valor da função f em todos os pontos do intervalo [−L, L], com as possíveis exceções dos pontos em qualquer descontinuidade e nos pontos finais do intervalo. Como cada termo da série Fourier completa (1.49) possui o período T = 2L, sua soma (se convergir) também deve ter o período T = 2L. Portanto, a série completa de Fourier pode ser considerada como uma expansão de uma função arbitrária no intervalo ] − L, L[ ou como uma expansão de uma função periódica do período T = 2L definida em toda a reta, −∞ < x < ∞. De maneira mais precisa, seja a função f definida em ] − L, L[ ⊂ R e no complemento definida por f(x + 2L) = f(x): isto é, suponha que f tenha período 2L, absolutamente integrável sobre cada intervalo finito e possa ser expandida numa série trigonométrica com período 2L. Então a série de Fourier correspondente a f esta representada por f(x) ≈ a₀ + ∑_{n≥1} ( aₙ cos( nπx / L ) + bₙ sen( nπx / L ) ) (1.50) onde os coeficientes de Fourier aₙ e bₙ são dados pelas seguintes fórmulas; a₀ = 1 / 2L ∫_{-L}^{L} f(x) dx (1.51) aₙ = 1 / L ∫_{-L}^{L} f(x) cos( nπx / L ) dx, n ≥ 1; bₙ = 1 / L ∫_{-L}^{L} f(x) sen( nπx / L ) dx, n ≥ 1 (1.52) Em certas situações, é conveniente usar o intervalo [d, d + 2L], onde d é qualquer número real. Nesse caso, a equação 1.50 ainda é a mesma séries de Fourier de f, e os coeficientes aₙ e bₙ podem ser expressados de forma equivalente, a₀ = 1 / 2L ∫_{d}^{d+2L} f(x) dx (1.53) aₙ = 1 / L ∫_{d}^{d+2L} f(x) cos( nπx / L ) dx, n ≥ 1; bₙ = 1 / L ∫_{d}^{d+2L} f(x) sen( nπx / L ) dx, n ≥ 1 (1.54) Agradecimentos Agradeço de maneira muito especial às muitas pessoas que ajudaram de de diversas maneiras, generosamente, na criação desta monografia. Também faço extensivo meus agradecimentos para o Prof. Jaime E. Muñoz Rivera por suas constantes observações e sugestões na formação deste material. Sou grato a muitos professores do Departamento de Matemática-UFSC, responsaveis por diversas correções e melhoramentos. Na UFSC, merecem especial destaque os meus alunos de Cálculo, pelas sugestões e reações através dos anos que contribuíram muito para aprofundar meus conhecimentos e minhas ideias de como apresentar o assunto e seu apoio constante nos momentos difíceis. Agradeço ao LNCC/MCTI pelas facilidades bibliograficas e computacionais, Plataformas SUN e IBM, sem as quais não houve-se podido entrar no mundo maravilhoso da computação. Da mesma maneira ao IMPA/MCT que prestou-me as facilidades de bibliografia e recursos computacionais, SUN e PC’s sob a plataforma Windows com ferramentas de excelente qualidade. Sou imensamente grato a minha família, por levarem vidas íntegras e dedicadas, e por facili- tarem as muitas viagens e compromissos fora de casa que precisei assumir. Também são necessárias algumas linhas de reconhecimento aos artistas anônimos da editoração eletrónica, pelo profundo envolvimento com o material e por suas capacidades, sensibilidades e cuidados ao lidar com a beleza do presente trabalho. Félix Pedro Quispe Gómez Fpolis, 1 de fevereiro de 2022 ii Prefácio O texto foi escrito do ponto de vista da matemático aplicado, cujo interesse em cálculo avançado pode ser altamente teórico, intensamente prático ou algo no meio. Procuramos combinar uma exposição correta e precisa das teorias elementares. Tratamos dos principais métodos matemáticos da física e das engenharias. Neste sentido não é uma coleção de de “receitas” que se aplicam mas ou menos de memória. Os entes que nele comparecem são entes matemáticos definidos cuidadosamente. Mostramos sua propriedades elementares e os exemplos, emprestados da física e engenharia, colocam em destaque como devem ser utilizados os mesmos. Escrevemos o presente trabalho, principalmente para o aluno da graduação em matemática, ciência ou engenharia, o qual, faz uma disciplina de cálculo avançado durante o segundo ano de estudo. O principal pré-requisito para se ler este texto é saber trabalhar com cálculo, o que pode ser obtido através de uma sequência de três semestres ou equivalente. Este trabalho elemental e conciso não possui a ambição de ser um verdadeiro tratado; nas questões com tratamento extenso somente se enunciam os resultados essenciais, sem demostração. A presentação do material é rigorosa e explora os métodos práticos para encontrar soluções. As vezes apelamos a métodos heurísticos nos casos que exijam intuição geométrica. O conteúdo é clássico e foi adaptado, sintetizado e extendido de excelentes trabalhos de Churchill [2], Courant e Hilbert [5], Fritz John [6] Nos capítulos apresentados desenvolveu-se esforço especial para apresentar os assuntos da maneira mais clara e mais rigorosa possível; isto também se aplica a escolha das notações. Em cada capítulo, o nível aumenta gradualmente, evitando-se saltos e acúmulos de considerações teóricas complexas. Ao final de cada seção propomos uma coleção de exercícios. Estos estão, na medida do possível, classificados por ordem de dificuldade crescente. Alguns são de aplicação direta dos tópicos aborda- dos; outros abordam questões novas, porém todos eles a nível dos conhecimentos correspondentes ao segundo ano de cálculo. Os conhecimentos para ler este texto com proveito são os exigidos nas disciplinas de cálculo como algumas noções de álgebra linear e a teoria de variável complexa. Concluímos, antecipando nosso agradecimento a nossos leitores pelo credito e confiança que possam brindar a presente obra e desejamos que nos façam chegar sugestões e ou críticas constru- iii tivas para poder corrigir os erros cometidos. Nesse sentido o autor assume a responsabilidade total dos mesmos. iv Sobre o Autor Félix Pedro Q. Gómez recebeu o seu Bacharelado em Matemática pela UNMSM, e seu M.S. e Ph.D. em Matemática pelo Instituto de Matemática-IM da Universidade Fe- deral de Rio de Janeiro, UFRJ. Foi professor Associado nível III do De- partamento de Matemática da UFSC. Atualmente é professor Associado ní- vel II do Departamento Acadêmico de Matemática da UTFPR. v Sumário Agradecimentos ii Prefácio iii Sobre o Autor v 1 Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 1 1.1 Espaços de Funções Periódicas e Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Espaços Vetoriais Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Expansão em Séries Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Funções Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Propriedades Especiais das Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6 Séries Trigonométricas: Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.7 Condições de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.8 Funções Pares e Ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.9 Séries de Fourier em Senos e Cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.10 Derivação e Integração de Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.10.1 Identidade de Parseval-Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.11 Expansões num Semi-intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.12 Série Fourier com Ângulos de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 1.13 Série de Fourier Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 1.14 Série Fourier na Solução Equações Diferenciais Ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . 75 Bibliografia 80 vi Lista de Figuras 1.1 Uma função f periódica .................................................... 18 1.2 Gráfico f com período fundamental T = π ..................................... 19 1.5 A funções cosseno, y = cos x e seno y = sen x .............................. 24 1.6 Gráfico da função tangente, y = tan x com período T = 2π ................... 26 1.7 Gráfico do Polinômio, y = x(x − 1)(x − 2) ................................. 27 1.8 Gráficos de Funções Periódicas ............................................. 27 1.9 Gráfico de Função não Periódica ............................................ 27 1.10 Gráfico da função y = \frac{sen x}{x}, (x ≠ 0) ............................ 29 1.11 Função contínua por partes e limites laterais ............................... 30 1.12 Gráfico da função f(x) = \frac{sen x}{|x|}, (x ≠ 0) e f(0) = 0 .......... 31 1.13 Gráfico da função f(x) = \frac{sen x}{1}, (x ≠ 0) e f(0) = 0 ............ 32 1.14 Extensão ímpar de φ para φ̃ em [−L, L] ..................................... 34 1.15 Extensão periódica ímpar φ̃ de período T = 2L em \mathbb{R} .............. 35 1.16 Extensão periódica par φ̃ de período T = 2L em \mathbb{R} ................ 