P2 Calc4 S25-2021 2

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Cálculo IV - S25 CAMPUS CURITIBA Prof. Jorge Prova II A prova está composta por 5 questões valendo 2,5 pontos cada uma, você deverá escolher 4 questões e apresentar a solução. Não serão aceitas soluções sem as devidas e corretas justificativas. Observação: Para a verificação de propriedades, considere que as funções f, g, h : [0, ∞) → R sejam contínuas por intervalos e de ordem exponencial. 1. Calcule a transformada de Laplace, L{f}(s), de (a) f(t) = sen(ωt), t ≥ 0. (b) f(t) = cos(ωt), t ≥ 0. (c) f(t) = sen(ωt) ⋅ u(t − α), t ≥ 0. (d) f(t) = cos(ωt) ⋅ u(t − α), t ≥ 0. Onde, u(t − α) = { 0, se 0 < t < α 1, se t > α 2. Se g(t) = f(t − α)u(t − α) para α constante, mostre que L{g}(s) = e^{-αs}L{f}(s), ou seja L{f(t − α)u(t − α)}(s) = e^{-αs}L{f(t)}(s) 3. Calcule a transformada inversa de Laplace, L^{−1}{F}(t), de (a) F(s) = \frac{400}{(s^2 + 4s + 5)(s^2 + 25)} (b) F(s) = \frac{400e^{-π/5}s}{(s^2 + 4s + 5)(s^2 + 25)} 4. Sendo a convolução de f e g definida como f * g(t) = \int_{0}^{t} f(v)g(t − v)dv mostre a propriedade associativa da convolução, ou seja f * (g * h) = (f * g) * h 5. Resolva o problema de valor inicial y'' + 4y'+ 5y = \left\{ \begin{array}{ll} 80sen(5t), & \text{se}\ 0 < t \leq \pi/5 \\ 0, & \text{se}\ t > \pi/5 \end{array} \right. Onde, y(0) = 0, y'(0) = 0.