35 vii Lista de Tabelas 1.1 Integrais Trigonométricas Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 viii Capítulo 1 Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier Quando estudamos cálculo, encontramos o conceito de vetor bi e tridimensional num espaço eucli- diano X real (ou complexo), e que dois vetores não-nulos são ortogonais quando seu produto escalar é zero. Em disciplinas mais gerais que o cálculo, os conceitos de vetor, ortogonalidade e produto escalar em geral perdem o seu significado geométrico. Tais conceitos foram generalizados, portanto é natural interpretar um vetor como se fosse uma função ou vice-versa. Isto permite definir que duas funções não-nulas, distintas e reais são ortogonais quando seu produto interno é zero. Neste caso, o produto interno no espaço das referidas funções é uma integral definida. Um outro conceito do cálculo é o de desenvolvimento de uma função real em uma série numérica infinita de potências. No início do seculo XIX, o matemático francês Joseph Fourier antecipou a ideia de expandir uma função f em uma série de funções trigonométricas. Acontece que as séries de Fourier são apenas casos especiais de um tipo mais geral de representação em série para uma função utilizando um conjunto infinito de funções ortogonais. Finalmente, desenvolveremos a teoria clássica elementar das séries de Fourier para funções con- tínuas por partes. Começaremos com a definição de alguns espaços de Banach, a seguir definiremos as séries de Fourier e discutiremos a relação entre diferenciabilidade da função e decaimento de seus coeficientes de Fourier. Continuamos com convergência pontual e somabilidade. 1.1 Espaços de Funções Periódicas e Sequências Em determinadas áreas como o analise funcional, uma função é considerada como sendo uma generalização de um vetor. Estudamos como os dois conceitos vetoriais de produto interno (ou escalar) e ortogonalidade de vetores em espaços vetoriais reais podem ser estendidos para as funções reais. Os espaços vetoriais de desenvolvimento a serem considerados neste capítulo são definidos a seguir. 1 Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 2 Definição 1 (Espaço Produto Interno, Espaço Hilbert). Um produto interno em X é uma aplicação de X × X no campo escalar K do espaço vetorial X; isto é, ⟨· | ·⟩ : X × X → K, com cada par de vetores x e y existe um escalar associado, (x, y) ↦ ⟨x | y⟩ (1.1) e é chamado produto interno de x e y. De modo que, para todos os vetores x, y, z em X e escalar α, temos (IP1) ⟨x + y | z⟩ = ⟨x | z⟩ + ⟨y | z⟩ (IP2) ⟨αx | y⟩ = α⟨x | y⟩ (IP3) ⟨x | y⟩ = ⟨y | x⟩ (IP4) ⟨x | x⟩ ≥ 0; ⟨x | x⟩ = 0 ⇔ x = 0. Um espaço produto interno (ou espaço pré-Hilbert) é um espaço vetorial X com um produto interno definido em X. Um espaço de Hilbert é um espaço produto interno completo, completo na métrica definida pelo produto interno dado por (1.1). Em (IP3), a barra indica conjugação complexa. Consequentemente, se X é um espaço vetorial real, simplesmente temos ⟨x | y⟩ = ⟨y | x⟩ (Propriedade de Simetria). De (IP1) a (IP3), obtemos a fórmula (a) ⟨αx + βy | z⟩ = α⟨x | z⟩ + β⟨y | z⟩ (b) ⟨x | αy⟩ = α ⟨x | y⟩ (c) ⟨x | αy + βz⟩ = α ⟨x | y⟩ + β ⟨x | z⟩ que usaremos com bastante frequência. O item (a) mostra que o produto interno é linear no primeiro fator. Como em (c) temos conjugados complexos α e β à direita, dizemos que o produto interno é conjugado linear no segundo fator. Expressando as duas propriedades juntas, dizemos que o produto interno é sesquilinear. Isso significa “1 1/2 vezes linear” e é motivado pelo fato de que “linear conjugado” também é conhecido como “semilinear”. Observação 1: O produto escalar, não deve ser confundido com o produto de um vetor por um escalar em um espaço vetorial. A notação ⟨· | ·⟩ para o produto interno é importante. Em um texto Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 3 elementar como o presente, ele pode ter vantagem sobre outra notação popular, (·, ·), que exclui confusão com pares ordenados (componentes de um vetor, elementos de um espaço de produto, argumentos de funções dependendo de duas variáveis, etc.) 1.2 Espaços Vetoriais Normados Seja X um espaço vetorial real (ou complexo). Uma norma em X é uma função ‖ · ‖ : X → [0, ∞[ tal que, quaisquer que sejam u e v ∈ X e o escalar α ∈ K, ‖αv‖ = |α| ‖v‖ (1.2) ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖ , Desigualdade Triangular (1.3) ‖v‖ = 0 ⇔ v = 0. (1.4) Quando a função ‖ · ‖ satisfaz as propriedades (1.2)-(1.3) mas não satisfaz (1.4), dizemos que ‖ · ‖ é uma semi-norma em X. Um espaço vetorial X munido de uma norma ‖ · ‖ é chamado um espaço normado, e se denota as vezes (X, ‖ · ‖). Seja X um espaço vetorial normado. Uma propriedade simples obtida da desigualdade trian- gular é que, ‖u − v‖ ≥ |‖u‖ − ‖v‖|. (1.5) Em termos de sequências, seja {v_n}n⩾1 uma sequência em X. Dizemos que a sequência converge a um elemento v ∈ X se ‖v_n − v‖ → 0 quando n → ∞ (1.6) mais precisamente, se, dado ε > 0, existe um número N ∈ ℕ n ⩾ N ⇒ ‖v_n − v‖ < ε (1.7) Uma sequência {v_n} é uma sequência de Cauchy se ‖v_n − v_m‖ → 0 quando m, n → ∞, em outra forma, dado ε > 0, existe um número N ∈ ℕ tal que, n, m ⩾ N ⇒ ‖v_n − v_m‖ < ε. (1.8) Se sabe que toda sequencia convergente é de Cauchy. De fato, dado ε > 0, escolhemos N ∈ ℕ Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 4 satisfazendo (1.7) com ε/2 substituindo ε; pela desigualdade triangular, se n, m ∈ N obtemos, ∥vn − vm∥ ≤ ∥vn − v∥ + ∥vm − v∥ < ε/2 + ε/2 = ε, portanto (1.8) esta provada. No entanto a reciproca pode ser falsa, ou seja, podem existir sequências de Cauchy que não convergem em X. Um espaço normado onde toda sequencia de Cauchy é convergente é chamado Completo ou de Banach. Exemplo 1: Seja 1 ≤ p ≤ ∞ com p ∈ R ∪ {+∞} definimos ∥x∥pp = ∑n j=1 |xj |p , 1 ≤ p < ∞ (1.9) ∥x∥∞ = sup 1≤j≤n |xj | . (1.10) para x ∈ Rn Então X = Rn é um espaço de Banach em relação a qualquer dessas normas. Com efeito, todas essas normas são equivalentes, ou seja, se os números p, q ∈ [1, ∞], existem constantes positivas C1 > 0 e C2 > 0 tal que C1 ∥x∥p ≤ ∥x∥q ≤ C2 ∥x∥p , qualquer que seja x ∈ X = Rn. A norma ∥ · ∥2 é chamada a norma euclideana. ◊ Exemplo 2: Para cada numero p ∈ [1, ∞[ definimos ∥·∥p no conjunto C([a, b]) por ∥·∥ : C([a, b]) → R f ↦ ∥f∥p = (∫b a |f(x)|p dx)1/p Então, qualquer que seja p ∈ [1, ∞[ temos que o para (C([a, b]), ∥·∥p) é um espaço vetorial que não é completo. No entanto o conjunto C([a, b]) é um espaço de Banach em relação a norma, ∥f∥∞ = sup x∈[a, b] |f(x)| . A norma ∥·∥p é chamada a norma Lp com 1 ≤ p ≤ ∞; a norma L∞ é também chamada de norma do sup. Seja o conjunto X um espaço vetorial. Uma forma sesquilinear positiva em X é uma aplicação, (· | ·) : X × X → C Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 5 tal que para todos os vetores u, v, w ∈ X e escalares α, β ∈ C, (αu + βv | w) = α(u | w) + β(v | w); (1.12) (u | v) = (v | u); (1.13) (v | v) ≥ 0, (1.14) onde (v | u) é o complexo conjugado de (u | v). Se, além das propriedades (1.12)-(1.14), a propriedade (v | v) = 0 ⇔ v = 0 (1.15) é também satisfeita, dizemos que (· | ·) é um produto interno (ou que a forma sesquilinear é positiva definida) Usando as propriedades (1.12)-(1.13) podemos deduzir de forma simples, (u | αu + βv) = α(u | v) + β(u | w) (1.16) quaisquer que sejam u, v e w ∈ X e escalares α, β ∈ C. Além disso se, (·|·) é uma forma sesquilinear positiva, ∥v∥ = √(v | v) (1.17) define uma semi-norma em X (uma norma no caso da forma ser positiva definida), é válida a desigualdade de Cauchy-Schwartz, (CS) |(u | v)| ≤ ∥u∥∥v∥ (1.18) e o Teorema de Pitágoras (u | v) = 0 ⇒ ∥u + v∥2 = ∥u∥2 + ∥v∥2 (1.19) Se o conjunto X é um espaço vetorial munido de um produto interno então X é um espaço normado com a norma definida, ∥u∥ = √(u | u); neste caso dizemos que a norma de X provém de um produto interno. Devemos reparar que, se X é um espaço vetorial normado, então a norma de X provém de um produto interno se e somente se é válida a identidade do paralelogramo ∥u + v∥2 + ∥u − v∥2 = 2 (∥u∥2 + ∥v∥2) . (1.20) Outra propriedade bastante útil é a identidade de polarização (u | v) = 1/4 ( [∥u + v∥2 − ∥u − v∥2 + i ∥u + iv∥2 − i ∥u − iv∥2] ). (1.21) Um espaço de Banach cuja norma provém de um produto interno é denominado um espaço de Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 6 Hilbert. Exemplo 3: O conjunto X = Cn é um espaço de Banach em relação a qualquer uma das normas, ∥z∥pp = ∑n j=1 |zj |p , 1 ≤ p < ∞, ∥z∥∞ = sup 1≤j≤n |zj | . No entanto o para (Cn, ∥ · ∥pp) é de Hilbert se e somente se p = 2. Nesse caso, a norma provem do produto interno (z|w) = ∑n j=1 zj w̅j (1.22) onde z = (z1, . . . , zn) e w = (w1, . . . , wn) ∈ X = Cn Exemplo 4: A norma ∥ · ∥∞ definida em C([a, b]) não provém de um produto interno. De fato, a norma Lp definida em C([a, b]) com 1 ≤ p < ∞, provém de um produto interno se e somente se p = 2; nesse caso, o produto interno é, (f | g) = ∫b a f(x) g(x) dx. (1.23) Vamos a seguir introduzir espaços de funções periódicas que utilizaremos Definição 2 (Função Periódica). Uma função f : R → C é considerada periódica com período T ≠ 0 se f (x + T) = f (x), x ∈ R. (1.24) Não é complicado verificar que se T é um período para f então, para qualquer n ∈ Z \ {0}, nT também é um período para f. Em particular, uma vez que −T é um período, podemos assumir, sem perda de generalidade, que T > 0. Se f for constante, então f é periódica com qualquer período. Se f for contínuo e não constante, então existe o menor período T > 0; nesse caso, T é chamado de período fundamental de f . Os exemplos mais simples de funções periódicas não constantes são as funções trigonométricas. Exemplo 5: As funções trigonométricas, ϕn(x) = sen nπ L x, ψn(x) = cos nπ L x, n = 1, 2, 3, . . . (1.25) São todas funções periódicas de período T = 2L; para cada n, o período fundamental de ϕn e ψn é o quociente Tfund = 2L/n = T/n . A função constante ψ0(x) = cos(0) = 1 também é periódico com período 2L, mas não tem período fundamental. Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier Exemplo 6: As funções \( \Phi_k(x) = \exp(i k x), \quad k \in \mathbb{Z}, \) definidos para \( x \in \mathbb{R}. \) São periódicas com período \( T = 2L. \) Para cada \( k \in \mathbb{Z}, k \neq 0, \) o período fundamental de \( \Phi_k \) é \( 2L/n; \) a função constante \( \Phi_0 \) também é periódica com período \( T = 2L, \) mas não tem período fundamental. Lembre-se de que uma função \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{C} \) é dita par se \( f(-x) = f(x) \) para todo \( x \in \mathbb{R}; \) da mesma forma, \( f \) é ímpar se \( f(-x) = -f(x) \) para todo \( x \in \mathbb{R}. \) Observe que as funções \( \varphi_k, k \in \mathbb{N}, \) são pares, enquanto as funções \( \psi_k, k \in \mathbb{Z}^+, \) são ímpares; definidas em (1.25). Definição 3 (Ortogonalidade). Diz-se que um elemento \( x \) de um espaço produto interno \( X \) é ortogonal a um elemento \( y \in X \) se \[ \langle x \mid y \rangle = 0. \] Também dizemos que \( x \) e \( y \) são ortogonais e escrevemos \( x \perp y. \) Da mesma forma, para os subconjuntos \( A, B \subset X, \) escrevemos \( x \perp A \) sempre que \( x \perp a \) para todos \( a \in A, \) e \( A \perp B \) sempre que \( a \perp b \) para todos \( a \in A \) e todos \( b \in B. \) O espaço euclidiano \( X = \mathbb{R}^n \) é um espaço de Hilbert com produto interno definido por \[ \langle x \mid y \rangle = \xi_1\eta_1 + \cdots + \xi_n\eta_n \] (1.27) onde \( x = (\xi_1, \ldots, \xi_n) \) e \( y = (\eta_1, \ldots, \eta_n) \in X. \) De fato, de (1.27) obtemos a norma, \[ \|x\| = \langle x \mid x \rangle^{1/2} = \left( \xi_1^2 + \cdots + \xi_n^2 \right)^{1/2} \] e a partir disso a métrica euclidiana definida por \[ d(x, y) = \|x - y\| = \langle x - y \mid x - y \rangle^{1/2} = \left[ (\xi_1 - \eta_1)^2 + \cdots + (\xi_n - \eta_n)^2 \right]^{1/2}; \] Se \( n = 3, \) a fórmula (1.27) fornece o produto escalar usual \[ \langle x \mid y \rangle = x \cdot y = \xi_1\eta_1 + \xi_2\eta_2 + \xi_3\eta_3 \] de \( x = (\xi_1, \xi_2, \xi_3) \) e \( y = (\eta_1, \eta_2, \eta_3) \) e a ortogonalidade \[ \langle x \mid y \rangle = x \cdot y = 0 \] coincide com o conceito elementar de perpendicularidade. De particular interesse são conjuntos cujos elementos são ortogonais em pares. Para entender isso, lembremos de uma situação familiar no espaço euclidiano \( X = \mathbb{R}^3. \) No espaço \( X = \mathbb{R}^3, \) um conjunto desse tipo é o conjunto dos três vetores unitários nas direções positivas dos eixos de um sistema de coordenadas retangulares; chame esses vetores de \( e_1, e_2, e_3. \) Esses vetores formam uma base para \( \mathbb{R}^3, \) de modo que cada \( x \in \mathbb{R}^3 \) tem uma única representação, \[ x = \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3. \] Agora vejamos uma grande vantagem da “ortogonalidade”. Dado \( x, \) podemos determinar facilmente os coeficientes desconhecidos \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \) utilizando produtos internos (produto ponto). De fato, para obter \( \alpha_1, \) devemos multiplicar essa representação de \( x \) por \( e_1, \) ou seja, \[ \langle x \mid e_1 \rangle = \alpha_1\langle e_1 \mid e_1 \rangle + \alpha_2 \langle e_2 \mid e_1 \rangle + \alpha_3 \langle e_3 \mid e_1 \rangle = \alpha_1, \] e assim por diante. Em espaços mais gerais com produto interno, existem possibilidades semelhantes e outras para o uso de conjuntos e sequências ortogonais e ortonormais, como explicaremos. De fato, a aplicação de tais conjuntos e sequências constitui uma parte substancial de toda a teoria do produto interno e dos espaços de Hilbert. Suponha que \( f \) e \( g \) sejam funções \( C([a, b]), \) o intervalo poderia também ser \( ] - \infty, \infty[ \) ou \( [0, \infty[, \) e assim por diante. Como uma integral do produto \( f(x)g(x) \) definida no intervalo possui as propriedades (IP1)-(IP4) do produto interno de vetores, sempre que a integral existir a seguinte definição é válida. O produto interno de duas funções reais \( f \) e \( g \) em \( C([a, b]) \) com a norma \( L^2 \) é o número \[ \langle f \mid g \rangle = \int_a^b f(x)g(x) \ dx. \] que provém de um produto interno. Motivados pelo fato de que dois vetores \( x \) e \( y \) são ortogonais sempre que o produto interno deles for nulo, definimos as funções ortogonais de uma maneira similar. Duas funções reais \( f \) e \( g \) são ditas ser ortogonais em \( C([a, b]) \) se \[ \langle f \mid g \rangle = \int_a^b f(x)g(x) \ dx = 0, \quad \text{denotada por} \quad f \perp g \] (1.28) Exemplo 7: Verificar se as funções reais definida por \( f(x) = x^2 \) e \( g(x) = x^3 \in C([-1, 1]) \) são ortogonais no intervalo fechado \([-1, 1].\) Solução. Pela definição de produto interno em \( L^2, \) \[ \langle f \mid g \rangle = \int_{-1}^1 f(x)g(x) \ dx = \int_{-1}^1 x^2x^3 \ dx \] \[ = \frac{1}{6} x^6 \Big|_{-1}^1 = 0, \] logo as funções dadas são ortogonais. \( \diamond \) Ao contrário do Cálculo vetorial, onde a palavra ortogonal é um sinônimo para perpendicular, no contexto do Cálculo funcional o termo ortogonal e a condição (1.28) não têm significado geométrico. Nosso interesse principal é caracterizar conjuntos infinitos de funções ortogonais. Um conjunto de funções reais \( \{\varphi_0, \varphi_1, \varphi_2, \ldots \} \subset C([a, b]) \) é dito ser ortogonal em um intervalo \([a, b] \) se \[ \langle \varphi_m \mid \varphi_n \rangle = \int_a^b \varphi_m(x) \varphi_n(x) \ dx, \quad m \neq n. \] (1.29) A norma quadrada de uma função \( \varphi_n \) é dada por \( \|\varphi_n\|^2 = \langle \varphi_n \mid \varphi_n \rangle \) e é assim a norma, ou o seu comprimento generalizado, é \( \|\varphi_n\| = \sqrt{\langle \varphi_n \mid \varphi_n \rangle} \) dito de outra forma, a norma quadrada e a norma de uma função \( \varphi_n \) em um conjunto ortogonal \( \{\varphi_n\} \) são, respectivamente, \[ \|\varphi_n\|^2 = \int_a^b |\varphi_n(x)|^2 \ dx \quad e \quad \|\varphi_n\| = \sqrt{\int_a^b |\varphi_n(x)|^2 \ dx} \] (1.30) Se \( \{\varphi_n\} \subset C([a, b]) \) for um conjunto ortogonal de funções reais no intervalo \([a, b] \) com a propriedade de que \( \|\varphi_n\| = 1 \) para \( n = 0, 1, 2, 3, \ldots, \) então \( \{\varphi_n\} \) é dito ser um conjunto ortonormal no intervalo \([a, b]. \) Exemplo 8 (Conjunto Ortogonal de funções): Mostre que o conjunto de funções contínuas reais, \( \{\psi_n\}_{n \geq 0} \subset C([ -\pi, \pi ]) \) tal que \[ \psi_n(x) = \cos n x, \quad n = 0, 1, 2, \ldots \] é ortogonal no intervalo \([-\pi, \pi]. \) Solução. Se identificarmos \( \psi_0(x) = 1 \) e \( \psi_n(x) = \cos nx, \) precisamos então mostrar que \[ \int_{-\pi}^\pi \psi_0(x)\psi_n(x) \ dx = 0 \quad e \quad \int_{-\pi}^\pi \psi_m(x)\psi_n(x) \ dx = 0, \quad m \neq n. \] Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 10 Temos, no primeiro caso, ⟨ψ0 | ψn⟩ = \int_{-\pi}^{\pi} \psi_0(x) \psi_n(x) dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos nx dx = \frac{1}{n} \sen nx \bigg|_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{n} \left[ \sen n \pi - \sen (-n \pi) \right] = 0, \ para \ n \neq 0. Para a segunda possibilidade temos, ⟨ψm | ψn⟩ = \int_{-\pi}^{\pi} \psi_m(x) \psi_n(x) dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \left[ \cos(m + n)x + \cos(m - n)x \right] dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sen(m + n)x}{m + n} + \frac{\sen(m - n)x}{m - n} \right]_{-\pi}^{\pi} = 0, \ m \neq n. portanto o conjunto dado é ortogonal. ◊ Exemplo 9 (Normas): Determine as normas de cada função real \psi_n(x) = \cos nx, no conjunto ortogonal \{ \psi_n \}_{n \geq 0} \subset C([-\pi, \pi]). Solução. Para \psi_0(x) = 1, temos a partir da fórmula de norma quadrada, \| \psi_0 \|^2 = \int_{-\pi}^{\pi} | \psi_0(x)|^2 dx = \int_{-\pi}^{\pi} 1 dx = x \bigg|_{-\pi}^{\pi} = 2\pi. e portanto a partir norma quadrada, \| \psi_0 \|^2 = 2\pi \implies a \ norma \ \| \psi_0 \| = \sqrt{2\pi}. Para \psi_n(x) = \cos nx, com n \neq 0, segue-se que \| \psi_n \|^2 = \int_{-\pi}^{\pi} \psi_n(x) \psi_n(x) dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 nx dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} [1 + \cos 2nx] dx = \pi. Portanto, para n > 0 obtemos a partir da norma quadrada, \| \psi_n \|^2 = \pi \implies a \ norma \ \| \psi_n \| = \sqrt{\pi}. e assim concluímos o calculo da normas. ◊ Um conjunto ortogonal pode ser transformado em um conjunto ortonormal. Assim um conjunto ortogonal de funções não nulas \{ \psi_n \}_{n \geq 0}, pode ser normalizado, isto é, ser transformado em um Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 11 conjunto ortonormal, dividindo-se cada função por sua norma. A partir dos Exemplos 2 e 3 o seguinte conjunto \begin{Bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}, \frac{\cos x}{\sqrt{\pi}}, \frac{\cos 2x}{\sqrt{\pi}}, \frac{\cos 3x}{\sqrt{\pi}} \ldots \end{Bmatrix} \subset C([-\pi, \pi]), é ortonormal no intervalo [-\pi, \pi]. Utilizamos ideias da álgebra linear e estendemos conceitos de ortogonalidade e normalidade para funções. Sejam duas funções de variável real f e g em C[a, b], dizemos que elas são ortogonais em ]a, b[ se ⟨f | g⟩ = \int_{a}^{b} f(x) g(x) dx = 0 e dizemos que a função f é normal se a norma quadrada ⟨f | f⟩ = \| f \|^2 = \int_{a}^{b} | f(x)|^2 dx = 1 \implies a \ norma \ \|f\| = 1. Agora vamos a considerar um conjunto de funções \{f_k\}_{k \geq 1} com a seguintes propriedades ⟨f_m | f_n⟩ = \int_{a}^{b} f_m(x) f_n(x) dx = 0, \ m \neq n \ (1.31) ⟨f_m | f_n⟩ = \int_{a}^{b} |f_m(x)|^2 dx = 1, \ m \geq 1 \ (1.32) assim cada elemento deste conjunto é ortogonal aos outros elementos do conjunto e também é normalizado. Chamamos a esse conjunto de Conjunto Ortonormal Podemos escrever as equações acima, (1.31) e (1.32) de forma mais compacta utilizando o delta de Kronecker \delta_{mn}; ⟨f_m | f_n⟩ = \int_{a}^{b} f_m(x) f_n(x) dx = \delta_{mn} \ (1.33) onde o símbolo delta tem os seguintes valores \delta_{mn} = \begin{cases} 1 & \text{se } m = n \\ 0 & \text{se } m \neq n \end{cases} Exemplo 10: Mostre que o conjunto de funções \{\varphi_n\}_{n \geq 1} \subset C(]0, L[) forma um conjunto ortogonal em ]0, L[, definida por, \varphi_n(x) = \sen \frac{n \pi x}{L}, \ x \in ]0, L[. A seguir determine as constantes que possam normalizar o conjunto anterior para formar um conjunto ortonormal Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 12 Solução. Da trigonometria temos as seguintes fórmulas cos A cos B = \frac{1}{2} \left\{ \cos(A - B) + \cos(A + B) \right\} sen A sen B = \frac{1}{2} \left\{ \cos(A - B) - \cos(A + B) \right\} sen A cos B = \frac{1}{2} \left\{ \sen(A - B) + \sen(A + B) \right\} Portanto aplicando as fórmulas acima temos \int_{0}^{L} \sen \frac{n \pi x}{L} \sen \frac{m \pi x}{L} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} \cos \frac{(n - m) \pi x}{L} - \frac{1}{2} \int_{0}^{L} \cos \frac{(n + m) \pi x}{L} = 0, \ m \neq n, no caso de m = n segue que, \int_{0}^{L} \sen^{2} \frac{n \pi x}{L} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} \left[ 1 - \cos \frac{2n \pi x}{L} \right] dx = \frac{L}{2}. Para normalizar o conjunto anterior podemos tomar a integral da seguinte forma \int_{0}^{L} \left| \frac{\sqrt{2}}{L} \sen \frac{n \pi x}{L} \right|^{2} dx = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} \sen^{2} \frac{n \pi x}{L} dx = 1. \ (1.34) Assim o conjunto ortonormal esta dado por \frac{\sqrt{2}}{L} \sen \frac{\pi x}{L} , \frac{\sqrt{2}}{L} \sen \frac{2 \pi x}{L} , \frac{\sqrt{2}}{L} \sen \frac{3 \pi x}{L} , \ldots que é desejamos mostrar. \n1.2.1 Expansão em Séries Ortogonais Considere \{ \varphi_{n} \} \subset C([a, b]) como sendo um conjunto ortogonal infinito de funções em um intervalo [a, b]. Se y = f(t) for uma função definida no intervalo [a, b], é possível determinar um conjunto de coeficientes c_{n}, com n = 0, 1, 2, 3, \ldots para o qual f(t) = c_{0} \varphi_{0}(t) + c_{1} \varphi_{1}(t) + c_{2} \varphi_{2}(t) + \ldots ? \ (1.35) Como na observação numa seção anterior, uma analogia entre vetores e funções, para se obter as componentes de um vetor, podemos determinar os coeficientes c_{n} utilizando o produto interno, Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 13 ⟨· | ·⟩. Multiplicando (1.35) por φ_m(x) e integrando no intervalo [a, b], obtemos ∫_a^b f(t)φ_m(t) dt = c_0 ∫_a^b φ_0(t)φ_m(t) dt + c_1 ∫_a^b φ_1(t)φ_m(t) dt · · · + c_n ∫_a^b φ_n(t)φ_m(t) dt + · · · = c_0⟨φ_0 | φ_m⟩ + c_1⟨φ_1 | φ_m⟩ + · · · + cn⟨φ_n | φ_m⟩ + · · · Pela ortogonalidade, cada termo no lado direito da última equação é nulo exceto quando m = n. Nesse caso, temos ∫_a^b f(t)φ_n(t) dt = c_n ∫_a^b φ_n(t)φ_n(t) dt = c_n ⟨φ_n | φ_n⟩ = c_n||φ_n||^2 Segue-se que os coeficientes exigidos são, c_n = ∫_a^b f(t)φ_n(t) dt / ||φ_n||^2 = ⟨f | φ_n⟩ / ||φ_n||^2 , para n = 0, 1, 2, 3, · · · Em outras palavras, temos a expansão da função real f, f(t) = ∑_(n=0)^∞ c_n φ_n(t) onde c_n = ⟨f | φ_n⟩ / ||φ_n||^2 . Com a notação de produto interno, podemos escrever também da seguinte forma, f(t) = ⟨f | φ_0⟩ / ||φ_0||^2 φ_0(t) + ⟨f | φ_1⟩ / ||φ_1||^2 φ_1(t) + · · · + ⟨f | φ_n⟩ / ||φ_n||^2 φ_n(t) + · · · = ∑_(n=0)^∞ ⟨f | φ_n⟩ / ||φ_n||^2 φ_n(t) Logo a expansão da função f é vista como análoga do resultado vetorial. ◊ A seguir consideremos a possibilidade de expandir em séries uma função f em termos de funções que pertencem a um conjunto ortonormal completo em [a, b], isto é, f(x) = ∑_(n=1)^∞ c_n f_n(x), a ≤ x ≤ b tais séries são generalizações de séries de Fourier e são de interesse teórico e prático. Como um caso particular, podemos observar a ortogonalidade do sistema trigonométrico, 1 , cos x , sen x , cos 2x , sen 2x , · · · , cos nx , sen nx , · · · (1.36) é ortogonal no intervalo [−π, π] , (logo no intervalo [0, 2π] ou em qualquer outro intervalo de comprimento 2π, devido à periodicidade); ou seja a integral do produto de duas funções quaisquer Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 14 em (1.36) sobre esse intervalo vale 0, de maneira que, para quaisquer n e m inteiros temos, ∫_−π^π cos nx cos mx dx = 0 n ≠ m (1.37) ∫_−π^π sen nx sen mx dx = 0 n ≠ m (1.38) ∫_−π^π sen nx cos mx dx = 0 n ≠ m ou n = m (1.39) Verificação. Utiliza uma simples transformação trigonométrica dos integrandos, passando-os de produtos para somas, como no exemplo anterior. Em (1.37) e (1.38) pela transformação correspondente obtemos ∫_−π^π cos nx cos mx dx = 1/2 ∫_−π^π cos(n + m)x dx + 1/2 ∫_−π^π cos(n − m)x dx ∫_−π^π sen nx sen mx dx = 1/2 ∫_−π^π cos(n − m)x dx − 1/2 ∫_−π^π cos(n + m)x dx Como m ≠ n inteiro!, as integrais do lado direito são nulas. De forma análoga em (1.39), para todos os m e n inteiros, ∫_−π^π sen nx cos mx dx = 1/2 ∫_−π^π sen(n + m)x dx + 1/2 ∫_−π^π sen(n − m)x dx = 0 + 0 Conjunto Ortogonal: Função de Peso Um conjunto de funções reais {ψ_0, ψ_1, ψ_2, · · · } é dito ser ortogonal em relação à função de peso ω em um intervalo [a, b] se ∫_a^b ω(x)ψ_m(x)ψ_n(x) dx = 0, m ≠ n. A consideração usual é que ω > 0 no intervalo de ortogonalidade [a, b]. O conjunto {φ_n(x)} = {sen nx} = {sen x, sen 2x, · · ·} é ortogonal em relação à função de peso ω(x) = 1 no intervalo [−π, π]. (verificar!) Se o conjunto {ψ_n} for ortogonal em relação a uma função de peso ω no intervalo [a, b], então multiplicar a seguinte expansão, f(t) = c_0ψ_0(t) + c_1ψ_1(t) + c_2ψ_2(t) + · · · por ω(t)ψ_m(t) e integrar no intervalo [a, b] resulta em c_n = ∫_a^b f(t)ω(t)ψ_n(t) dt / ||ψ||^2 onde ||ψ||^2 = ∫_a^b ω(t)|ψ(t)|^2 dt. Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 15 A série de funções, f(t) = ∑_(n=0)^∞ c_n φ_n(t) onde c_n = ⟨f | φ_n⟩ / ||φ_n||^2 , ou a série, f(t) = ∑_(n=0)^∞ c_n ψ_n(t) onde c_n = 1 / ||ψ||^2 ∫_a^b f(t)ω(t)ψ_n(t) dt. são conhecidas como expansões em séries ortogonais de f ou como séries de Fourier generalizadas. Conjuntos Completos O processo destacado para determinar os coeficientes c_n era formal; isto é, questões básicas sobre se uma expansão em série ortogonal tal como f(t) = c_0 ψ_0(t) + c_1 ψ_1(t) + · · · = ∑_(n=0)^∞ c_n ψ_n(t) é ou não de fato que foram ignoradas. Ademais, para expandir f em uma série de funções ortogonais, certamente é necessário que f não seja ortogonal para cada ψ_n do conjunto ortogonal {ψ_n}. (Se f fosse ortogonal para todo ψ_n, então c_n = 0, para n = 0, 1, 2,· · · ). Para evitar esse último problema, consideraremos pelo restante dessa discussão que um conjunto ortogonal é completo. Isso significa que a única função ortogonal real contínua para cada membro do conjunto é a função zero. Um conjunto ortogonal de funções {f_n}n é chamado de completo se for impossível aumentar para o conjunto uma função não nula que seja ortogonal para cada f_n. Isto é, {f_n}n é um conjunto completo se ⟨f_n | h⟩ = ∫_a^b f_n(x)h(x) dx = 0 implica h ≡ 0 em ]a, b[, n ≥ 1. (1.40) Finalmente, suponha que {g_0, g_1, g_2, . . . } seja um conjunto infinito de funções reais contínuas em um intervalo [a, b]. Se esse conjunto for linearmente independente em [a, b] pela definição de um conjunto linearmente independente infinito, então ele pode ser transformado em um conjunto ortogonal e, conforme descrito anteriormente, pode ser escrito como um conjunto ortonormal. Lembrando que o processo de Gram-Schmidt para a construção de um conjunto ortogonal se aplica a um conjunto linearmente independente {g_0, g_1, g_2, . . . } de funções reais contínuas em um intervalo [a, b]. Exercícios Propostos 1.] Nos seguintes problemas justifique que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado (a) f(x) = x, g(x) = x^2, [−2, 2] (b) f(x) = e^x, g(x) = xe^−x − e^−x, [0, 2] (c) f(x) = x, g(x) = cos 2x, [−π/2, π/2] (d) f(x) = x^3, g(x) = x^2 + 1, [−1, 1] Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 16 (e) f(x) = x^3, g(x) = x^2 + 1, [0, π] (f) f(x) = e^x, g(x) = sen x, [π/4, 5π/4] 2.] Justifique com detalhes que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Encontre a norma de cada função do conjunto, (a) {sen x, sen 3x, sen 5x,…}, [0, π/2] (b) {cos x, cos 3x, cos 5x,…}, [0, π/2] (c) {sen n^2x}, n = 1, 2,…, [0, π/2] (d) {sen nπ/p x}, n = 1, 2,…, [0, p] (e) {1, cos nπ/p x}, n = 1, 2,…, [0, p] (f) {1, cos nπ/p x, sen nπ/p x}, n = 1, 2,… ; m = 1, 2,… [−p, p] 3.] Verifique, por integração direta, que as funções são ortogonais em relação à função peso indicada, no intervalo dado. (a) H_0(x) = 1, H_1(x) = 2x, H_2(x) = 4x^2 − 2; w(x) = e^−x^2, ] − ∞, ∞[ (b) L_0(x) = 1, L_1(x) = −x + 1, L_2(x) = 1/2 x^2 − 2x + 1; w(x) = e^−x, [0, ∞[ (c) Seja a sequência {φ_n} um conjunto ortogonal de funções em [a, b] tal que φ_0 = 1. Justifique com detalhes ∫_a^b φ_n(x) dx = 0, para n = 2, 3, 4,… (d) Seja a sequência {φ_n} um conjunto ortogonal de funções em [a, b] tal que φ_0 = 1 e φ_1(x) = x. Justifique com detalhes ∫_a^b (αx + βx²) φ_n(x) dx = 0, para n = 2, 3, 4,… e constantes arbitrárias α, β. (e) Seja a sequência {φ_n} um conjunto ortogonal de funções em [a, b]. Justifique com detalhes o Teorema de Pitágoras ‖φ_m(x) + φ_n(x)‖^2 = ‖φ_m(x)‖^2 + ‖φ_n(x)‖^2, m ≠ n. (f) Verifique que as funções f(x) = x e g(x) = x² são ortogonais em [−2, 2]. Calcule as constantes C_1 e C_2 tais que h(x) = x + C_1x² + C_2x² seja ortogonal a f e g simultaneamente, no mesmo intervalo. (g) Sejam as funções f, g, h contínuas no intervalo [a, b]. Justifique com detalhes nas contas (f + g | h) = (f | h) + (g | h). Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 17 1.3 Séries de Fourier As séries de Fourier surgiram durante o século XVIII como uma solução formal para a equação clássica das ondas. Posteriormente, foi utilizado para descrever processos físicos nos quais os eventos se repetem regularmente. Por exemplo, uma nota musical geralmente consiste em uma nota simples, chamada fundamental, e uma série de vibrações auxiliares, chamadas harmônicas. O teorema de Fourier fornece a linguagem matemática que nos permite descrever com precisão essa estrutura complexa. Anteriormente temos estudado exemplos aonde as séries de Maclaurin ajudam a desenvolver uma função apropriada como uma série de potências da variável independente x, por exemplo, ln(1 + x) = x − x2 2 + x3 3 − x4 4 + · · · Fazíamos isto porque é muito fácil lidar com séries de potências de x que com a função loga- ritmo. Em alguns problemas, particularmente aquelas que representam oscilações, é muito mais conveniente utilizar a série de senos. Os senos são periódicos, tais séries podem representar unica- mente uma função continua e periódica. As séries de Fourier completas são séries com termos seno e cosseno e são importantes na representação de funções periódicas gerais. Constituem uma ferramenta importante para resolver problemas que envolvem Equações Diferenciais Ordinárias e Equações Diferenciais Parciais. A teoria das séries de Fourier é muito mais complicada que suas aplicações. As séries de Fourier são muito mais gerais que as séries de Taylor, pois muitas funções periódicas e não contínuas de interesse prático podem ser representadas em séries de Fourier. A seguir vamos a lembrar algumas características das funções periódicas. 1.4 Funções Periódicas A função f : J ⊆ R → C é chamada de periódica se ela é definida para todo x ∈ J ⊂ R e se existe algum número T ̸= 0 tal que; f(x + T) = f(x) para todo x ∈ J ⊆ R O número T é chamado o período de f(x). O gráfico pode ser obtido por repetição periódica de seu gráfico em qualquer intervalo de comprimento T, isto é, incrementando o valor de x em T não muda o valor de f(x). Isto é, o gráfico da função se repete para sempre horizontalmente. Se f é função é periódica com período T, também é periódica com o “novo período” kT onde k ∈ Z \ {0}, isto é, f(x + kT) = f(x), k = ±1, ±2, ±3, . . . x ∈ R. Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 18 Para k = 2, obtemos; f(x + 2T) = f([x + T] + T) = f(x + T) = f(x); x ∈ ℝ, em particular, −T é um período válido, logo podemos supor, sem perda de generalidade, que T > 0. Se a função f for constante, então f é periódica com qualquer período mas se f for periódica e não for constante existe um menor período T > 0, chamado de período fundamental de f. Por exemplo, cos x e sen x tem o período T = 2π. Na seguinte Figura 1.1 se mostra um gráfico de uma função periódica. Figura 1.1: Uma função f periódica O período fundamental de sen ωx, assim como de cos ωx, é T = 2π/ω ou seja ω = 2π/T; de outra forma para a função cos ωx, cos ω(x + T) = cos 2π/T (x + T) = cos (2π/T x + 2π/T T) = cos (2π/T x + 2π) = cos 2π/T x = cos ωx. De maneira semelhante podemos verificar que a função tan x tem o período T = π. A seguir, como estamos interessados em combinações lineares de funções dessa forma, vejamos alguns exemplos disso. Exemplo 11: É a função real definida por f(x) = 4 + 5 sen x periódica? Se sim, quais são seus períodos? Solução. Sabemos que T = 2π é o período fundamental de 5 sen x. Além disso, a função constante 4 é periódica, com todos os períodos possíveis! (Portanto, não tem período fundamental) Assim, suspeitamos que o período fundamental de f é T = 2π. De fato, f(x + 2π) = 4 + 5 sen(x + 2π) = 4 + 5 sen x. Portanto, f tem período T = 2kπ para qualquer inteiro diferente de zero k ∈ ℤ. É fácil mostrar que esses são os únicos períodos de f. ◊ Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 19 Exemplo 12: É a função real definida por f(x) = sen 2x + cos 4x. Se sim, quais são seus períodos? Solução. A primeira função tem período fundamental T = π; o segundo, π/2. Portanto, f tem período fundamental π (por que π e não π/2?). Consulte a Figura 1.2. Figura 1.2: Gráfico f com período fundamental T = π Segue-se que sen nπx/L, cos nπx/L tem cada um período fundamental T_fund = 2L/n. Além disso, como sen πx/L, cos πx/L têm período fundamental T_fund = 2L, e como qualquer múltiplo inteiro de um período também é um período. Temos algumas propriedades fáceis de verificar: soma, produto, quocientes e diferença de funções periódicas com período comum são periódicas com o mesmo período. Em particular se f e g têm período T, então af(x) + bg(x) com quaisquer constantes a e b também a combinação linear tem o mesmo período T. Por exemplo, a função cos(mπx) + sen(2mπx) é a soma das funções dos períodos T_1 = 2π/m e T_2 = π/m e, portanto, ela própria tem período T = 2π/m, o período maior das duas. Também inferimos que qualquer série finita S_N(x) = a_0 + ∑_(n=1)^N (a_n cos nπx/L + b_n sen nπx/L) Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 20 tem período T = 2L. Segue-se que, se a série infinita converge, ela também deve ser periódica de período T = 2L. (Isso não é difícil de mostrar e deve ser “relativamente óbvio”.) Outra propriedade simples de funções periódicas com período T é, ∫ ᵃ⁺ᵀ f(x)dx = ∫ b⁺ᵀ f(x)dx, a b ou seja, se f é integrável, sua integral definida sobre dois intervalos quaisquer de comprimento T são iguais. Geometricamente é simples observar e podemos provar da seguinte maneira, ∫ ᵃ⁺ᵀ f(x)dx = ∫ ᵃ f(x)dx + ∫ ᵀ f(x)dx + ∫ ᵃ⁺ᵀ f(x)dx a ₀ ₀ ᵀ Manipulando o primeiro e o terceiro somandos da identidade anterior e fazendo a substituição de x por x + T na terceira integral obtemos ∫ ᵃ f(x)dx + ∫ ᵃ⁺ᵀ f(x)dx = ∫ ᵃ f(x)dx + ∫ ᵃ f(x)dx a ᵀ a ₀ (x + T) = ∫ ᵃ f(x)dx + ∫ ᵃ f(x)dx = 0, a ₀ ₀ de maneira que ∫ ᵃ⁺ᵀ f(x)dx = ∫ ᵀ f(x)dx, para qualquer T. a ₀ Exemplos de funções que não são periódicas, x, x², x², x³, eˣ, coshx, lnx, para mencionarmos algumas. O problema que devemos resolver inicialmente será a de representar funções f de período T = 2π em termos de funções trigonométricas simples 1, cos x, sen x, cos 2x, sen 2x, . . . , cos nx, sen nx, . . . (1.41) todas essas funções têm período T = 2π. Elas formam o sistema trigonométrico. Uma função periódica real f, cujo período T = 2π, pode ser escrita na forma f(x) ≈ c₀ + c₁ sen(x + α₁) + c₂ sen(2x + α₂) + c₃ sen(3x + α₃) + ⋅ · (1.42) sempre que f satisfaz algumas outras condições. Para funções que provavelmente você encontrará, as únicas condições que você precisará garantir que sejam satisfeitas são (a) A função deve ser a valores simples, isto é, para cada valor de x deve existir um único valor de f(x), (b) a função não deve tomar valores próximos ao infinito. Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 21 O termo c₁ sen(x + α₁) é chamado do primeiro harmônico ou fundamental. O seguintes termos c₂ sen(2x + α₂), c₃ sen(3x + α₃), etc, são chamado de segundo harmônico, terceiro harmônico, etc. Se o período de f não é T = 2π, a conversão para uma função cujo período é T = 2π pode ser feita por uma mudança apropriada de variável. A série (1.42) pode ser escrita numa forma alternativa, sen(x + α₁) = sen x cos α₁ + cos x sen α₁ e podemos escrever, c₁ sen(x + α₁) = a₁ cos x + b₁ sen x onde a₁ = c₁ sen α₁ e b₁ = c₁ cos α₁. Transformando os outros termos de forma semelhante, a série obtida que contém os termos da sequência (1.41) resulta sendo a série trigonométrica, f(x) ≈ a₀ + a₁ cos x + a₂ cos 2x + a₃ cos 3x + a₄ cos 4x + ⋅ · + b₁ sen x + b₂ sen 2x + b₃ sen 3x+2x + b₄ sen 4x + ⋅ · associando os termos f(x) ≈ a₀ + a₁ cos x + b₁ sen x + a₂ cos 2x + b₂ sen 2x + ⋅ · = a₀ + ∑ (aₙ cos nx + bₙ sen nx) (1.43) ₙ≥1 onde a₀, a₁, b₁, a₂, b₂, . . . são constantes, chamadas de coeficientes da série. Notamos que cada termo tem o período de 2π. Portanto se os coeficientes são tais que a série convirja, sua soma será uma função de período 2π. O problema resultante, em qualquer situação, é encontrar esse coeficientes ou, que é equiva- lente, os valores das constantes c₀, c₁, c₂ . . . ; α₁, α₂, α₃ . . .. Em termos práticos, é mais fácil calcular os coeficientes aₙ e bₙ, e portanto a partir deles os coeficientes cₙ e os αₙ se a série é requerida na forma (1.42). Entretanto a forma (1.43), é a mais apropriada. As funções sen(ωx) e cos(ωx) são periódicas com período T = 2π/ω, isto é, sen ω(x + T) = sen(ωx + ωT) = sen (ωx + 2π ) = sen(ωx + 2π) = sen ωx, ω cos ω(x + T) = cos(ωx + ωT) = cos (ωx + 2π ) = cos(ωx + 2π) = cos ωx. ω Cada termo da soma finita, a₀ + ∑ (aₖ cos kωx + bₖ sen kωx) , ₖ₌₁ Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 22 chamado de polinômio trigonométrico, tem período T = 2π/ω, a soma também é periódica com o mesmo período. Uma série infinita da forma, a₀ + ∑ (aₖ cos kωx + bₖ sen kωx) , ∞ ₖ₌₁ é chamada de série trigonométrica. Como cada soma parcial desta série tem período T = 2π/ω, segue que se a série converge em qualquer intervalo de comprimento 2π/ω, então converge para todo x e sua soma é periódica com período T = 2π/ω. Em resumo podemos denotar o conjunto de funções, φₙ(x) = sen πnx , n ∈ N; ψₙ(x) = cos πnx , n ∈ Z⁺ (1.44) L x L x que são todas periódicas com período T = 2L; para cada n, o período fundamental de φₙ e de ψₙ é o quociente T = 2L/n. A função constante ψ₀(x) = cos(0) = 1, também é periódica com o período T = 2L, mas não possui período fundamental. Assim, uma serie infinita, a₀ + ∑ (aₙψₙ(x) + bₙφₙ(x) ∞ ₙ₌₁ é também chamada de série trigonométrica. Exemplo 13: As funções definidas por, Θₖ(x) = exp (ikx), com x ∈ R, k ∈ Z, Solução. São periódicas com o período T = 2L. Para cada k ∈ Z, com k ≠ 0, o período fundamental de Θₖ é T = 2L/k; a função constante Θ₀ também é periódica com o período T = 2L, mas não possui período fundamental. ◊ Observação 2: Dada qualquer função f num intervalo L < x ≤ L + T podemos encontrar uma função periódica com período T a qual é igual a f nesse intervalo. Esta função é chamada de extensão periódica de f do intervalo L < x ≤ L + T e é obtida graficamente transladando repetidamente o gráfico de f em L < x ≤ L + T para esquerda e direita através da distância T. Se denotamos a extensão periódica de f por g, então g pode ser definida da seguinte maneira, Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 23 g(x) = f(x) para L < x ≤ L + T g(x) = f(x − T) para L + T < x ≤ L + 2T g(x) = f(x + T) para L − T < x ≤ L g(x) = f(x − 2T) para L + 2T < x ≤ L + 3T ... = ... ... ... ... Se uma função é definida apenas em um intervalo de comprimento L, ela pode ser estendida de apenas uma única maneira para uma função do período T = L. A situação que nos preocupa é com a série de Fourier uma função definida no intervalo −L < x < L. Sua extensão periódica é fper(x) = f(x − 2m L) para − L + 2m L < x < L + 2m L, m ∈ Z. (1.45) Esta definição não especifica qual é a extensão periódica da função f nos pontos de extremida- des x = ±L+2m L. De fato, a extensão tem saltos nesses pontos, a menos que os limites unilaterais sejam iguais, f(L−) = f(−L+). Exemplo 14: Encontre o gráfico das extensões periódicas (a) f(x) = x, 0 < x ≤ 2π (b) f(x) = x2, −π < x ≤ π (c) f(x) = 3 sen x 2, −π < x ≤ π (d) f(x) = π − |x| Solução. Utilizando técnicas de cálculo elementar apresentamos os seguintes gráficos, x 2π y x (a) a função y = x x −π π y x2 (b) a função y = x2 Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 24 \( y \) −π π x (a) A função \( y = 3 \sin(x/2) \) 3sen(x/2) (b) A função \( y = π − |x| \) A seguir com os gráficos apresentados podemos construir as extensões transladando repetida- mente o gráfico de cada \( f \) em \( L < x \leq L + T \) tanto a esquerda e direita o mesmo comprimento \( T \). ♦ \(\underline{Exemplo\ 15:}\) Mostre que a função \( f(x) = \cos x \) tem períodos, \( T = 2\pi, 4\pi, 6\pi, \cdots \). Porém, \( T = 2\pi \) é mínimo período do \( \cos x \). Solução. Aplicando a definição obtemos, \( f(x + 2 \pi) = \cos(x + 2 \pi) = \cos(x) \cdot \cos(2\pi) − \sin(2\pi) \cdot \sin(x) = \cos(x) = f(x) \) fazendo a mesma coisa com os outros valores \( f(x + 4 \pi) = \cos(x + 4 \pi) = \cos\left([x + 2 \pi] + 2 \pi\right) = \cos(x + 2\pi) = \cos(x) = f(x) \) \( f(x + 6 \pi) = \cos(x + 6 \pi) = \cos\left([x + 4 \pi] + 2 \pi\right) = \cos(x + 4\pi) = \cos(x + 2\pi) = \cos(x) = f(x) \) como podemos apreciar \( 2\pi \) é o mínimo. ♦ Figura 1.5: A funções cosseno, \( y = \cos x \) e seno \( y = \sin x \) Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 25 \(\underline{Exemplo\ 16:}\) Mostre que o período principal das funções \( \sin nx \) e \( \cos nx \), é \( T = \frac{2\pi}{n} \) para \( n \in \mathbb{N} \). Solução. Aplicando a definição de função periódica e considerando \( f(x) = \cos nx \) podemos mostrar o valor de \( T \), ou seja, \( f(x + T) = \cos \left[n(x + T)\right] = \cos(nx + nT) \) \( = \cos(nx) \cdot \cos(nT) − \sin(nx) \cdot \sin(nT) = \cos(nx) \) \( = f(x) \) para todo \( x \in \mathbb{R} \) tomando o valor de \( x = 0 \) na igualdade anterior \( \cos(nT) = 1 \) utilizando a identidade pitagórica obtemos \( \sin(nT) = 0 \) então \( nT = 2\pi \) \( \Rightarrow \) \( T = \frac{2\pi}{n} \) que é o resultado desejado. \(\underline{Exemplo\ 17:}\) Mostre que o período da função \( y = \tan x \quad \) para \( \ x \in ] − \pi, \pi [ \) é dado por \( T = 2\pi \). Solução. Pela definição e propriedades trigonométricas temos: \( f(x + T) = \tan(x + T) = \frac{\sin(x + 2\pi)}{\cos(x + 2\pi)} \) \( = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x = f(x) \) o que mostra o resultado desejado. ♦ Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 26 Figura 1.6: Gráfico da função tangente, \( y = \tan x \) com período \( T = 2\pi \). \(\underline{Exemplo\ 18:}\) Mostre que a função constante possui qualquer número como período. Solução. Seja a função constante \( f(x) = C \), logo: \( f(x + T) = C \) também \( f(x) = C \) das relações anteriores para qualquer \( T \) \( f(x + T) = C = f(x) \) alcançando o que queríamos. \(\underline{Exemplo\ 19:}\) Mostre que a função real dada por, \( y = f(x) = x(x − 1)(x − 2), \quad x \in \mathbb{R}, \) não é periódica. Solução. Observando o gráfico da função representado na Figura 1.7 e aplicando a definição; \( f(x + T) = (x + T)\left((x + T) − 1\right)\left((x + T) − 2\right) \neq x(x − 1)(x − 2) \) Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 27 x y 1 2 0 Figura 1.7: Gráfico do Polinômio, y = x(x − 1)(x − 2) chegamos a conclusão que não é periódica. □ Exemplo 20: Verificar se o gráfico das funções representadas nas Figura 1.8a, Figura 1.8b e Figura 1.9 são periódicas. Caso afirmativo, forneça o período e as equações que definem essas funções. Solução. A função da Figura 1.8a tem como intervalo principal ] − 1, 1[ sendo periódica com período principal T = 2. A segunda função na Figura 1.8b também é periódica com período o comprimento do intervalo ]0, 1[. Finalmente a função dada na Figura 1.9 é não periódica. ♢ x y −2 0 1 −1 1 2 3 −1 4 (a) Função Onda quadrada x y −2 −1 0 1 1 2 3 4 (b) Função Dente de Serra Figura 1.8: Gráficos de Funções Periódicas 0 x y π Figura 1.9: Gráfico de Função não Periódica Vamos agora apresentar alguns dos espaços de funções periódicas que usaremos. Denotaremos por Cn per ([−L, L]), com n ∈ N, a coleção de todas as funções f : R → C da classe Cn e periódicas com o período T = 2L. No caso n = 0; escrevemos simplesmente Cper ([−L, L]). Não é difícil Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 28 mostrar que C^n_{per} (]−L, L]) é um espaço de Banach com relação à norma, \|f\|_{C^n_{per}} = \sum_{j=1}^n \|f^{(j)}\|_{\infty}, \eqno(1.46) onde f \in C^n_{per} (]−L, L]) e \| • \|_{\infty} é a norma do supremo na reta, definida por \|g\|_{\infty} = \sup_{x \in \mathbb{R}} |g(x)| = \sup_{x \in [−L, L]} |g(x)| \eqno(1.47) para g \in C_{per} (]−L, L]). Também usaremos a notação C^{\infty}_{per} (]−L, L]) para o conjunto de funções periódicas infinitamente diferenciáveis com o período T = 2L. Dada qualquer função f \in C (]−L, L]) que satisfazendo f(−L) = f(L), existe uma extensão única de f para uma função periódica contínua definida em toda a reta e essa extensão é contínua. Assim, o espaço C_{per} (]−L, L]) pode ser identificado, de maneira natural, com o conjunto de funções contínuas f : [−L, L] \rightarrow \mathbb{C} satisfazendo f(−L) = f(L), é bastante claro que, C^n_{per} (]−L, L]) \subset C_{per} (]−L, L]) \quad \text{para todos os} \quad n \in \mathbb{Z}^+. Podemos definir outras normas em C_{per} (]−L, L]), como a norma L^1 dada por, \|f\|_{L^1} = \int_{−L}^{L} |f(x)| dx, ou a norma L^2, \|f\|_{L^2} = \left[ \int_{−L}^{L} |f(x)|^2 dx \right]^{1/2} A norma L^2 vem de um produto interno, (f \mid g) = \int_{−L}^{L} f(x) g(x) dx. No entanto, C_{per} (]−L, L]) não é completo com relação a essas duas últimas normas. 1.5 Propriedades Especiais das Funções É conveniente para aplicações escolher um espaço vetorial um pouco mais amplo que o espaço das funções contínuas C ([−L, L]). Uma função f é contínua num ponto x_0 se e somente o limite da função nesse ponto é igual ao valor da função nesse ponto; isto é, \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0) Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 29 Uma função é contínua num intervalo se ela é contínua em cada ponto do intervalo. Uma função f é limitada num intervalo se existe um número M tal que |f(x)| ≤ M, para todo x nesse intervalo. É conhecido que toda função contínua num intervalo fechado é limitada. No estudo das séries de Fourier é necessário considerar funções com algumas descontinuidades, porém limitadas. A descontinuidade mais simples de funções limitadas, que aparecem no Cálculo, são quando o limite dela existe num ponto, porém a função não esta definida nesse ponto ou seu valor não é igual ao seu limite nesse ponto. Tal descontinuidade é chamada de trivial ou removível porque a função pode ser contínua definindo seu valor no ponto como seu valor de limite. Exemplo 21: Verificar se a seguinte função possui descontinuidade trivial no ponto zero, f(x) = sen x x . Solução. Aplicando a definição de continuidade no ponto x = 0, observamos que f(0) não esta definida, porém o limite esta dado por, lim x→0 f(x) = lim x→0 sen x x = 1 de forma que se nos definimos como, f(x) =        sen x x se x ̸= 0 1 se x = 0 a função f é contínua para todo x. ♢ x f(x) −4 −2 0 2 4 Figura 1.10: Gráfico da função y = sen x x , (x ̸= 0) Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 30 Se uma descontinuidade num ponto não é removível, então o limite da função nesse ponto não existe. Para classificar descontinuidades desta classe temos que apelar aos limites unilaterais. Definimos o limite à esquerda de x_1, quando x se aproxima a x_1 por valores menores que x_1 e representamos por f(x_1^−) = \lim_{x \rightarrow x_1^−} f(x), \quad \text{quando} \quad x < x_1 De maneira semelhante o limite à direita de x_1, f(x_1^+) = \lim_{x \rightarrow x_1^+} f(x), \quad \text{quando} \quad x > x_1 Se os valores f(x_1^+) e f(x_1^−) existem e são iguais então o limite existe e \lim_{x \rightarrow x_1} f(x) = f(x_1^+) = f(x_1^−) assim f é contínua ou possui descontinuidade removível em x_1. O caso mais simples é quando f(x_1^+) e f(x_1^−) existem e não são iguais. Tal ponto de descontinuidade é chamado um salto de descontinuidade e a diferença f(x_1^+) − f(x_1^−) é chamada de salto da função f em x_1. Figura 1.11: Função contínua por partes e limites laterais Exemplo 22: Verificar se a seguinte função possui salto de descontinuidade em x_0. f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{|x|} & \text{se} \quad x \neq 0 \\\ 0 & \text{se} \quad x = 0 \end{cases} Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 31 Solução. Calculando os limites laterais tem-se: f(0+) = lim x→0 sen x |x| = lim x→0 sen x x = 1 f(0−) = lim x→0 sen x |x| = lim x→0 sen x −x = −1 de maneira que em x = 0 existe um salto de 2. O valor da função num salto de descontinuidade é arbitrário e em nosso exemplo não é igual a nenhum valor de f(0+) ou f(0−). A função pode ser não definida num salto de descontinuidade. x f(x) −4 −2 0 2 4 Figura 1.12: Gráfico da função f(x) = sen x |x| , (x ̸= 0) e f(0) = 0. Finalmente um dos valores f(0+) e/ou f(0−) podem não existir. Neste caso que f possui descontinuidade oscilatória em x0. ♢ Exemplo 23: Comentar a natureza da seguinte função, f(x) =        sen 1 x se x ̸= 0 0 se x = 0. Solução. Neste caso não podemos identificar o limite porque a função oscila infinitamente, ver o gráfico na Figura 1.13. ♢ Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 32 Figura 1.13: Gráfico da função f(x) = sen \frac{1}{x}, (x \neq 0) e f(0) = 0. Agora estamos preparados para definir uma classe de funções cujas séries de Fourier estuda-re-mos em detalhe. Esta classe inclui muitas das funções que encontraremos na prática. Funções Contínuas por Partes Dada uma função f \in C (]− L, L]), podemos estendê-la de uma maneira natural, como uma função periódica em \mathbb{R} do período T = 2L, mas essa extensão não será contínua em geral. Assim, será conveniente trabalhar em um espaço “maior”. Por exemplo, podemos considerar funções que são contínuas por partes no intervalo ]− L, L]. Uma função f limitada é chamada de contínua por partes num intervalo finito se ela é contínua em todos os pontos do intervalo exceto num número finito deles nos quais existe descontinuidade de tipo removível ou tipo salto. Definição 4 (Contínua por Partes). Seja a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b uma partição do intervalo [a, b]. Uma função de valor complexo f definida em \bigcup^{n-1}_{j=0} ]x_j, x_{j+1} [ é considerada contínua por partes se f for contínua em cada um dos intervalos ]x_j, x_{j+1} [ e f tende a um limite finito quando x \in ]x_j, x_{j+1} [ tende a x_j ou x_{j+1}, com j = 0, 1, \ldots, n − 1. Vamos usar a notação, f\left(x^+_j\right) = \lim_{x \rightarrow x^+_j} f(x),\quad\left(f\left(x^-_{j+1}\right) = \lim_{x \rightarrow x^-_{j+1}} f(x), \quadj = 0, 1, \ldots, n − 1.\eqno(1.48) Se f : \mathbb{R} \setminus S \rightarrow \mathbb{C}, onde S é um conjunto vazio ou enumerável, dizemos que f é contínua por partes se ela for contínua por partes em cada intervalo fechado finito. Vamos denotar pelo símbolo C_{pcper} (]− L, L]) o espaço de todas as funções periódicas de valor complexo com período T = 2L que são contínuas por partes. Funções Regulares por Partes Uma função f é regular por partes num intervalo finito se ela é função contínua por partes e possui derivada contínua por partes em dito intervalo. Lembramos que se uma função é contínua e possui derivada contínua então ela é chamada de função regular. Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 33 Geometricamente significa que ela possui uma reta tangente em cada ponto de seu gráfico que se desloca continuamente, exceto nos pontos de descontinuidade que não podem ser oscilatórios nem infinitos, isto é, exigimos que a derivada seja limitada portanto só pode ter descontinuidades de tipo removíveis ou tipo saltos. A classe de funções que estudaremos são as funções regulares por partes. Ainda que a teoria pode ser aplicada para funções que são unicamente contínua por partes e até mesmo para uma classe um pouco maior de funções. Exemplo 24: Considere a função f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} definida no intervalo [0, 1]. Verificar que ela não é contínua por partes. Solução. A função anterior é absolutamente integrável, \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int_{0}^{1} x^{-1/2} dx = \frac{x^{1/2}}{1/2}\Bigg\vert_{0}^{1} = 2\sqrt{x}\Bigg\vert_{0}^{1} = 2 < \infty. porém não é contínua por partes, pois f(0^{+}) = \lim_{x\to 0} \frac{1}{\sqrt{x}} = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}} = +\infty, isto é, não existe o limite f(0^{+}). ◊ Para as funções contínuas por partes e regulares por partes podemos formular as seguintes afirmações: soma, diferença e produto delas são também contínuas por partes e regulares por partes respectivamente. Exemplo 25: A função característica de um intervalo I é a função \chi_I : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por \chi_I (x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x \notin I \\ 1 & \text{se } x \in I \end{cases} Solução. É claro que as funções características dos intervalos são contínuas por partes, decorre da aplicação da definição de de funções contínuas por partes. ◊ Exemplo 26: Uma função salto em \mathbb{R} é uma combinação linear finita de funções características de intervalos disjuntos. Solução. Pela definição, todas as funções de salto em \mathbb{R} são contínuas por partes. Também podemos definir uma função de salto em [-L, L] como uma combinação linear finita de funções características de subintervalos disjuntos de [-L, L]. Então uma função de salto em [-L, L] possui uma extensão periódica única do período T = 2L, que pertence ao PC_{per} ([-L, L]). Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 34 Embora estritamente falando, tais extensões não possam ser expressas como combinações lineares finitas de funções características de intervalos disjuntos em \mathbb{R}, chamaremos essas extensões de funções de salto periódicas. É claro que todas as funções periódicas do período T = 2L pertencem ao PC_{per}([-L, L]). ◊ Definição 5. Dada a função \phi definida em 0 \leq x \leq L, a função par \bar{\phi}(x) = \begin{cases} \phi(x) & \text{se } 0 \leq x \leq L \\ \phi(-x) & \text{se } -L \leq x < 0 \end{cases} é chamada de extensão par de \phi para -L \leq x \leq L. A função ímpar \bar{\psi}(x) = \begin{cases} \psi(x) & \text{se } 0 \leq x \leq L \\ -\psi(-x) & \text{se } -L \leq x < 0 \end{cases} é chamada de extensão ímpar de \psi para -L \leq x \leq L. Exemplo 27: Seja \phi : [0, L] \rightarrow \mathbb{C} definido por \phi(x) = x \text{ para todo } x \in [0, L] faça a construção de sua extensão ímpar. Solução. O que fazemos é o seguinte: se f é contínua por partes, então a estendemos para uma função contínua por partes em -L \leq x \leq L. Então será idêntica a f(x) em 0 \leq x \leq L (exceto possivelmente, é claro, em um número finito de pontos). Mas, como estendemos a função f? De maneira pratica e particular, se queremos expandir f em uma série de cossenos, precisamos apenas estendê-la para uma função par em -L \leq x \leq L; da mesma forma para uma série seno, nós a estendemos para uma função ímpar em -L \leq x \leq L. (a) Função \phi(x) = x em [0, L] y 0 L x (b) Função \bar{\phi}(x) = x em [-L, L] y -L 0 L x Figura 1.14: Extensão ímpar de \phi para \bar{\phi} em [-L, L] Observe que se \psi é contínua por partes, então \bar{\phi} e \bar{\psi} também são. Além disso, tecnicamente, \bar{\psi} não é uma função ímpar, a menos que \psi(0) = 0. No entanto, lembre-se de que o que acontece em um ponto não tem efeito sobre a série de Fourier da função. Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 35 Exemplo 28: Considere a função \phi : [0, L] \rightarrow \mathbb{C} definida por \phi(x) = x. Fazer a construção da extensão \bar{\phi} da função \phi. Solução. Usando o raciocínio anterior dado podemos generalizar, então \bar{\phi} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}, definida por \bar{\phi}(x) = x - 2kL \text{ se } (2k-1)L < x \leq (2k+1)L \text{ para algum } k \in \mathbb{Z}, é a única extensão periódica ímpar do período T = 2L de \phi para uma função definida em toda a reta real. Veja o gráfico na seguinte Figura 1.15 Figura 1.15: Extensão periódica ímpar \bar{\phi} de período T = 2L em \mathbb{R} -L 0 L f(x) -L 0 L x Figura 1.16: Extensão periódica par \bar{\phi} de período T = 2L -2L-L0 L2L = T Embora \phi \in C([0, L]), é fácil ver que \bar{\phi} \notin C(\mathbb{R}) mas \bar{\phi} \in PC_{per}([-L, L]). A função \phi tem uma descontinuidade de salto em todos os pontos da forma (2k-1)L com k \in \mathbb{Z}. ◊ Vamos denotar por PC_{per}([-L, L]) o conjunto de todas as funções f \in PC_{per}([-L, L]) tal que existe uma partição -L = x_0 < x_1 < ... < x_m = L do intervalo [-L, L] com f \in C^m ([x_j, x_{j+1}]) para todo j = 0, 1, ..., m - 1 e f^{(k)} \in PC_{per} ([-L, L]) para todo k = 1, ..., m. Também usaremos a notação PC_{per}^{\infty}([-L, L]) para o conjunto de funções que pertencem a PC_{per}([-L, L]) para todo n \in \mathbb{Z}^{+}. Observe que as funções salto periódicas do período T = 2L pertencem a PC_{per}^{\infty}([-L, L]). É fácil ver que se f \in C([-L, L]), sua extensão periódica de período T = 2L pertence a PC_{per}([-L, L]). Se uma função contínua por partes não for definida em todos os lugares, podemos Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 39 inteiro fixo. Integrando de −L a L a ambos os lados, ∫ L −L f(x) cos mπx L dt = a0 ∫ L −L cos mπt L dx + ∞ ∑ n=1 an ∫ L −L cos nπx L cos mπx L dx + ∞ ∑ n=1 bn ∫ L −L sen nπx L cos mπx L dx (1.57) Os termos a0 e bn desaparecem pelos seguintes resultados, ∫ L −L cos mπx L dx = 0 e ∫ L −L sen nπx L cos mπx L dx = 0. Finalmente, todas as integrais associadas ao coeficiente an, apresentam os resultados, ∫ L −L cos nπx L cos mπx L dx = { 0 se n ̸= m L se n = m Consequentemente, a equação (1.57) mostra o coeficiente an, an = 1 L ∫ L −L f(x) cos nπx L dx, n ∈ N. (1.58) Finalmente, multiplicando ambos os lados da equação (1.55) por sen(mπx/L) (m é novamente um número inteiro fixo) e integrando de −L a L, ∫ L −L f(x) sen mπx L dt = a0 ∫ L −L sen mπt L dx + ∞ ∑ n=1 an ∫ L −L sen nπx L cos mπx L dx + ∞ ∑ n=1 bn ∫ L −L sen nπx L sen mπx L dx (1.59) Os termos a0 e an desaparecem por integração direta, isto é, ∫ L −L sen mπx L dx = 0 e ∫ L −L sen nπx L cos mπx L dx = 0. Finalmente, todas as integrais associadas a bn se comportam de duas formas, isto é, ∫ L −L sen nπx L sen mπx L dx = { 0 se n ̸= m L se n = m Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 40 Portanto a fórmula do coeficiente bn é dada por, bn = 1 L ∫ L −L f(x) sen nπx L dx, n ∈ N. (1.60) Embora as equações (1.56), (1.58) e (1.60) forneçam a0, an e bn para funções periódicas durante o intervalo [−L, L], em determinadas situações é conveniente usar o intervalo [d, d + 2L], onde d é qualquer número real. Com essas expressões dos coeficientes, a série (1.55) é chamada série de Fourier de f e a0, an, bn são os seus coeficientes de Fourier. No cálculo desses coeficientes de Fourier, a seguinte tabela de integrais trigonométricas será de muita utilidade (1) ∫ L −L cos nπx L dx = 0, n ∈ N (2) ∫ L −L sen nπx L dx = 0, n ∈ N (3) ∫ L −L x cos nπx L dx = 0, n ∈ N (4) ∫ L −L x sen nπx L dx = (−1)n+1 2π n , n ∈ N (5) ∫ L −L cos nπx L sen mπx L dx = 0, n, m ∈ Z (6) ∫ L −L sen nπx L sen mπx L dx = 0, n, m ∈ Z (7) ∫ L −L x2 cos nπx L dx = (−1)n 4π n2 n ∈ N (8) ∫ L −L x2 sen nπx L dx = 0 n ∈ N (9) ∫ L −L cos2 nπx L dx = L, n ∈ N (10) ∫ L −L cos nπx L cos mπx L dx = 0, n ̸= m ∈ Z (11) ∫ L −L sen2 nπx L dx = L, n ∈ N Tabela 1.1: Integrais Trigonométricas Importantes 1.7 Condições de Dirichlet A classe de funções que podem ser representadas por séries de Fourier é muito grande e geral. Agora fazemos a pergunta: que tipos de funções possuem séries de Fourier? Em segundo lugar, se uma função é descontínua em um ponto, qual que valor da série de Fourier? O matemático Dirichlet respondeu a essas perguntas na primeira metade do século XIX. Seus resultados podem ser resumidos no seguinte raciocínio. São condições suficientes que devem ser impostas sobre a função f porém não necessárias e geralmente são satisfeitas na prática. É um problema aberto até o momento e não temos ferramentas matemáticas para exigir con- dições necessárias e suficientes de convergência de séries de Fourier. Suponha que a função real f satisfaz as seguintes condições, (a) f : ] − L, L[ −→ R definida nesse intervalo exceto um número finito de pontos. (b) f : ] − L, L[ −→ R periódica fora do intervalo de definição com período 2L. (c) f : ] − L, L[ −→ R e f’ : ] − L, L[ −→ R contínuas por partes em ] − L, L[. Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 45 Exemplo 32: As seguintes funções são ímpares; (a) f(x) = x3 (b) p(x) = x7 − 3x5 + 3x (c) g(x) = sen x (d) h(x) = tan 5x Solução. Exercício para o leitor. ⋄ Exemplo 33: As seguintes funções reais, φn(x) = sen nπx L , n ∈ N são ímpares. Definição 7. Uma função real ou complexa f de variável real é chamada de par se f(−x) = f(x) para todo x ∈ R (1.70) Isso significa apenas que seu gráfico (x, f(x)) é simétrico em relação ao eixo y. Assim, as metades esquerda e direita do gráfico são imagens espelhadas uma da outra. Para faça sentido (1.70), exigimos que f seja definida em algum intervalo ]−L, L[ que é simétrico em torno de x = 0. As funções cos x, cosh x e qualquer função que dependa de x2 são funções pares. Exemplo 34: As seguintes funções são pares; (a) f(x) = x6 (b) p(x) = 3x8 − 3x6 + 5 (c) g(x) = cos x (d) h(x) = ex − e−x Solução. Exercício para o leitor. ⋄ Exemplo 35: As seguintes funções ψn(x) = cos nπx L , n ∈ N são pares. Observação 5:Em termos de séries de Fourier a que corresponde para uma função ímpar é aquela que somente possui termos de senos. De forma análoga a série correspondente a uma função par possui somente termos de cossenos e possivelmente alguma constante adicional. Algumas propriedades elementares de uso frequente são, (a) A soma e o produto de funções pares são pares; (b) A soma de funções ímpares é ímpar mas o produto de duas ímpares é par; Capítulo 1. Conjuntos Ortogonais e Séries de Fourier 79 (a) y′′ − y = f(t) (b) y′′ + 4y = f(t) Referências Bibliográficas [1] Ince, E. L., Ordinary Differential Equations, New York:Dover, (1953). [2] Churchill, V. R. Fourier Series and Boundary Value Problems, MacGraw-Hill, New York, (1990). [3] Kreyszig, E. Advanced Engineering Matemathematics, Seven edition, John Wiley & Sons, Inc, New York, (1993). [4] Boyce, E. W. & DiPrima, C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Seven Edition, John Wiley & Sons, Inc, New York, (2001). [5] Courant, R. & Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics, Vol. 2 , Springer-Verlag, Berlin, (1980). [6] John, Fritz. Partial Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin, (1990). [7] Rudin, Walter Principles of Mathematical Analysis, MacGraw-Hill, 1976. [8] Marsden, J & Hofman M., Elementary Classical Analysis, Addison-Wesley, (1998) 80